阅读与思考 对数的发明优秀公开课教案

2.2 对数函数

[教学目标] 1．理解对数的概念及其运算性质．

2．知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．

3．了解对数的发现历史以及其对简化运算的作用．

4．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型．

5．能借助计算器或计算机画出具体的对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．

6．知道对数函数ylogax与指数函数yax互为反函数（a0，且a1）．

[教学要求] 本节内容是在学习了指数函数之后，通过具体实例了解对数函数模型的实际背景，教学中要注意引导学生分析寻找解决问题的方法，点出本节课要学习的问题——对数问题．学习对数概念，进而学习一类新的基本初等函数——对数函数．

在教学中应引导学生充分重视对数与指数的对应关系、对数函数与指数函数有着很多对应的性质．在本节的教学过程中要重视以具体的、实际的问题体现数学的思想方法及价值，如归纳的思想（从指数的运算律类比对数的运算律等）、数形结合的思想、类比的思想等．

注意对课本中的人口、考古、地震、pH值的测定等问题，要体现数学的应用价值．因此，教学时重视以具体、实际的问题体现数学的思想方法及价值．

根据本节内容的特点，教学过程中要注意发挥信息技术的作用，尽量使用计算器或计算机，为学生的数学探究与数学思维提供支持．教学中可使用计算器或计算机作对数函数的图象、讨论对数函数的性质等．

讲解对数定义时，要说明以下几点：

一是要让学生弄清楚对数式logaNb（a0，且a1）的含义，明确a，N，b，相对于指数式aN是什么数，并找出它们之间是什么关系．二是要注意对数式blogaNb中字母的取值范围，要讲清楚对数定义中为什么要规定a0，且a1，N0．

对数的运算性质是进行对数计算的重要依据，其推导过程是纯粹的数学推理过程，抽象程度较高，难度较大，教学过程中要充分讨论，促进学生理解．

教学中应充分注意发挥对数函数图象的作用，让学生自己做出对数函数的图象．有条件的班级，可以让学生利用计算器或者计算机做出对数函数的图象．

[教学重点] 对数函数的概念、图象和性质．

[教学难点] 对对数的意义、符号的理解，以及如何从对数函数的图象归纳出对数函数的性质．

[教学时数] 6课时

[教学过程]

1

第一课时

2.2.1对数与对数运算（1）——对数

新课导入

回顾2.1.2指数函数一节中的例8，把我国1999年底人口13亿作为基数，如果人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数y最多为多少？我们算出经过年数x与人口数y满足关系y131.01x中，如果问“哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿”？该如何解决？

181.01x，需要从中求出经过13201.01x，需要从中求出经过年年数x；人口数达到20亿时，是1999年底

13亿人口的13301.01x，需要从中求出经过年数数x；人口数达到30亿时，是1999年底

13亿人口的13分析：人口数达到18亿时，是1999年底

13亿人口的x；一般地，需要从1.01xN中求出经过年数x．这是我们这一节将要学习的对数问题．

新课进展

一、对数

1．定义

x一般地，如果aN（a0，且a1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

1818181.01x，其中x就是以1.01为底的对数，记作xlog1.01；请同学们写出13131320301.01x，1.01x中的x．

1313问：以4为底16的对数是2，用等式怎么表达？

讨论：按照对数的定义，以4为底16的对数是2，可记作log4162；同样从对数的定义出发，可写成416．我们从一般的角度来考虑这个问题，根据对数的定义，可以得到对数和指数间的关系：

x当a0，且a1时，如果aN，那么xlogaN；如果xlogaN，那么2axN．即axN等价于xloagN，记作当a0，且a1时，axNxlogaN．

当a0，且a1时，计算：loga1，logaa．

分析：利用对数和指数间的关系．

由于aN0，所以：

x

2

负数和零没有对数．

2．常用对数和自然对数

通常我们将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并且把log10N记作lgN．

在科学技术中常使用以无理数e2.718281828459为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数（natural

