2.2.1 函数的单调性公开课教案

函数的单调性（教学设计）

江苏省淮安市淮阴区淮海中学

宗文祥

一、本节内容在教材中的地位与作用：

《函数的单调性》系苏教版高中数学必修一的内容，该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。

二、学情、教法分析：

按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。依据现有认知结构，学生只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大，函数值增大”的变化趋势，而不能用符号语言进行严密的代数证明，只能依据形的直观性进行感性判断而不能进行“思辩”的理性认识。所以在教学中要找准学生学习思维的“最近发展区”进行有意义的建构教学。在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。

三、教学目标与教学重、难点的制定：

依据课程标准的具体要求以及基于教材内容的具体分析，制定本节课的教学目标为：

1.通过函数单调性的学习，让学生通过自主探究活动，体会数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数的性质。

2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数的单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力。

3.能够用函数的性质解决生活中简单的实际问题，使学生感受到学习单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发其积极性。

在本节课的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于教师的整个课堂教学过程和学生的学习过程；利用函数的单调性的定义证明简单函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且“取值、作差与变形、判断、结论”过程学生不易掌握。所以对教学的重点、难点确定如下：

教学重点：函数的单调性的判断与证明；

教学难点：增、减函数形式化定义的形成及利用函数单调性的定义证明简单函数的单调性。

四、教材内容简析：

本节主要内容如下：

(1)单调性的相关定义：一般地，设函数间A内的任意两个值，当时都有的定义域为I，区间AI：如果对于区，那么就说在区间A上是增加（减少）的。此时，A是单调递增（递减）区间。

注：关键词：“区间AI：”、“任意”、“都”。区间AI表明判断函数单调性首先判断函数的定义域，“任意”表明不可以用两个特定的值来确定函数是增函数还是减函数，但是可以用来否定函数是增函数或者否定函数是减函数，“都”表示单调区间中的每一个值无一例外。

如果函数在定义域的某个子集上是增加或减少的，那么就称这个函数在这个在定义域是增加或减少的，那么就分别称这个函数子集上具有单调性。如果函数为增函数或减函数，统称为单调函数。

(2)单调性的判断与证明：

①单调性的判断：图像法、定义法；（注：两个单调区间的“并”不一定是单调区间。）

②单调性的证明步骤归结为五个步骤：取值、作差与变形、判断、结论。

五、教学过程设计：

教教教学

学

学教学目

教学呈现

设计意图

说明

时的

环节

方间

法

导入

新

1

分

钟

利用生活中的实例引教师引言：

日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从阶梯教室后向前走，逐步下降,上下楼梯也是一样。

明确学习内容且向学生渗透研究函数问题的一

讲

用课件演示

课

出课

题

般方法。

（而后将其引申到函数中图像的上升与下授

降，接着板书课题：函数的单调性）

法

1.函数的单调性

问题1：姚明在NBA几个赛季的得分与篮板

变化统计图。从图看出，变化趋势？

问题2：一次函数y=kx+b中，当k>0时，y

的值随x的值的增大

新

而

；当k<0

授

15

课

分

时，y的值随x的值的增大考察学生

钟

而

。

的观察能

力，培养

思考交流：对于下图(课件中)给出的函数值y随自变量x值的变化情况吗？(移动鼠标到学生的数

对函数图像上观察会出现y随x值的变化情况)

学表达能

的单调

力让学生

性有感给出实例:

用鼠标拖动红点左右移动，你自己分

性的认会发现图像中点的坐标有何变化吗？你能析。

识

找出其中的规律吗？怎样用数学语言表达演

函数值的增减变化吗？

示

法

用课件演示

对函数图象的增、减情况用几何画板演示，增加直观性、提高学生兴趣

用课件演示

理解增、减函数的定义

从上推广到一般情况，给出一般图形，要求转化成符号语言,此时提出“单调增函数、单调减函数”两名词；让学生自己总结单调增、减函数的具体定义。

板书：

一般地，设函数间A的定义域为I，区让学生自己去领概念。

强化教学重点，加强对知识的记忆

把握概念的本质

示

法与

谈

话

法

讲

授

法

让学生口述

教师板书

关键词：“任意”

、“都”。

悟、思考、演

I：如果对于区间A内的任意两个值，当

，

那么就说在这个区间上是单调增时都有

（减）函数。

思考交流：你认为增、减函数定义中的关键

词是什么？

教学

环节

教学时间

教学目的

教学呈现

设计意图

教学方法

说明

了解单调函数、单调区间的概念

能运用函数单调2.单调函数、单调区间

[教师口述]：函数是单调增函数或是单调减函介数，是对定义域内某个区间而言的。如果函数绍相在某个区间上是单调增函数（单调减关概函数），那么就说函数在这个区间上念，使具有单调性。这一区间叫做的单调增学（减）区间。

生

进一如果函数在定义域的某个子集步上是增加的或是减少的，那么就称函数理解在这个子集上具有单调性。如果函数单调在整个定义域内是增加的或是减少性的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，的统称为单调函数。

概

念。

问题3：（如图）定义在区间上

的函数的图象，根据图象

说出的单调区间，以及在

每一单调区间上，是单调

增函数还是单调减函数。(移动鼠标

到图像上观察会出现单调区间)

