阅读与思考 对数的发明获奖说课稿

延长天文学家寿命的发现——纳皮尔发现对数

自古以来，人们的日常生活和所从事的许多领域，都离不开数值计算，并且随着人类社会的进步，对计算的速度和精确程度的需要愈来愈高，这就促进了计算技术的不断发展．印度阿拉伯记数法、十进小数和对数是文艺复兴时期计算技术的三大发明，它们是近代数学得以产生和发展的重要条件．其中对数的发现，曾被18世纪法国大数学家、天文学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”．

对数思想的萌芽

对数的基本思想可以追溯到古希腊时代．早在公元前500年，阿基米德就研究过几个10的连乘积与10的个数之间的关系，用现在的表达形式来说，就是研究了这样两个数列：

1，10，102，103，104，105，……

0，1， 2， 3， 4， 5，……

他发现了它们之间有某种对应关系．利用这种对应可以用第二个数列的加减关系来代替第一个数列的乘除关系．阿基米德虽然发现了这一规律，但他却没有把这项工作继续下去，失去了对数破土而出的机会．

2000年后，一位德国数学家对对数的产生作出了实质性贡献，他就是史蒂非．1514年，史蒂非重新研究了阿基米德的发现，他写出两个数列：

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ……

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 ……

他发现，上一排数之间的加、减运算结果与下一排数之间的乘、除运算结果有一种对应关系，例如，上一排中的两个数2、5之和为7，下一排对应的两个数4、32之积128正好就是2的7次方．实际上，用后来的话说，上一排数以2为底的对数就是下一排数，并且史蒂非还知道，下一排数的乘法、除法运算，可3535以转化为上一排数的加法、减法运算．例如，222，等等．

就在史蒂非悉心研究这一发现的时候，他遇到了困难．由于当时指数概念尚未完善，分数指数还没有认识，面对像17×63，1025÷33等情况就感到束手无策了．在这种情况下，史蒂非无法继续深入研究下去，只好停止了这一工作．但他的发现为对数的产生奠定了基础．

纳皮尔的功绩

15、16世纪，天文学得到了较快的发展．为了计算星球的轨道和研究星球之间的位置关系，需要对很多的数据进行乘、除、乘方和开方运算．由于数字太大，为了得到一个结果，常常需要运算几个月的时间．繁难的计算苦恼着科学家，能否找到一种简便的计算方法？数学家们在探索、在思考．如果能用简单的加减运算来代替复杂的乘除运算那就太好了！这一梦想终于被英国数学家纳皮尔实现了．

纳皮尔于1550年生于苏格兰的爱丁堡．他家是苏格兰的贵族，他13岁入圣安德卢斯大学学习，后来留学欧洲，1571年回到家乡．纳皮尔是一位地主，他曾在自己的田地里进行肥料施肥试验，研究过饲料的配合，还设计制造过抽水机．他的兴趣十分广泛，一方面热衷于政治和宗教斗争，一方面投身于数学研究．他在球面三角学的研究中有一系列突出的成果．

纳皮尔研究对数的最初目的，就是为了简化天文问题的球面三角的计算，他也是受了等比数列的项和等差数列的项之间的对应关系的启发．纳皮尔在两组数中建立了这样一种对应关系：当第一组数按等差数列增加时，第二组数按等比数列减少．于是，后一组数中每两个数之间的乘积关系与前一组数中对应的两个数的和，建立起了一种简单的关系，从而可以将乘法归结为加法运算．在此基础上，纳皮尔借助运动概念与连续的几何量的结合继续研究．

纳皮尔画了两条线段，设AB是一条定线段，CD是给定的射线，令点P从A出发，沿AB变速运动，速度跟它与B的距离成比例地递减．同时，令点Q从C出发，沿CD作匀速运动，速度等于P出发时的值，纳皮尔发现此时P、Q运动距离有种对应关系，他就把可变动的距离CQ称为距离PB的对数．