logarithm），并且把logeN记作lnN．

3．课堂例题

例1 （课本第63页例1）

例2 （课本第63页例2）

4．课堂练习

课本第64页练习1（1）——（2）、2（3）——（4）．

5．布置作业

课本第64页练习1（3）——（4）、2（1）——（2）．

课本第74页习题2.2.A组1（1）——（4）、2（1）——（4）．

第二课时

2.2.1对数与对数运算（2）——对数的运算

复习导入

通过提问复习上节课主要学习内容．

问：你如何理解对数？

答：从运算的角度，对数运算可以看成是指数运算的逆运算．因此，对数式和指数x式的互化在对数学习过程中很重要．当a0，且a1时，aNxlogaN，即logaaxx．

新课进展

通过师生探究，学习本节主要内容

问：从指数与对数的关系以及指数运算性质，你能得出相应的对数运算性质吗？

回顾指数幂的运算性质：

amanamn，amanamn，(am)namn．

师生讨论：把指对数互化的式子具体化：设Ma，Na，于是有

mnMNamn,Mamn,Mnamn．logaMm,logaNn．

Nmn根据对数的定义有：logaa于是有

二、对数的运算

mn，logaamnmn，logaamnmn．

（1）loga(MN)logaMlogaN；

3

（2）logaMlogaMlogaN；

N（3）logaMnnlogaM（nR）．

课堂例题

例1 （课本第65页例3）

例2 （课本第65页例4）

说明：以上两例讲解时，要注意让学生熟悉对数的运算性质，了解简单对数的计算及对数式的化简．

课堂练习

课本第68页练习1（1）——（4）、2（1）——（4）、3（1）——（4）题．

布置作业

课本第74页习题2.2A组第3、4、5题．

第三课时

2.2.1对数与对数运算（3）——对数的换底公式

复习导入

通过提问复习上节课主要学习内容．

问：上节课我们学习了哪些对数的性质？请用文字语言叙述．

答：（1）积的对数等于同底对数的和；

（2）商的对数等于同底对数的差；

（3）n次幂的对数等于同底对数的n倍；

即：

（1）loga(MN)logaMlogaN；

（2）logaMlogaMlogaN；

N（3）logaMnnlogaM（nR）．

新课进展

三、对数的换底公式

问：前面我们学习了常用对数和自然对数，我们知道任意不等于1的正数都可以作为对数的底，能否将其它底的对数转换为以10或e为底的对数？

把问题一般化，能否把以a为底转化为以c为底？

师生共同探究：设logabp，则ab，对此等式两边取以c为底的对数，得到：

plogcaplogcb，根据对数的性质，有：plogcalogcb，所以plogcb．其中a0，且a1，c0，且c1．

logcalogcb．

logca即logab

4

公式logablogcb称为换底公式．

logca18的值，利用换底公式和对数的运算性质，可得：

13用换底公式可以很方便地利用计算器进行对数的数值计算．例如，求我国人口达到18亿的年份，就是计算xlog1.01181813lg18lg13

xlog1.0113lg1.01lg1.01lg1.25531.113932.883733（年）

0.0043课堂例题

例1 （课本第66页例5）

例2 （课本第67页例6）

本例题的讲解为对数函数的引入做好铺垫．根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P，通过对应关系tlog573012P，都有唯一确定的年代t与它对应，所以，t是P的函数．

课堂练习

课本第68页练习4（1）——（3）题．

布置作业

课本第74页习题2.2A组4（1）——（4）、5（1）——(4)、6题．

第四课时

2.2.2对数函数及其性质（1）

情景问题导入

1．课堂练习

课本第74页习题2.2A组第6题．

2．上节课的例题，考古学家通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡生物体的残留物测定碳14含量P，估算出土文物或古遗址地年代t，即tlog573012P．

一、对数函数的定义

一般地，我们把函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数（logarithmic function），其中x是自变量，函数的定义域是(0，+)．

