3.1 勾股定理名师教学设计2

3.1

勾股定理（1）

授课教师：江南中学 顾薇怡

一、教学背景

勾股定理，是一个非常重要的定理，学生经历了观察、比较、推理、交流以及综合运用知识解决问题的过程，体会了数形结合的思想，发展了空间观念和有条理地思考与表达能力。鼓励学生在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解；能从交流中获益，由此体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性。本节所研究的勾股定理，经历从具体情境中抽象出恒等式的过程，认识勾股定理的几何意义，掌握必要的运算技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，结合所学解决生活中常见的勾股定理问题。体验数、符号和图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。

二、教材分析

《勾股定理》是九年义务教育全日制初级中学教科书《数学》苏科版八年级（上册）的第三章第一小节。本节在初中数学中占有重要的地位，是几何问题和代数问题的紧密结合，是必考查的热点之一。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。勾股定理虽然是初中的重要内容，但它在中考数学中单独命题的题目较少，常与方程、函数、四边形、圆等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型是填空题、选择题和较简单的解答题。在运算方面，将是由勾股定理引入开方运算，使初中阶段的代数运算得以完善；可见本节对今后数学学习有着非常重要的意义，是进一步学习方程、复数、函数等知识的基础。并且，

从人文情感的方面考虑，勾股定理有着十分瑰丽的数学史，因此本节不仅是完善学生的知识结构，而且还是培养学生想象能力，渗透数学思想，感受数学美的有效载体，也是培养学生良好的个性心理品质，发展逻辑思维能力的重要内容。

三、学情分析

八年级学生已初步具有几何图形的观察，几何证明的理论思维能力。他们希望老师创设便于他们进行观察的几何环境，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会，希望老师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，使他们获得施展自己创造才能的机会。但对于勾股定理的得出，首先需要学生通过动手操作，在观察的基础上，大胆猜想数学结论，而这需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，从而形成困难。

1

四、教学目标和重难点

【教学目标】

1.

知识与技能：

（1）理解并掌握勾股定理的内容和证明，能够灵活运用勾股定理及其计算；

（2）通过观察分析，大胆猜想，并探索勾股定理，培养学生动手操作合作交流、逻辑推理的能力。

2.

过程与方法：

（1）在探索勾股定理的过程中，让学生经历"观察-猜想-归纳-验证"的数学思想，并体会数形结合和从特殊到一般的思想方法；

（2）通过各类勾股定理的证明方法，体验解决问题方法的多样性。

3.

情感态度与价值观：

（1）通过探索活动，培养学生的自主性与合作性；

（2）通过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国悠久文化的思想感情，培养学生的民族自豪感和钻研精神。

【教学重点】

1．探索发现并验证勾股定理；

2．会应用勾股定理解决简单的问题。

【教学难点】

1.

“割补法”探究直角三角形斜边为边长的正方形的面积计算；

2.

通过拼图验证勾股定理。

五、教法与学法分析

【教学方法】

启发式教学，学生探究与教师讲练相结合，并运用多媒体信息技术手段。

【学法指导】

动手实践、自主探索、合作交流。

2 几何直观

引导

问

题

验证

实验

思想方法

探索

六、教学过程

【情境引入】

（1）

（2）

师：据说某国曾悬赏一个和外星人进行联系的方案，能让外星人看懂宇宙中还有高等生物。

最后得奖的就是图（1）。这张图在数学的历史长河中就是一颗宝贵的钻石，也就是最著名

的勾股定理。最早发现勾股定理的是古希腊著名数学家毕达哥拉斯，所以勾股定理也叫作

毕达哥拉斯定理。第二张图是1955年希腊发行的一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。

这张邮票是纪念毕达哥拉斯学派的成立以及在文化上的贡献。

设计意图：图（1）让学生感受数学的奇特与神秘，激发学生学习的欲望和兴趣。图（2）

让学生感受勾股定理的文化色彩，了解勾股定理又叫毕达哥拉斯定理，同时也为下面勾股

定理的证明做准备。

【探究验证】

（一）特殊情况下的勾股定理

1.邮票问题

师：请同学们仔细观察图（2）的邮票，中间的三角形是一个直角三角形，边长分别为a,b,c, 你能发现这个直角三角形三边有什么关系呢？提示：可以通过三个正方形的面积关系入

手。

生：a2+b2=c2。

师：你是如何得到这个结论的呢？

生：观察上面两个正方形的面积和等于下面的大正方形的面积。

2.网格直角三角形

师：很棒！那如果在网格纸上，画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以这个直角

三角形的各边为一边向三角形外作正方形，有这种关系吗？请以小组为单位，共同探究完

成如下表格。

生：小组讨论2-3分钟。发现正方形R的面积不容易直接得到。

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师：网格中正方形R的面积我们可以怎么求解呢？

生：可以将它放在一个大的矩形中，再减去多余的直角三角形。（上白板画出图形）

师：也就是我们可以用“补”的方法来求解网格中的图形面积问题。

请你把计算过程上黑板写一下。

生：（白板书写）

师：还有没有同学有其他方法？

生：可以把正方形R分割成几个直角三角形。（上白板画出分割图）

师：我们发现分割完之后中间还多了一个小正方形，那用“割”

的方法，如何来计算R的面积呢？

生：（白板书写）

师：你发现了什么？

生：SP+SQ=SR。

师：与直角三角形ABC的三边又有什么关系呢？

生：AC2+BC2=AB2.

