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第三周

函数定义域、值域

重点知识梳理

1．在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

2．常见函数定义域的求法

(1)分式函数中分母不等于零．

(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}．

(5)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．

3．抽象函数定义域求法

①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；

②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．

4．几个常见函数的值域

(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R. 4ac－b(2)y＝ax＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为y|y≥4a22；当a<0时，值域为4ac－by|y≤. 4a2k(3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}．

x5．求函数值域常用的方法

(1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数．

1

(2)换元法．

(3)判别式法．

(4)分离常数法．

(5)分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．

典型例题剖析

例1

(1)函数f(x)＝2x＋12x2－x－1的定义域是________．

(2)若函数y＝f(x)的定义域为[－3,5]，则函数g(x)＝f(x＋1)＋f(x－2)的定义域是(

A．[－2,3]

B．[－1,3] C．[－1,4]

D．[－3,5] 【答案】(1){x|x>－12且x≠1}

(2)C 【解析】(1)由题意得2x＋1≥02x2－x－1≠0

，

解得x>－12且x≠1.

∴定义域为{x|x>－12且x≠1}．

(2)由题意可得－3≤x＋1≤5，－3≤x－2≤5，

解不等式组可得－1≤x≤4.

所以函数g(x)的定义域为[－1,4]．

变式训练

已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2,3]，则y＝f(2x－1)的定义域是(

A．[0，52]

B．[－1,4] 2

) )

C．[－5,5]

D．[－3,7] 【答案】A 【解析】由－2≤x≤3，得－1≤x＋1≤4，

∴y＝f(x)的定义域为[－1,4]，

由－1≤2x－1≤4，得0≤x≤52，

故函数y＝f(2x－1)的定义域为[0，52]．

例2

求下列函数的值域．

(1)y＝x2＋2x(x∈[0,3])；

(2)f(x)＝x－1－2x；

(3)y＝2xx＋1；

(4)y＝x2－xx2－x＋1. 【解析】(1)(配方法) y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，

∵y＝(x＋1)2－1在[0,3]上为增函数，

∴0≤y≤15，

即函数y＝x2＋2x(x∈[0,3])的值域为[0,15]．(2)(换元法) 1－2x＝t，则t≥0且x＝1－t2令2，

于是y＝1－t22－t＝－12(t＋1)2＋1，

3

11－∞，. 由于t≥0，所以y≤，故函数的值域是22(2)(分离常数法) 2xy＝＝x＋1x＋－22＝2－，

x＋1x＋12∵－≠0，∴y≠2，

x＋1∴值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．

(4)方法一：(配方法) 1∵y＝1－2，

x－x＋1133x－2＋≥，

又x2－x＋1＝244∴0<141≤，∴－≤y<1. 3x－x＋1321－，1. ∴函数的值域为3方法二：(判别式法) x2－x由y＝2，x∈R，

x－x＋1得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0. ∵y＝1时，x∈∅，∴y≠1.

又∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，

1∴－≤y<1. 31－，1. ∴函数的值域为3【小结】求函数的值域时要注意定义域优先原则，即先确定函数的定义域，然后再求值域，4

如本例中第(2)小问．在利用换元法求值域时，换元后一定要写出新元的取值范围，再在这个范围下求值域．

变式训练

求下列函数的值域

(1)y＝－2x2＋x＋3；

(2)y＝2x－3＋4x－13. 3【解析】(1)由－2x2＋x＋3≥0，解得－1≤x≤，

23∴定义域为[－1，]．

2125令u(x)＝－2x2＋x＋3＝－2(x－)2＋，

4813∵∈[－1，]，且u(x)图象开口方向向下，

42

2552＝，

84

125∴当x＝时，u(x)max＝，ymax＝483当x＝－1或x＝时，u(x)min＝0，ymin＝0，

2

45∴函数值域为[0，2]．

(2)令t＝

t2＋134x－13，则t≥0，且x＝，于是

4t2＋131y＝2·－3＋t＝(t＋1)2＋3，

421117由于t≥0，则(t＋1)2≥，所以y≥＋3＝，

22227故函数的值域是[，＋∞)．

2例3

若函数f(x)＝mx2＋mx＋1的定义域为R，则m的取值范围为________．

【答案】[0,4] 5

【解析】∵函数f(x)＝mx2＋mx＋1的定义域为R，

∴mx2＋mx＋1≥0在R上恒成立．

当m＝0时，1≥0恒成立；

m>0，当m≠0时，则2

m－4m≤0，

∴0

综上，m的取值范围为[0,4]．

变式训练

已知函数f(x)＝________．

【答案】[0,9]∪[9，＋∞)

mx2＋(m－3)x＋1的值域是[0，＋∞)，则实数m的取值范围是【解析】由题意得，函数y＝mx2＋(m－3)x＋1的值域包含[0，＋∞)，

当m＝0时，y＝－3x＋1∈R⊇[0，＋∞)，满足题意；

当m≠0时，要满足值域包含[0，＋∞)，

需使得m>0，Δ≥0，即m≥9或0

综上，实数m的取值范围是[0,1]∪[9，＋∞)．

跟踪训练

1．函数y＝A．[－4,1]

