3.4.1 函数与方程课件配套优秀教案案例

函数与方程

一．教学目标

1．理解函数零点的概念，函数零点与方程根的关系以及函数零点的性质．

2．利用函数与方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想解决函数、方程、不等式有关问题．

3．理解函数方程、数形结合、分类讨论等数学思想方法．

二．课前诊断

1．教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏．上课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误．

2．结合课件点评．必要时可借助实物投影，有针对性地投影几位学生的解答过程．

题1．函数f(x)=2x+x32在区间(0,1)内的零点个数是

.

【点评】使用零点存在定理或作出基本函数图象来解决. 问题1：函数f(x)=2x+x32在区间(0,1)内有且只有一个零点的充要条件是f(0)f(1)<0吗？从函数的角度怎样研究？

【解析】解法1:因为f(0)=1+02=1,f(1)=2+232=8,即f(0)f(1)<0且函

数f(x)在(0,1)内连续且递增,故f(x)在(0,1)内的零点个数是1. 问题2：将函数f(x)=2x+x32的零点转化成哪两个函数图象交点的横坐标问题？

问题3：函数y1=2x与函数y2=2x3的图象是怎样的？

【解析】解法2:设y1=2x,y2=2x3,在同一坐标系中作出两函数的图象可知答案：1.

变题：函数f(x)xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为

．

【点评】利用零点的概念,同时注意三角函数的周期性. 22解析:f(x)0,则x0或cosx0,xk2,kZ,

又x0,4,则k0,1,2,3,4,所以共有6个解.

2题2.定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x).当3x1时, f(x)(x2), 当1x3时,f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2012)

.

【点评】抓住函数的周期性和分段函数的性质，注意最后不足一个周期的具体情况.

【解析】由f(x6)f(x),可知函数的周期为6, 所以

f(3)f(3)1,f(2)f(4)0,f(1)f(5)1,f(0)f(6)0,f(1)1,f(2)2, 所以在一个周期内有f(1)f(2)f(6)1210101, )f(1)f(2)33513353338.

所以f(1)f(2)f(20121]上, 题3.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[1，第4讲函数与方程

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1≤x0，ax1，f(x)bx2bR.若其中a，，0≤x≤1，x113ff,则a3b的值为____.

22【点评】先用函数的周期性,再用分段函数计算，注意每个函数值的具体值代入后再确定两个参数的值.

【解析】∵f(x)是定义在R上且周期为2的函数,∴f1f1,即a1=b2①. 21b4311 又∵ff=f, ∴a1=②. 23222 联立①②,解得,a=2. b=4.∴a3b=10.

3问题1：f如何表示？

2问题2：周期性如何具体化？

|x21|题4.函数y=的图象与函数y=kx2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是__________.

x1【点评】抓住分段函数的图象及性质,利用图象确定两函数的交点,从而确定参数的取值范围. 【解析】函数yx21x1(x1)(x1)x1,当x1时,yx21x1x1x1, x21x1，x1x1,1x1x1,1x1, x1当x1时,y, 综上yx1x1x1,x1x1,x1x21解法一:∵函数y=kx2的图象直线恒过定点B(0,2), 42DO 分段函数y=|x1|的图象如图，A(1,2),C(1,0),D(1,2)

x12C52+20+22+2=0,kBC==2,kBD==4, ∴kAB=101010 由图象可知k(0,1)B42A(1,4). 6解法二:作出函数的图象 (蓝线), 要使函数y与ykx2有两个不同的交点, 则直线ykx2必须在四边形区域ABCD内

(和直线yx1平行的直线除外), 如图, 81012 则此时当直线经过B(1,2),k2(2)4, 10 综上实数的取值范围是0k4且k1,即0k1或1k4. 第4讲函数与方程

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2aab,ab变题：对于实数a和b,定义运算“﹡”:a*b,设f(x)(2x1)*(x1),且关于x的

2bab,ab 方程为f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是_________.

【点评】根据新定义进行新运算,利用分段函数的值域确定参数的范围.

1212(x)，x0(2x1)(2x1)(x1),2x1x148【解析】由定义运算“*”可知f(x)=, 211(x1)(2x1)(x1),2x1＞x1(x)2x＞0242 画出该分段函数图象后可知m(0,),设满足条件的x1,x2,x3为x1x2x3, 则x1(1411313. ,0)关于m递减, x2x3(0,)关于m递增,x1x2x3的取值范围是（,0）44163、诊断题归纳：

（1）函数有零点问题、方程有解问题转化为函数图象有公共点问题去解决；

（2）分段函数要分段考虑，新定义题要抓住其中的函数的实质，充分利用函数方程的思想方法解题.

例1：已知函数f(x)ax2(a2)x1。

（1）若a为整数，且函数f(x)在(2,1)上恰有一个零点，求a的值；

（2）若a为正数，且方程f(x)0的两根均在(0,2)内，求a的取值范围．

【教学处理】要求学生自己分析. 或板演或提问学生口答教师板书。

【启发谈话与引导分析】

第一问，方案一：函数f(x)ax2(a2)x1是二次函数吗？

要注意二次项的系数a为零和不为零共两种情形；

①

当a0时，怎样？

②

当a0时，研究哪些限制条件？由于a40，只要f(2)f(1)0就可以了．

方案二：：分离参变量法（对于本题可不讲分离参变量法，后面例2例3再讲分离参变量法）．

2第二问，已确定a0，根据函数f(x)ax(a2)x1的图象，考虑、对称轴

、函数值f(0)、f(2)的符号．

解（1）法一：①a0时f(x)2x1（舍去）

2

②a0时a40f(2)f(1)0，(6a5)(2a3)0

235a,又aZa1.