4 SR149443252SR14431252

（二）一般情况下的勾股定理

师：请大家观察“割”出的正方形R，我们发现，它内部可以分出4个直角三角形。那么，我们可不可以用4个全等的直角三角形，拼出类似R的大正方形呢？假设这四个全等的直角三角形三边长分别为a，b，c。短直角边为a，

长直角边为b，斜边为c。

生：可以拼出来一个边长为c的大正方形，并且内部是一个

边长为（b-a）的正方形。

师：小组讨论，请尝试用这张图形验证一般直角三角形中，

三边是否也存在特殊的数量关系。

生：小组讨论2-3分钟。

师：从整体和局部两个方向来表示这个大正方形的面积。

生：整体表示为c2；局部可以表示为：

4

【归纳新知】

师：通过上述探究，我们发现，直角三角形的三条边的确存在着很特殊的数量关系，即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

【学以致用】

例1.求下列直角三角形中未知边的长。

5 师：那么我们通过化简，可以得到：a2+b2=c。

ab2ba22

例2.求下列直角三角形中未知边的长: 在Rt△ABC中，∠C=90°：

（1）BC=9，AC=12，求AB；

（2）BC=8，AB=10，求AC；

设计意图：让学生了解常见的勾股数：3,4,5以及他们的倍数。

设计意图：在不明确直角顶点的情况下，要学会分类讨论。

例3. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D，AC=9，BC=12，

求：CD的长。

设计意图：勾股定理与三角形面积的综合应用。

【拓展延伸】

如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7cm，求(1)正方形A，B，C，D的面积的和；(2)所有正方形面积和。

6 【变式】已知：Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3,则BC长为

。

设计意图：与引入的邮票案例呼应，学会灵活应用所学知识。为后续的“勾股树”做铺垫，让学生感知数学的延续性与美学应用，提高学生的学习兴趣。

【数学鉴赏】

1.美丽的勾股树

2.赵爽弦图

如图所示的三个图中（1）和（3）都是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，它们的面积相等。图（1）的面积为：a2+b2，图（3）的面积为c2，因此得到a2+b2= c2。

3.

总统证法

7

【课堂小结】

师：通过本节课的学习，你收获了什么？你还想探究些什么？

【布置作业

巩固新知】

1. 课课练3.1节对应练习．

2. 研究性课题作业：通过搜集材料或者查阅相关书籍，你能不能找到其他证明勾股定理的方法？

七、板书设计

3.1

勾股定理

例2【变式】

∵4＞3

∴3只能是直角边

①若4是直角边

②若4是斜边

PPT投影展示

白板书写

分类讨论

常见勾股数：3、4、5

八、教学反思

数学的世界是奇妙的，充满着无穷的魅力。数学的历史同样也是厚重的，需要学生去了解感悟。然而真正的数学大多来源于生活，来源于实践，让生活中处处有数学的思想走进我们的课堂，进一步加强“书本世界”与学生“生活世界”的联系，改变学生学习数学苍白无味的状态，给数学课堂增加“营养”。让学生根据数学上的问题到现实世界中去寻找生活素材，让数学贴近生活，用具体、生动、形象、可感知的实例来解释数学问题，使学生体会到数学的价值。

反思本节课，针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课选择了引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动口、动脑的能力，使学生真正成为学习的主体。这种教学理念有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。

在内容上，本节课关注生活素材，让学生在具体的情境中发现、使用勾股定理。在教学过程中给出几种著名的证法和勾股定理的相关历史，感兴趣学生的课前探索，感受到数学证明的灵活、优美与精巧，感受勾股定理的丰富文化内涵。

这一课的学习主要通过创设情境——发现问题——小组讨论——成果展示的小组合

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作学习课堂教学模式，让学生自主地探索知识，从而将其转化为自己的，真正做到了先激小组合作学习要尊重学生意愿，合理组建合作学习小组；任务明确，落实到人，分工合作；把握小组合作学习的时机；给弱势群体以更多的关怀，给予更多的机会。小组合作学习并不是仅仅意味着安排学生按小组坐在一起去完成一个任务，他需要教师对小组活动过程的各个方面，尤其结合学科的特点给予认真地思考和关注。合作学习是学生的一种学习方式，同时也是教师教学的一种组织形式，学生的合作是否有效，同教师的参与与指导是分不开的。因此，在学生开展合作学习的时候，教师不是"袖手旁观"，而是微笑着走到学生中间去，在组间巡视，对各个小组的合作进行观察、参与和帮助，对各小组合作的情况、讨论的情况做到心中有数！同时，针对学生合作中出现的各种问题进行及时有效的指导，帮助学生提高合作技巧，顺利完成学习任务。或对开展得很顺利的小组予以及时的表扬；对合作交流中偏离主题或遇到困难的小组提供及时的点拨；对完成任务的小组进行检查等等。学生的小组合作学习有了教师的参与与指导，避免了"华而不实"的无效合作场面，学生的合作更得法，交流更有效！

新课程标准的课堂教学要让学生作为课堂教学的主体，参与到课堂教学中来，充分展现自己的个性，施展自己的才华，使学生在参与和体验的过程中真正成为学习的主人，养成勇于探索、敢于实践的个性品质。在本节课的设计上，也很好地体现了这一点，教师用问题引导方式使学生主动探究勾股定理的内容，发挥学生的主动性，课堂效率有了明显提高。

发兴趣，再合作交流的自主学习。最后在课后完善，通过个人小论文的形式展示成果。

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