C．[－4,0)∪(0,1]

－x2－3x＋4的定义域为(

) xB．[－4,0) D．(0,1] 2．函数y＝x2－4x＋3，x∈[0,3]的值域为(

) A．[0,3]

B．[－1,0] 6

C．[－1,3]

D．[0,2] 3．若函数f(x)的定义域是[0,4]，则函数g(x)＝f(2x)x的定义域是(

) A．[0,2]

B．(0,2) C．[0,2)

D．(0,2] 4．已知全集U＝R，集合A＝x∈Z|y＝

x－3，B＝{y|y＝x2，|x|≤5}，则A∩B等于(A．[3,5]

B．[3,5) C．{4,5}

D．{3,4,5} 5．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝g(x)＋x＋4，x

f(x)的值域是(

) A．[－94，0]∪(1，＋∞)

B．[0，＋∞)

C．[－94，＋∞)

D．[－94，0]∪(2，＋∞)

6．设集合A＝{x|xx－4≤0}，B＝{x|y＝－x2＋10x－16}，则A∩B等于(

) A．[2,4]

B．[0,2] C．[2,4)

D．[0,8] 7．函数f(x)＝(x－1)2－1，x∈{－1,0,1,2,3}的值域是________．

8．函数D(x)＝1，x为有理数，的值域为________．

0，x为无理数

9．函数f(x)＝xx＋1的定义域是__________．

7

)

10．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3 ]，则函数y＝f(x)的定义域是________．

11．若函数y＝1的定义域为R，则实数k的取值范围是________．

kx2＋4kx＋312．求下列函数的值域：

(1)y＝x－3x－2；

(2)y＝x2－2x－3，x∈(－1,4]；

2x－1(3)y＝，x∈[3,5]．

x＋1

13．已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6. (1)若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a的值；

(2)若函数f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a－1|的值域．

8

参考答案

1．

C

求函数定义域就是列出使函数有意义的所有条件．因为－x2－3x＋4≥0，且x≠0，

所以－4≤x≤1，且x≠0，即函数的定义域为[－4,0)∪(0,1]．

2．C

二次函数y＝x2－4x＋3，其对称轴为直线x＝2，故f(x)min＝f(2)＝－1，f(x)max＝max{f(0)，f(3)}＝f(0)＝3，∴f(x)在[0,3]上的值域为[－1,3]．

x≠03．D

根据题意，得0≤2x≤4

，即0

A＝{x∈Z|x≥3}，B＝{y|0≤y≤5}．注意x只取整数，所以A∩B＝{3,4,5}．

2x＋x＋2，x

由题意f(x)＝2

x－x－2，x≥g(x)，

x＋x＋2，x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)，＝2

x－x－2，x∈[－1，2]，2

9

x＋2＋4，x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)，＝19(x－)－24，x∈[－1，2]，2217

所以当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，

f(x)的值域为(2，＋∞)；

9当x∈[－1,2]时，f(x)的值域为[－，0]，

4故选D. 6．C

A＝{x|0≤x＜4}，B＝{x|2≤x≤8}，A∩B＝{x|2≤x＜4}．

7．{－1,0,3} 解析

f(－1)＝f(3)＝3，f(0)＝f(2)＝0，f(1)＝－1，则所求函数f(x)的值域为{－1,0,3} 8．{0,1} 解析

由D(x)定义知，D(x)只有2个函数值0,1，故值域为{0,1}．

9．{x|x>－1} 解析

由偶次根式下被开方数非负及分母不为零，

得x＋1>0，x>－1.因此定义域为(－1，＋∞)．

10．[－1,2] 解析

∵y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3 ]，

∴x∈[－3，3 ]，x2－1∈[－1,2]，

∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．

311．k∈[0，) 4解析

函数y＝1的定义域为R

kx2＋4kx＋310

⇔kx2＋4kx＋3>0在R上恒成立，

当k＝0时，显然成立；

k>03当k≠0时，得0

3综上，k∈[0，)．

412．解析

(1)(换元法)设3x－2＝t，t≥0，

1则y＝(t2＋2)－t

3131＝(t－)2－，

321231当t＝时，y有最小值－，

2121故所求函数的值域为[－，＋∞)．

12(2)(配方法)配方，得y＝(x－1)2－4，

因为x∈(－1,4]，结合图象知，

所求函数的值域为[－4,5]．

2x－11＋y(3)由y＝，得x＝. x＋12－y1＋y53因为x∈[3,5]，所以3≤≤5，解得≤y≤，

422－y53即所求函数的值域是[，]．

4213．解析

(1)∵f(x)的值域是[0，＋∞)，即f(x)min＝0，

4(2a＋6)－(4a)23∴＝0，∴a＝－1或a＝. 42(2)若函数f(x)≥0恒成立，

11

则Δ＝(4a)2－4(2a＋6)≤0，即2a2－a－3≤0，

3∴－1≤a≤，

2a－a＋2，－1≤a≤1，∴g(a)＝2－a|a－1|＝2

3－a＋a＋2，1

247∴g(a)∈[，4]；

4319当1

2245∴g(a)∈[，2)．

45∴函数g(a)＝2－a|a－1|的值域是[，4]．

4

2

12

13