当时，还没有完善的指数概念，也没有指数符号，因而实际上也没有“底”的概念，他把对数称为人造的数．对数这个词是纳皮尔创造的，原意为“比的数”．

他研究对数用了20多年时间，1614年，他出版了名为《奇妙的对数定理说明书》的著作，发表了他关于对数的讨论，并包含了一个正弦对数表．

有趣的是同一时刻瑞士的一个钟表匠比尔吉也独立发现了对数，他用了8年时间编出了世界上最早的对数表，但他长期不发表它．直到1620年，在开普勒的恳求下才发表出来，这时纳皮尔的对数已闻名全欧洲了．

对数的完善

纳皮尔的对数著作引起了广泛的注意，伦敦的一位数学家布里格斯于1616年专程到爱丁堡看望纳皮尔，建议把对数作一些改进，使1的对数为0，10的对数为1等等，这样计算起来更简便，也将更为有用．次年纳皮尔去世，布里格斯独立完成了这一改进，就产生了使用至今的常用对数．1617年，布里格斯发表了第一张常用对数表．1620年，哥莱斯哈姆学院教授甘特试作了对数尺．

当时，人们并没有把对数定义为幂指数，直到17世纪末才有人认识到对数可以这样来定义．1742年，威廉斯把对数定义为指数并进行系统叙述．现在人们定义对数时，都借助于指数，并由指数的运算法则推导出对数运算法则．可在数学发展史上，对数的发现却早于指数，这是数学史上的珍闻．

解析几何与微积分出现以后，人们在研究曲线下的面积时，发现了面积与对数的联系．比如，圣文森特的格雷果里在研究双曲线xy＝1下的面积时，发现面积函数很像一个对数，后来他的学生沙拉萨第一个把面积解释为对数．但当时并没有认识到对数和双曲线下面积之间的确切关系，更没有认识到自然对数就是以e为底的对数．

后来，牛顿也研究过此类问题．在这些基础上，到1668年，丹麦籍英国数1y1x下的面积而得出了一个漂亮的级数，学家梅卡托研究双曲线用它可以满意地用于计算对数，他把这个对数称为自然对数，并且给出了由自然对数变换到常用对数时的比例因子．这样，自然对数又可以用积分加以定义．

欧拉在1748年引入了以a为底的x的对数logax这一表示形式，以作为满足ayx的指数y．并对指数函数和对数函数作了深入研究．而复变函数的建立，使人们对对数有了更彻底的了解．

天文学家的欣喜

对数的出现引起了很大的反响，不到一个世纪，几乎传遍世界，成为不可缺少的计算工具．其简便算法，对当时的世界贸易和天文学中大量繁难计算的简化，

起了重要作用，尤其是天文学家几乎是以狂喜的心情来接受这一发现的．1648年，波兰传教士穆尼阁把对数传到中国．

在计算机出现以前，对数是十分重要的简便计算技术，曾得到广泛的应用．对数计算尺几乎成了工程技术人员、科研工作者离不了的计算工具．直到20世纪发明了计算机后，对数的作用才为之所替代．但是，经过几代数学家的耕耘，对数的意义不再仅仅是一种计算技术，而且找到了它与许多数学领域之间千丝万缕的联系，对数作为数学的一个基础内容，表现出极其广泛的应用．

1971年，尼加拉瓜发行了一套邮票，尊崇世界上“十个最重要的数学公式”．每张邮票以显著位置标出一个公式并配以例证，其反面还用西班牙文对公式的重要性作简短说明．有一张邮票是显示纳皮尔发现的对数．

对数、解析几何和微积分被公认是17世纪数学的三大重要成就，恩格斯赞誉它们是“最重要的数学方法”．伽利略甚至说：“给我空间、时间及对数，我即可创造一个宇宙．”