谈

话

法

题目及图形的给出用课件演示。

注：

对函数的单调减区间学生易错写成

的形式，要特别

教学

环节

新

授

课

教学时间

12

分

钟

教学目的

能运用函数的单调性定义进行证明函数在某一区间上的单调性

教学呈现

设计意图

教学方法

谈

话

法

讲

授

法

说明

3.函数单调性的判断与证明

我们来看例题:

渗透用图象法例1：说出函数的来单调区间，并指明在该区间上判的单调性。

断

函解析：画出图形，并通过图形数让学生自己讲出过程。

的

单板书：详细过程。

调

性

思教师过渡语言：

想

方要了解函数某一区间是法

否具有单调性，从图象上进行

观察是一种常用而又较为粗

略的方法，严格地说，它需要

根据函数单调性的定义进行

证明。我们来看一个例题：

提

出

问题、例2：画出的创图像，判断它的

设

情单调性，并加以证明。

境，

培解析：画出图形，让学生归纳。

养

学下面利用定义证明：（略）

生

积

极例1的图用课件演示上升下降。

注：1.请学生说

出：将例1中分子上的1改为k时的单调区间。

2.通过以上的分析，能否说例1中的函数

在定义域

内是减少的？

在讲授完，用课件展示过程。

注：例题中的注意点：

①解题格式

②防止循环论证

③作差同“0”比较

能灵活运用概念证题

思考交流:请同学们试想，根据函数单调的定义证明已知函数的单调性的关键在于什么？

师生共同归纳用定义法证明函数单调的一般步骤：

思考、快速把握问题实质（1）取值：设是给定区的间上的任意两个值，且良好；

思

维（2）作差与变形：作差品质。

，变形，一般

化成几个因子积的形式（或平

方和形式）；

加（3）判断：确定深学的符号；

生

对（4）结论。

函

数接下来，我们再来看一个例单题：

调

性定例3：判断在（-义∞，0）的单调

的

理性，并加以证明。

解，

规分析:先画图，利用图像来判范断，再利用定义来证明单调解性。（让学生自己动手）

题

格变式训练：将本题中的定义域式

改为(0，+∞),你能否给出解

答吗？

讨

论

法

总结：利用图象法判断函数的单调性，利用定义法证明(步骤：取值，作差与变形，判断，结论)。

在讲授完，用课件展示过程。

培养学生归纳总结的能力

培养学生自己动手的能力

教学

环节

教学时间

教学目的

教学呈现

设计意图

教学方法

说明

课

堂

练

7

习

分

钟

练习：

1.定义在R上的函数对

任意两个不等实数a,b,总有

进

一成立，则必

步有

（

）

巩

固及函A. 函数是先增后减函时数数;

反单

馈，调检性B. 函数是先减后增函查的数;

知概

识念的及C. 是R上的减函数；

落证

实明情函D. 是R上的增函数。

况

数

单2.设函数调性的是R上的减函

方

法

数，求a的范围。

3.函数

在上是增函数，在上是减函

数，则（）

A.-1 B.7 C.3 D.

4.求证：函数在区间

练

结果在课件上展示出来

习

法

课

后

小

结

2

分

钟

强调教学目标突出教学重点

使学本节课重点要理解函数单生调性及相关概念，掌握

在函数单调性的判断(图象头法)与证明(定义法)的方法与

脑步骤（取值，作差与变形，中判断，结论）；通过学习,增的强数形结合的意识与能力，学知会从感性到理性，从具体到抽识象的研究问题的方法。

结构得到提炼、帮助掌握重点内容

课本习题2-3 A组：2，4，5

课后思考：

函数

培养学生独立解决问题的能力

谈

话

法

让学生来小结、回顾

布

置

作

业

1

分

钟

课后进一步掌握、巩固概念方法

课后思考要求较高作为选做题

在上是增函数，试求出a的取值范围。

教学

后记

本课是让学生通过观察函数图象的基础上，从特殊到一般的方法归纳出函数单调性的定义及有关概念，通过例题归纳出证明函数单调性的方法、步骤及注意点。这篇教学设计完整，思路清晰．案例首先通过实例阐述了函数单调性产生的背景，归纳、抽象概括出了增函数、减函数的定义，充分体现了数学教学的本质是数学思维过程的教学，符合新课程标准的精神．例题与练习由浅入深，完整，全面．练习的设计有新意，有深度，为学生数学思维能力、创造能力的培养提供了平台．它的特点体现在如下几个方面：

1.强调对基本概念和基本思想的理解和掌握

由于数学高度抽象的特点，注重体现基本概念的来龙去脉．在数学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质．

2.注重联系，提高对数学整体的认识

数学的发展既有内在的动力，也有外在的动力．在高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其他学科的联系．

3、注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力

在数学教学中，应注重发展学生的应用意识；通过丰富的实例引入数学知识，引导学生应用数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值，帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关；数学是有用的，我要用数学，我能用数学．

但是，在真正教学中也出现了一些问题：

1.时间的控制上难以把握；2.学生的单调性的证明过程写的不够完美。

六、板书设计：

函数的单调性

1、 函数单调性定义：

2、 单调函数、单调区间：

3、 函数单调性的判断与证明方法：

例2：画出例1：说出函数的单调判断它的

单调性，并加以证明。

例3：判断区间，并指明在该区间上的单调性。

的图像，在（-∞，0）

的单调性，并加以证明。

练习答案：……