回顾与思考优秀课堂实录

第三章

变量之间的关系复习课教学设计

郑州市第七十六中学 王昌峰

一、

学情分析：

学生方面：学生在上学期代数式求值、探索规律等方面知识学习中，已经渗透了变化的思想，本章是第一次明确讨论变量之间的关系，研究现实世界中的变化规律，使学生从认识常量的世界进入了认识变量的世界，为后面函数学习奠定基础。在前面相关知识的学习过程中，学生已经

初步了解变量之间关系，解决了一些简单的现实问题，感受到了变量之间关系研究的必要性和作用，获得了研究变量内容所必须的一些数学活动经验的基础；并经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力，本章学习应该比较顺利。

学习任务方面：

教材提出了本节课的具体学习任务：回顾总结表示变量之间的方法，学会用表示变量之间关系的各种形式分析变量之间的关系，能用适当的方式表示实际情境中变量之间的关系，并进行简单的预测。从常量的世界走入变量的世界，开始接触一种新的思维方式——用运动变化的观点去认识数学对象，发展符号感和抽象思维。发展有条理的思考和进行表达的能力。能从运动变化的角度解释生活中的数学现象，体验成就感，获得学习的快乐，发展对数学更高层次的认识。能读懂表格、关系式、图象所表示的信息，还能用表格、关系式、图象刻画一些具体情境中变量之间的关系. 二、

学习目标:

1.通过回顾总结表示变量之间关系的方法，能读懂表格、关系式、图像所表示的信息，具体问题中能找出变量，自变量、因变量以及因变量随自变量的变化情况。

2.在实际问题中，能正确用表格、关系式和图像表示某些变量之间关系，并结合对变量之间关系的分析，对变化趋势进行初步的判断。

3.会整理实际问题中变量之间关系的信息，并能进行预测。

三、教学过程：

本节课按知识点分类设计了四个教学环节：合作探究，知识梳理；展示交流，典例讲练；考查反馈，查漏补缺；课堂小结，知识升华。

第一环节：合作探究，知识梳理

1.举例说明常量、变量；

2.举例说明自变量和因变量；

3.表示变量之间关系的方法有哪些，各有什么特点。

丰富的现实情境

变量之间的关系

变量和因变自量

第二环节：展示交流，典例讲练

例1．一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度就会发生变化，实验数据如下表：

所挂物体的质量/千克

弹簧的长度/cm 0 12 1 12.5 2 13 3 13.5 4 14 5 14.5 变量之间关系的探索和表示

关系式法

利用变量之间的关系解决问题、进行预测

列表法

图像法

(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

(2)弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？

(3)如果此时弹簧最大挂重量为15千克，你能预测当挂重为10千克时，弹簧的长度是多少？

设计意图：强化用表格来表示变量之间关系，其优点是：对于表中的自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把因变量的值找到（如本题0千克与12cm这组对应值），其不足之处是：表格只能列出部分自变量与因变量对应的值（如本例10千克与17cm这组对应值，表格中没有反映出来），难以反映变量之间变化的全貌。

例2．如图：将边长为20cm的正方形纸片的四个角截去相同的小正方形，然后将截好的材料围成一个无盖的长方体。

(1)这个情境反映了哪两个变量之间的关系？其中自变量是什么？因变量是什么？

(2)在以上问题中，若设截去的小正方形的边长是xcm，围成的无盖长方体的体积是ycm3,则y与x之间的关系式是__________________；

(3)若小正方形的边长是5cm，那么长方体的体积是多少cm3？当x=2.5cm体积是多少cm3

(4)根据以上关系式填下表：

x/cm y/cm3 1

2

3

4

5

6

7

8

9

(5)当x在什么范围变化时，y随x的增大而增大，当x在什么范围变化时，y随x的增大而减小？你又是根据哪种表示法得到的？

(6)请你估计x取何值时，制成的无盖长方体的体积最大？

设计意图：强化用关系式表示变量之间关系，其优点是：比较准确，有了关系式，可以由自变量的一个值，求出相应的因变量的值，反过来知道因变量的一个值，也可以求出相应的自变量的值。（如本题5cm与500 cm3这组对应值），其不足之处是：关系式反应的两个变量之间的关系比较抽象，只有借助列出部分自变量与因变量对应值表才能看出变化的特点。