262x1t1

法二：f(x)0a2令2x1t,t(5,3)则x

2xx4t435,a(,)，又aZa1.

a2126t1tt

第4讲函数与方程

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a011(0,2)2a32（2）a40a

2f(0)0f(2)0点评：本题第一问易漏考虑a0的情形；第二问根据函数图象研究根的分布较方便．

【变式】方程f(x)0两根为x1,x2且x1(0,2),x2(2,3)，求a的取值范围．

点评：本题用函数方法处理方程根的分布问题，因为f(0)10只要考虑f(2)0,f(3)0较简捷．

73答案：a(,)

62例2：已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f(x)的全体：①f(x)在其定义域上是单调增函数或11单调减函数；②在f(x)的定义域内存在区间[a,b]，使得f(x)在[a,b]上值域是[a,b]。

223（1）

判断函数yx是否属于集合M？并说明理由，若是，请找出区间[a,b]；

（2）

若函数yx1tM，求实数t的取值范围。

【教学处理】要求学生自己分析. 或板演教师点评。

【启发谈话与引导分析】

第一问，判断函数是否属于集合M，要紧扣两个条件，只有满足条件（1）（2）的函数才属于M。

（1）怎样研究函数yx3的单调性？导数法。yx3在R上是减函数。

（2）假设存在区间[a,b]使yx3在[a,b]上值域是[,]，根据函数的单调性可求出a,b的值。ab222222,]上值域为[,]。从而可得函数yx3属于集合M。

2244aa1t2(1ab)，

第二问，知函数yx1t在[1,)上是增函数，得b1tb2x此式说明什么？说明a,b是方程x1t在[1,)内的两解，

2x如何研究t的范围？采用分离参数的方法将问题转化为tx1在[1,)上有两解．

2解：（1）y'3x20yx3在R上是减函数，

ab3设存在区间[a,b]使yx在[a,b]上值域是[,]，

2223baa2222yx3在[2,2]上值域为[,]yx3属于M.

则2244b3ab222yx3在[（2）y

x1t在[1,)上是增函数，，)使y设存在区间[a,b][1abx1t在[a,b]上值域是[,]

22第4讲函数与方程

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aa1tx2(1ab)，即x1t在[1,)上有两解．

则2b1tb2x研究tx1在[1,)上有两解：

21s211s(s-1)2在[0,)上有两解0t

方法1：设x1s[0,)，则t222xx2'方法2：令g(x)x1，则g(x)，

22x1(x11)11x(1,2),g'(x)0;x(2,),g'(x)0.而g(1),g(2)0.0t．

22点评：本题是存在性问题的研究，通过假设存在，将函数问题转化为a,b是方程x1tx在[1,)内2的两解，采用换元或分离参数将方程在指定范围内有解问题转化为研究函数的单调性和值域问题．

例3：已知函数f(x)21x,h(x)32x

(1)设函数F(x)f(x)h(x)，求F(x)的单调区间与极值；

(2)设aR，解关于x的方程log4[33f(x1)]log2h(ax)log2h(4x)

。

24

【教学处理】第一问提问学生板演即可，第二问要求学生自己分析，教师点评。

【启发谈话与引导分析】

第一问，问题：常用的求单调区间与极值的方法是什么？此题应选择什么适合的方法？

注：此题采用导数方法直接求解.

第二问，问题1：拿到此题以后第一步应该做什么？化简方程要注意什么？

注：同解变形，密切关注函数定义域. 所以原方程可化为log4(x1)log2即4xlog2ax, 1log2(x1)log24xlog2ax，

2x10,4x0,1x4ax0,xa,2(x1)(4x)ax.a(x3)5.

问题2：对于上述方程组应如何求解？

对于含有字母的方程应

从什么角度入手？

结合图形可得：

①当1a4时，原方程有一解x35a；

②当4a5时，原方程有二解x35a；

③当a5时，原方程有一解x3；

第4讲函数与方程

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④当a1或a5时，原方程无解．

点评：本题研究方程在指定范围内解的个数问题，等价转化为函数图象交点的个数，最终是将方程转化为方程a(x3)25在特定范围1x4,xa内解的个数问题．学生易犯错误是在化简方程时不考虑原定义域．

四、解题反思

每一道例题讨论后，都应留出一点时间让学生进行回顾和体悟。可引导学生对这三道例题作如下反思：

1、函数零点的性质：如果函数yfx在区间a,b

上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fafb0，那么，函数yfx在区间a,b内有零点，即存在ca,b，使得fc0，这个c也就是方程fx0的根. 思考：（1）如果函数yfx在区间a,b

上的图象是连续不断的一条曲线，fafb0是函数yfx在区间a,b内有零点的充分不必要条件。

（2）将“区间a,b”改为“区间a,b”，是否有上述结论？

2、函数零点、方程的根、不等式解的端点的关系

（1）函数yfx的零点.函数yfx的图象与x轴交点的横坐标方程fx0的实根不等式fx0或fx0的解的端点。

（2）一般可采用分离参数将方程在指定范围内有解问题转化为研究函数的值域问题，对于含有参数的一元二次方程在指定范围内有解问题也可用方程根的分布解决。

执笔修改：蒋同山

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