3.1.2 指数函数第二课时教案

3.1.2指数函数的图象及性质

（一）创设情境，导入新课

1.

今天我先请大家看一个小故事，名字叫做《棋盘上的麦粒》，讲的是国王和象棋高手下棋比赛输了，国王打算奖赏象棋高手.象棋高手提出，在棋盘的第1个小格中赏2粒麦子，第2个小格中，赏4粒麦子，第3个小格中赏8粒，以后每个小格都比前一个小格增加一倍，结果国王悲剧了，他发现自己作为堂堂的国王竟然无法满足要求，你知道为什么吗？

我们来看一下这个问题，第一个小格给2粒麦子，第二个小格给4粒麦子，第三个小格给8粒麦子，……第x个小格给2x粒麦子，……，第64个小格给264粒麦子，经估算总共需要麦子14000亿吨，现在全球小麦总量为6.5亿吨. 我们来看一下，第x格所给麦粒数y与x的表达式如下：y=2x

，

x∈N+(板书) 2.

古人庄子也有这样的问题：一尺之棰，日取其半，万世不竭.也就是说一尺长的绳子，第一次取掉其一半，第二次取掉其剩余的一半，则第一次剩余1/2尺，第二次剩余1/4尺，第三次剩余1/8尺，第四次剩余1/16尺，取x次绳子剩余量y与x的关系式是：

1xy

(

)

，

x



N

（板书）

2讨论1

同学们，先考虑以下两个问题：

（1）

它们能否构成函数？

（2）

对于这两个解析式有什么共同特征？

对于问题1从函数的定义出发，每一个关系式中，涉及两个非空数集A，B，对于两个关系式中，给自变量x一个值，都有唯一确定的y值和它对应. 问题2中，如果用a

来代替2和，那么两个解析式都可以表示成y = ax的形式，其中自变量x是指数，底数a是常数.（这时一类非常重要的函数模型，在生活中有着广泛的运用，也是我们本节课所要研究的内容，即指数函数的图象及性质（板书）

定义：一般地，形如y = ax（a>0且a≠1）的函数叫指数函数.其中x是自变量，既然在上节课我们已经把指数扩充到全体实数，则定义域为R. 我们大家来观察一下指数函数的特点：

12y1ax系数为1，底数是正数且不等于1，化简后指数位置仅仅是x,即自变量的系数为1. 讨论2

为什么a>0,且

a≠1呢？

让学生自己经过讨论后说出来，对于a<0，让学生举例来说明，最后总结：为了使函数定义域为R，便于研究，故规定：a>0,且

a≠1. 对于练习1和2，让学生回答即可.总结：只有完全符合指数函数的形式的函数才是指数函数.

二、指数函数的图象与性质

大家回忆一下，对于以前我们学习过的一次函数，二次函数，反比例函数，我们是如何研究它们的性质的？

引导学生回答从画图象，观察图象特征，总结函数性质来研究函数的性质. 带领学生回忆画函数图象的基本步骤，即列表—描点—连线. 把全班学生分成两个大组，第一组画y=2x的图象，第二组画1y=(

)x的图象，并每个小组选一名代表到黑板上来画. 2讨论3 在学生画好后，引导学生根据函数图象来归纳总结函数的性质，完成学案上的表格. 并让学生来回答. 三、例题讲解

对于例1，先让学生来回答，对于（1）（2）强调先找出函数f(x)=1.5x，由f(x)=1.5x在R上是增函数，因为3.2>2.6，所以1.53.2> 1.52.6. 对于（3）强调可以化为同底数的，先化为同底数. 对于（4）画出图象，从图中可以明显看出1.50.3

＞

0.81.2，提问学生，从图中可以看出，如果我们不画图的话，还可以把它们都和那个数作比较？

学生：1 即

1.50.3>1.50=1=0.80>0.81.2

这种比较大小的方法叫：介值法

对于例2，考察f(x)=1.5x在R上单调递增，由

1.5

x



1.5

2.6

知：x>2.6

变式1：若改为1.5x>2.251.3呢？

变式2：若改为1.5x<1.52.6呢？

变式3：若改为0.5x>0.52.6呢？

让学生来回答，进一步增强学生对指数函数性质的理

解和掌握. 例3 求最大最小值（或求值域）

(a函数

y



a

x



1)

在[0,1]上的最大值是________，最小值是________. x(a函数

y



a



1)

在[0,1]上的最大值是最小值的2倍，则a= ________.

变式1 若0

变式2若a不说呢？

先组织学生来回答，老师补充，这道题目考察

了函数的单调性，最后提问：这道题的变式2考察了什么数学思想方法？

四、归纳小结

这节课你学到了哪些内容？

这节课你学到了哪些数学思想和方法？

五、板书设计

3.1.2 指数函数的图象及性质

一．定义

例1

y=2x（x∈N+）

二、图象

例2

y



(1

)

(

x



N

)

2x

例3

三、性质