例3．小红与小兰从学校出发到距学校5千米的书店买书，下图反应了他们两人离开学校的路程与时间的关系。根据图形尝试解决你们提出的问题。

（1）小红与小兰谁先出发？谁先达到？

（2）描述小兰离学校的路程与时间的变化关系。

（3）小兰前20分钟的速度和最后10分钟的速度是多少？怎样从图像上直观地反映速度的大小？

4 （4）小红与小兰从学校到书店的平均速度各是多3 少？

设计意图：强化用图象表示变量之间关系，其优点是：能形象直观反映事物变化的全过程、变化趋势和某些性质，其不足之处是：表示出来的图象是近似的、局部的，观察由图象确定的因变量的值，往往不够准确。

例4．一辆汽车以每小时50千米的速度行驶了t小时，行驶的路程为s千米. （1）这个情境中，有哪些变量？其中自变量是什么？因变量是什么？

(2)你能用哪种方式表示路程与时间之间的关系？具体做一做。

（3）该汽车行驶2.5小时的路程是多少千米？

（4）一段公路全长350千米，这辆汽车行驶完全程需要多少小时？

设计意图：用关系式、表格、图象三种不同的方法表示一个问题中的两个变量之间的关系，进一步体会三种表示方法的优点和不足；体会三种不同方法互相取长补短来共同研究，这也是今后我们学习函数的重要的方法

2 1 0 10 20 30 40 50 60 t/分钟

5 s/千米

实线---小兰

虚线---小红

第三环节：考查反馈，查漏补缺

1. 2012年6月份某一天沈阳的气温随时间变化的情况如图所示，回答下列问题：

温度/℃

(1)这天的最高气温约是 ℃；

(2)这天一共有 个小时的气温在24℃以上；

(3)这天在 范围内温度在上升；

28 26 24 这天在 范围内温度在下降；

(4)请你预测一下，次日凌晨1点的气温大约多少度。

22 20 0 3 6 9 12 15 18 21 24 时间

2.果子成熟从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：

时间t/秒

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 5×1 …

…

高度 h/米

5×0.25 5×0.36 5×0.49 5×0.64 5×0.81 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

(2)如果果子经过2秒落到地上，那么请估计这果子开始落下时离地面的高度是多少米？

(3)请你列出果子落下的高度h（米）与时间t（秒）之间的关系式。

3．某种油箱容量为60升的汽车，加满汽油后，汽车行驶时油箱的油量Q（升）随汽车行驶时间t（时）变化的关系式如下：Q＝60－6t (1)请完成下表

汽车行驶时间t/小时

油箱的油量Q/升

0 60 1

2.5

4

(2)汽车行驶5小时后，油箱中油量是 升

(3)若汽车行驶过程中，油箱的油量为12升，则汽车行驶了 小时

(4)贮满60升汽油的汽车，最多行驶 小时

(5)下面哪个图像能够反映变量Q与t的关系的是（ ）

Q Q Q t （A）

t t （B）

（C）

第四环节：课堂小结，知识升华

一、本节课你都学习了哪些知识和方法？（小组交流梳理总结）

二、大胆说出你还有哪些疑惑？

设计意图：让学生通过畅谈自己的收获的体会，巩固所学知识，感受解决问题的过程中蕴含的数学思想与方法.

四、布置作业

根据学生基础选择不同层次作业： 1.课本复习题。

2.水平测试（相应作业设计）。

五、拓展延伸

分析下面反映变量之间关系的图，想象一个适合它的实际情境.

设计意图：通过本题培养学生思维的灵活性和合理的想象能力、语言的表达能力，进一步体会用图像来反映两个变量之间的关系。