3.4.1 函数与方程教学实录及点评

《3.1.1方程的根与函数的零点》教学案3 教学目标：

理解函数(结合二次函数)零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．

零点存在性的判定．

教学重点：

重点

零点的概念及存在性的判定．

难点

零点的确定．

教学程序与环节设计：

创设情境：

先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：

Δ＝b2－4ac

Δ>0

Δ＝0

Δ<0

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象

与x轴的交点

零点个数

___________

______

无

__

__

0

生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．

师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？

二次函数的零点：

二次函数yax2bxc(a0)．

（1）△＞0，方程ax2bxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝0，方程ax2bxc0有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜0，方程ax2bxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

师：引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况．

生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．

组织探究：

函数零点的概念：

对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点．

函数零点的意义：

函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标．

即：

方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数的零点是一个点．(

) (2)任何函数都有零点．(

) (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.(

)

函数零点的求法：

求函数yf(x)的零点：

1

(代数法)求方程f(x)0的实数根；

○2

(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起○来，并利用函数的性质找出零点．

师：例题（2）引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系．分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．

1探究点一

求函数的零点

判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

(1)f(x)＝x＋3x；

2．

(2)f(x)＝x＋2x＋4；

(3)f(x)＝2x－3;

(4)f(x)＝1－log3x.

函数零点的求法

求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：其一是令f(x)＝0，

根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.

例

探究点二

判断函数零点的个数

(1)函数(

) A．3

C．1

B．2 D．0 2x＋2x－3，x≤0，f(x)＝的零点个数为－2＋ln

x，x＞02(2)函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，则实数a的取值范围是________．

．

1.若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．

．

师：引导学生探索判断函数零点的方法，

判断函数零点个数的三种方法

(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数.

(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．

(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．

判断函数零点所在区间的三个步骤

(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．

(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．

(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.

课堂小结

布置作业