3.3 勾股定理的简单应用板书设计及设计说明

初三数学复习教案

课

题：相似三角形（2）

教学目的：综合运用相似三角形的性质，判定定理探究一些以相似为背景的综合性考题。

教学重点：注意数形结合、分类讨论以及转化的思考方法。

教学过程：例题分析

例1．如图，将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，回答下列问题：

A （1）图中共有多少个三角形？把它们一一写出来；

（2）图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，把它们一一写出来。

B E C

D

G

F

例2．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P为下底BC上一点(不与B、C重合)，连结AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B (1)求证：△ABP∽△PCE；(2)求等腰梯形的腰AB的长； (3)在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．

例3．已知：如图，BC为半圆O的直径，AD⊥BC，垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E，交半圆O于点F，弦AC与BF交于点H，且AE=BE. 求证：（1）AB︵=AF︵；

（2）AH·BC=2AB·BE.

例4．如图矩形ABCD的边长AB=2，AD=3，点D在直线y293x2上，AB在x轴上。

（1）求矩形ABCD四个顶点的坐标；

y E （2）设直线y23x92与y轴的交点为E，M（x，0）为xD C 轴上的一点（x＞0），若ΔEOM∽ΔCBM，求点M的坐标；

（3）设点P沿y轴在原点O（0，0），与H（0，-6）点之间移动，问过P、A、B三点的抛物线的顶点是否在此矩形的内O x 部，请说名理由。

A B

例5．已知如图，ΔABC的内接矩形EFGH的一边在BC上，高AD=16，BC=48。

（1）若EF：FH=5：9，求矩形EFGH的面积；

（2）设EH=x，矩形EFGH的面积为y，写出y与x的函数关系式；

A （3）按题设要求得到的无数多个矩形中，是否能够找到两个不同的矩形，使它们的面积之和等于ΔABC的面积？若能找到，请你求出它们的边长EH，若找不到，请你说明理由。

E M H

B

F D G C

例6．如图（1），AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明1AB1CD1EF成立（不要求证明），若将图中的垂直改为斜交，如图（2），AB∥CD，AD，BC，相交于点E，过E作EF∥AB，交BD于F，则：

（1）1A C AB1CD1EF还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

E （2）若AB、CD是方程x2(2m1)xm20的两根，B A F D 设EF为y，求y与m之间的关系式及m的取值范围。

(1) C （3）请给出SABD，SE BED，SBDC间的关系式，并给出证明。

B

(2) F D

例7.如图1，已知AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，垂足为M，弦AE与CD交于F，则有结论AD2=AE·AF成立(不要求证明)．

(1)若将弦CD向下平移至与⊙O相切于B点时，如图2，则AE．AF是否等于AG2?如果不相等，请探求AE·AF等于哪两条线段的积?并给出证明． (2)当CD继续向下平移至与⊙O相离时，如图3，在(1)中探求的结论是否还成立，并说明理由

二．同步检测

1．在梯形ABCD中AD∥BC,AC与BD交于点O，如果AD:BC=1:3，下列结论正确（

）

A.SCOD9SAOD

B.SABC9SAOD

C.SBOC9SAOD

D. SDBC9SAOD

2．已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比为1：4，那么两底的比为（

）

A.1:2

B.1:4

C.1:8

D:1:16 3．一油桶高0.8m，桶内未盛满油，一根木棒长1m，从桶该小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m，则桶内油面的高度为__________m。

4．如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点D，交AC于点E，求证：(1)AD=AE； (2)AB·AE=AC·DB．

5．已知如图，矩形ABCD中，CH⊥BD于点H，P为AD上的一个动点（点P与点A、D不重合），CP与BD交于点E，若CH=60/13，DH：CD=5：13，设AP=x，四边形ABEP的面积为y。

（1）求BD的长；

P （2）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；A

H D （3）当四边形ABEP的面积是ΔPED面积的5倍时，连接PB，判断ΔPAB与ΔPDC是否相似？如果相似，求出相似E 比；如果不相似，请说明理由。

B

C

6．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，FE⊥EC交AB于F，连接FC（AB＞AE）。

（1）ΔAEF与ΔEFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请A E D 说明理由。

（2）设ABF BCk，是否存在这样的k值，使得ΔAEF∽ΔBCF？若存在，证明你的结论并求出k值；若不存在，请说明理由。

B C

7．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB=3，BF⊥BP，垂足是B。请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与∆ABP相似（请注意：全等三角形是相似图形的特例）。

A D

P

B C

F

8．如图，在∆ABC中，点E、F在BC边上，点D、G分别在AB、AC上，四边形DEFG是矩形，若矩形DEFG的面积与∆ADG的面积相等，设∆ABC的BC边上的高AH与DG相交于点K。求DGBC的值。

A

D K G

B E H F C

9．如图，正∆ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P。

C （1）求证：DP=PE；

（2）若D为AC的中点，求BP的长。

D

P

A B E

10．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，对角线AC⊥BD，垂足为E，

AD=BD，过点E作EF∥AB交AD于F。

D C 求证：（1）AF=BE；

（2）AF2AEEC

F E

A B