3.4.2 函数模型及其应用全国优秀课堂实录

用二分法求方程的近似解

【学习导航】 知识网络

学习要求

1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用；

2．能借助计算器用二分法求方程的近似解；

3．体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一． 自学评价

1．二分法

对于在区间上连续不断，且满足f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

2．给定精度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：

（1）确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)0，给定精度；

ziyuanku.com（2）求区间(a,b)的中点x1；

（3）计算f(x1)：

①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；

②

若f(a)·f(x1)<0，则令b=x1（此时零点x0(a,x1)）；

③若f(x1)·f(b)<0，则令a=x1（此时零点x0(x1,b)）；

（4）判断是否达到精度：即若|ab|，则得到零点值a（或b）；否则重复步骤2~4．

【精典范例】

例1：利用计算器，求方程x22x10的一个近似解（精确到0.1）．

【解】设f(x)x22x1，

先画出函数图象的简图. 版权所有：资源库

www.ziyuanku.com

听课随笔

(如右图所示) 因为

Ziyuanku.comf(2)10,f(3)20，

f(2.5)0.250，

所以在区间(2,3)内，方程x22x10有一解，记为x1.取2与3的平均数2.5，因为 所以 2x12.5. 再取2与2.5的平均数2.25，因为f(2.25)0.43750，

所以

2.25x12.5. 如此继续下去，得

f(2)0,f(3)0x1(2,3)f(2)0,f(2.5)0x1(2,2.5)f(2.25)0,f(2.5)0x1(2.25,2.5)f(2.375)0,f(2.5)0x1(2.375,2.5)因为2.375与2.4375精确到0.1的f(2.375)0,f(2.4375)0x1(2.375,2.4375)，近似值都为2.4，所以此方程的近似解为 x12.4. 利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解. 点评:①第一步确定零点所在的大致区间(a,b)，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；

②建议列表样式如下：

零点所在区间中点函数值

区间

区间长度

[2,3]

f(2.5)0

1 0.5 0.25 0.125 [2,2.5]

[2.25,2.5]

[2.375,2.5]

f(2.25)0

f(2.375)0

f(2.4375)0

如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．

例2：利用计算器，求方程lgx3x的近似解（精确到0.1）．

分析：分别画函数ylgx和y3x

的图象，在两个函点的横坐标就是方数图象的交点处，函数值相等．因此，这个程lgx3x的解．由函数ylgx与以发现，方程lgx3x有惟一解，记为x1，y3x的图象可并且这个解在区间(2,3)内. 版权所有：资源库

www.ziyuanku.com

WWW.ziyuanku.com听课随

【解】设f(x)lgxx3，利用计算器计算得 f(2)0,f(3)0x1(2,3)f(2.5)0,f(3)0x1(2.5,3)f(2.5)0,f(2.75)0x1(2.5,2.75)f(2.5)0,f(2.625)0x1(2.5,2.625)f(2.5625)0,f(2.625)0x1(2.5625,2.625)

因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以此方程的近似解为 x12.6. 思考:发现计算的结果约稳定在2.58717.这实际上是求方程近似解的另一种方法——迭代法．

除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等．

例3：利用计算器，求方程2xx4的近似解（精确到0.1）．

【解】方程2xx4

可以化为2x4x．

分别画函数y2x

与y4x的图象，由图象可以知道，方程2xx4的解在区间(1,2)内，那么对于区间(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解为x1.4. 追踪训练一

1.

设x0是方程lnxx4的解，则x0所在的区间为

（ ）

A．(3,4)

B．(2,3)

C．(1,2)

D．(0,1)

2.

估算方程5x27x10的正根所在的区间是

（

）

A．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,3)

D．(3,4)

Ziyuanku.com3．计算器求得方程5x27x10的负根所在的区间是（ ）

A．（1，0）

B．2,1

C．2.5,2

D．3,2.5

4.利用计算器,求下列方程的近似解(精确到0.1) (1)lg2xx1 (2)3xx4

【选修延伸】

一、含字母系数的二次函数问题

版权所有：资源库

www.ziyuanku.com

例4：二次函数f(x)px2qxr中实数p、q、r满足pqrm2m1m0，其中m0，求证：

（1）pf(mm1)0)；

（2）方程f(x)0在(0,1)内恒有解．

分析：本题的巧妙之处在于，第一小题提供了有益的依据：mm1是区间(0,1)

内的数，且pf(mmm1)0，这就启发我们把区间(0,1)

划分为(0，m1)和（mm1，1）来处理．

WWW.ziyuanku.com资源%库【解】（1）

pf(mm1)p[p(mm1)2q(mm1)r]

pm[pmqr(m1)2m1m]

pm[pm(m1)2pm2]p2m[m(m2)(m1)2(m1)2(m2)]

p2m(m1)2(m2)，

由于f(x)是二次函数,故p0，又m0，所以，pf(mm1)0．

⑵

由题意，得f(0)r, f(1)pqr．

）知f(m资源%库ziyuanu.com①当p0时，由（1m1)0

若r0，则f(0)0，又f(mm1)0,所以f(x)

在（0，mm1）内有解．

若r0，则f(1)pqrp(m1)

(pm2rm)rpm2rm0，又f(mm1)0，所以f(x)0在（mm1,1）内有解．

②当p0时同理可证．

点评：（1）题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数p0．若将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改．

（2）对字母p、r分类时先对哪个分类是有一定讲究的，本题的证明中，先对p分类，然后对r分类显然是比较好．

追踪训练二

版权所有：资源库

www.ziyuanku.com

听课随笔

1．若方程2ax2x10在(0,1)内恰有一则实数a的取值范围是

(

)

A．[,)

B．(1,)

C．(,1)

D．[,1)

2.方程x22x2k10的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k的取值范围是

；

3．已知函数f(x)2mx4，在[2,1]上存在x0，使f(x0)0，则实数m的取值范围是____

____________．

4．已知函数fxxx

31818⑴试求函数yfx的零点；

⑵是否存在自然数n，使fn1000？若存在，求出n，若不存在，请说明理由．

版权所有：资源库

www.ziyuanku.com