对数延长了天文学家的生命

“给我空间、时间和对数，我可以创造一个宇宙”，这是十六世纪意大利著名学者伽利略的一段话．从这段话可以看到，伽利略把对数与最宝贵的空间和时间相提并论．

对数的发展绝非一人之功．首先要提到的是16世纪瑞士钟表匠标尔基，当他结识了天文学家开普勒，看到开普勒每天与天文数字打交道，数字之大、计算量之繁重，真的难以想像，于是便产生了简化计算的想法．

从1603年到1611年，标尔基用了八年的时间，一个数一个数地算，造出了一个对数表，这个对数表帮了开普勒的大忙．开普勒认识到了对数表的实用价值，劝标尔基赶快把对数表出版，标尔基认为这个对数表还过于粗糙，一直没下决心出版．

正在标尔基犹豫不定的时候，1614年6月在爱丁堡出版了苏格兰纳皮尔男爵所造的题为《奇妙的对数表的说明》一书，这个对数表的出版震动了整个数学界．

“对数（logarithm）”一词是纳皮尔首先创造的，意思是“比数”．最早他用“人造的数”来表示对数．

俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者，传说有一次他在解答一道数学题时，冥思苦想没法解决，睡觉时做了一个梦，梦中一位老人揭示他解答的方法，醒后他真的把此题解出来了，莱蒙托夫把梦中老人的像画出来，大家一看竟是数学家纳皮尔，这个传说告诉我们：纳皮尔在人们心目中的地位是多么的高．

对数和它的发明者

1614年，居住在爱丁堡的一位苏格兰贵族公布了他的一项重要发明的详情，这个消息很快传开了．第二年，经过一些通信联系后，一位数学教授乘坐马车从伦敦出发，前往爱丁堡，去会见这位他无比崇敬的天才的苏格兰人．这位数学教授在旅途日记中写道：这个苏格兰人的前额一定很高，因为他头脑发达，否则难以做出如此惊人的发明．由于意外的事故，教授在路上延误了时间，正在爱丁堡焦急等待的苏格兰贵族终于失望了，他向一位朋友抱怨道：“教授不会来了．”可就在这时，教授出现在他的面前．他们在沉默中相互凝视了达一刻钟之久．后来，

教授说：“阁下，我经历了长途跋涉专程来看望你，就是想要知道你是怎样富有聪明才智的头脑，才使得你首先想出对于天文学的这一极好的发明．阁下，你发现了它，现在看来很容易的，但是我很奇怪，在此之前为什么没有人能够发现它呢？”这位教授作为贵宾在贵族的城堡里滞留了一个月之久．

这位苏格兰贵族就是梅尔契斯顿堡的耐普尔（Napier，1550—1617年）；去访问他的数学家就是伦敦格雷舍姆学院的几何学教授H·布里格斯（Briggs，1561—1631年）；那项重要的发明就是“对数”——节省大量人力的计算方法之一，它无疑是数学史上的一个里程碑．

现在我们知道，对数作为一种计算方法的功能在于：通过对数，可以把乘除运算化为较简单的加减运算．这种化简的原始思想，在三角公式

1sinAsinB2［cos（A－B）－cos（A＋B）］

中已见端倪，而这个公式在耐普尔时代已为人们熟知，耐普尔的思路很可能就是从这个公式出发的，否则就很难解释为什么最初他仅限于研究角的正弦的对数．

耐普尔潜心研究他的理论20余年，于1614年在一本题为《奇妙的对数定理说明书》的小册子中，发表了他关于对数的讨论，并给出了以弧分为间隔的角的正弦的耐普尔对数表．这部著作立即引起了人们的广泛兴趣．当布里格斯于1615年访问耐普尔时，两人一致认为：如果把对数改变一下，使得1的对数为0，10的对数为10的一个适当的次幂，编造出来的对数表就会更有用．于是，也就有了今天的常用对数表．这种对数实质上是以10为底的对数，在数值计算上有很大的优越性，因为我们的数系是以10为基数的．