,a1)我们类比指数函数ya(a0且图象与性质，来研究对数函数的图象和性质．

,a1)ylogax(a0且二、对数函数的图象

x

5

在同一坐标系中画出对数函数ylog2x和ylog1x的图象（可用描点法，也2可借助科学计算器或计算机）．

（图及表格见课本第70页）

讨论：函数ylog2x和ylog1x的图象之间的关系．

2ylog1xlog2x，又点(x,y)和点(x,y)关于x轴对称，所以，ylog2x2和ylog1x的图象关于x轴对称．

2思考

函数ylogax与ylog1x(a0，且a1)的图象有什么关系？

a三、对数函数的性质

一般地，对数函数ylogax(a0,且a1)的图象和性质如下表所示．

a1

0a1

图

象

定义域

值域

性质

（0，+∞）

R

过点（1，0），即当x1时，y0．

在（0，+∞）上是增函数

在（0，+∞）上是减函数

课堂例题

例1 （课本71页例7）

求下列函数的定义域：

（1）ylogax2；（2）yloga(4x)．

例2 （课本72页例8）

该两例是巩固对数函数的概念，利用单调性比较对数式的大小．

课堂练习

课本第73页练习第1、2、3题．

6

布置作业

课本第74页习题2.2A组第7、8、9题．

第五课时

2.2.2对数函数及其性质（2）

复习导入

通过提问复习上节课主要学习内容．

问：我们是怎样研究对数函数的？

投影出一般的对数函数的特征图象，总结其单调性和特殊点．

新课进展

四、对数函数的应用

课堂例题

例1 （课本第72页例9）

引导学生利用对数函数，解决溶液酸碱度pH值得测量问题，体会对数函数的应用价值．

例2 （课本第75页习题2.2A组第12题）

指导学生学习用数学的观点处理现实问题的方法，进一步引导学生体会对数函数的应用价值．

例3 （课本第75页习题2.2B组第3题）

启发学生体会对数函数应用的广泛性．

课堂练习

课本第75页习题2.2A组第12题．

布置作业

课本第82页复习参考题A组第9题．

课本第83页复习参考题B组第5题．

第六课时

2.2.2对数函数及其性质（3）——对数函数与指数函数的关系

问题导入

问：在指数函数y2中，x为自变量，y为因变量．如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由．

通过对问题的讨论，形成反函数的概念．

通过摄氏温度与华氏温度的换算，进一步明确反函数的概念．

x在指数函数y2中，x是自变量，定义域是xR，y是x的函数，且值域xy(0，+)．根据指数与对数的关系，由指数式y2x可得到对数式xlog2y，这样，对于任意一个y(0，+)，通过式子xlog2y，x在R中都有唯一确定的值和它对应．我们可以把y作为自变量，x作为y的函数，这时，我们就把xlog2y

(y(0，+))称为函数y2x(xR)的反函数（inverse function）．

7

在函数xlog2y中，y是自变量，x是y的函数．但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数．为此，我们把函数xlog2y中的字母x，y交换，把它写成ylog2x，这样，对数函数ylog2x(x(0，+))是指数函数y2xxR的反函数．

课堂讨论

1．如何说明指数函数yax(a0,且a1)ylogax(a0,且a1)互为反函数．

2．互为反函数的这两个函数的定义域和值域有什么关系？

3．互为反函数的这两个函数的图象有什么关系？

答案提示：

1．在指数函数yax中，x是自变量，定义域是xR，y是x的函数，且值域y(0，+)．根据指数与对数的关系，由指数式yax可得到对数式xlogay，这样，对于任意一个y(0，+)，通过式子xlogay，x在R中都有唯一确定的值和它对应．我们可以把y作为自变量，x作为y的函数，这时，xlogay

(y(0，+))就为指数函数yax的反函数，把自变量用x表示，因变量用y表示，则对数函数ylogax就是指数函数ya的反函数(a0,且a1)．

反之，也可类似说明对数函数ylog,a1是)指数函数ax(a0且xyax(a0,且a1)的反函数．

2．互为反函数的这两个函数的定义域和值域恰好互换，例如y2的定义域为实数集R，值域为(0,)，y2的反函数的定义域为(0,)，值域为实数集R．

3．在同一个直角坐标系中，互为反函数的函数图象关于直线yx对称．

说明：作为探究与发现，教材只要求学生了解指数函数ya和对数函数判断一个函数是否存在ylogax(a0,且a1)互为反函数．对反函数的一般概念、反函数以及求函数的反函数等均不作要求．

课堂例题

例1 求下列函数的反函数：

xxx

8

（1）y()；（2）ylog5x．

解：（1）y()的反函数为ylog1x,x(0,)．

313x13x（2）函数ylog5x的反函数为y5x,xR．

课堂练习

写出下列函数的反函数：

（1）ylog4x；（2）ylog1x．

4本课小结

1．对数函数ylogax(a0,且a1)与同底的指数函数ya互为反函数．

2．对数函数ylogax与同底的指数函数ya的性质相互对应．

布置作业

1．根据对数函数ylogax(a0,且a1)与同底的指数函数ya互为反函数的关系，列出指数函数与对数函数的对照表．

2．课本第82页复习参考题A组第8题．

xxx

9