2.2.1 函数的单调性优秀课堂实录

徐州市第二中学备课纸

课 题

第六课时

函数的单调性（1）

课时

第_____课时

知识与技能：1．理解函数单调性概念；2．掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性；

3．提高观察、抽象的能力．；

过程与方法：小组合作交流，学生互教，老师引导

教学目标

情感、态度与价值观：初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索和创造，感受数学的严谨性及数学结论的确定性；

教学重点

掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性；

教学难点

掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性；教学准备

学生自主预习学案

课题：

板书设计

概念： 例1 例2

学生板书 学生板书

教 学 过 程 设 计

自学评价

1．单调增函数的定义：

一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间IA．

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调增

函数，I称为yf(x)的单调

增

区间．

注意：⑴“任意”、“都有”等关键词；

⑵. 单调性、单调区间是有区别的；

2．单调减函数的定义：

一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间IA．

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有

f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调

减函数，I称为yf(x)的单调

减

区间．

3．函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是

上升

图像；而函数在其单调减区间上的图像是

下降

的图像。（填＂上升＂或＂下降＂）

4．函数单调性证明的步骤：

（1） 根据题意在区间上设x1x2 ；

（2） 比较f(x1),f(x2)大小 ；

(3) 下结论＂函数在某个区间上是单调增（或减）函数＂ .

【精典范例】

一．根据函数图像写单调区间：

例1：画出下列函数图象，并写出单调区间． （1）yx2； 21； xx21, x0（3）f(x)．

2x2,

x0（2）y【解】

（图略）

（１）函数yx2的单调增区间为(,0)，单调减区间为(0,)；

（２）函数y21在(,0)和(0,)上分别单调减，即其有两个单调减区间分别是x(,0)和(0,)．

x21, x0（３）函数f(x)在实数集R上是减函数；

2x2,

x0二．证明函数的单调性：

3例2：求证：函数f(x)= －x+1在区间(－∞,+ ∞)上是单调减函数

33证明：设x1，x2∈R且x1

－f(x2)= －x1+1+x2－1 22=(x2－x1)(x2+x1x2+x1) 22因为x2>x1，x2+x1x2+x1>0 所以f(x1) －f(x2)>0即

f(x1)>f(x2) 所以f(x)在(－∞,+ ∞)上递减

追踪训练一

1. 函数y11

(C) x1(A)在(1,)内单调递增

(B)在(1,)内单调递减

(C)在(1,)内单调递增

(D)在(1,)内单调递减

2. 函数yx22x8的单调增区间为

(4,1)．. 1在区间(0,1)上是减函数．

x3. 求证：f(x)x证明：设0x1x21，则

x2x10,0x1x21

∴f(x2)f(x1)

(x211)(x1)x2x111)x2x1(x2x1)((xx)(x2x1)21x1x2(x2x1)(x1x21)0x1x2

即f(x2)f(x1)

故f(x)x1在区间(0,1)上是减函数．

x1在其定x时，

f(x1)1,f(x2)1，显然x1x2且f(x1)f(x2)，所以＂函数y义域(,0)(0,)上是减函数＂是不成立的．

点评: 1．单调区间是函数定义域的子集，所以，求函数的单调区间，必须注意函数的定义域；

2．单调区间是单调增区间和单调减区间的统称，所以，求函数的单调区间时，如果函数既有单调增区间，又有单调减区间，必须分别写出来。

思维点拔：

一、利用图像写函数的单调区间？

我们只要画出函数的草图，在草图上要能够反映函数图像的上升和下降，根据图像上升的区间就是函数的单调增区间，图像下降的区间就是函数的单调减区间．

追踪训练

1．函数y＝3x－2x2＋1的单调递增区间是

（B

）

3A．(－∞，]43C．(－∞，－]4(A)(B)(C)(D)3B．[，＋∞)4

3D．[－，＋∞)42. 若函数f(x)是R上的增函数，对于实数a,b，若ab0，则有(A

) f(a)f(b)f(a)f(b)

f(a)f(b)f(a)f(b)

f(a)f(b)f(a)f(b)

f(a)f(b)f(a)f(b)

3. 函数f(x＋1)＝x2－2x＋1的定义域是[2,0]，则f(x)的单调递减区间是__[1,1]______．

4. 函数y=x1，x0的单调减区间为(－∞，0). x1，x0

作业布置

教学反思