完全平方公式的应用教学目标

北师大版数学七年级下册第一章

《完全平方公式（第2课时）》教学设计

一、学情分析

学生对整式的计算及公式的运用已经有初步的认识，加上之前也经历探究学习的过程，所以这节课对学生的理解、掌握来说并不是难事。主要表现在：一方面，学生通过上一节课的学习，已经历了探索和推导完全平方公式的过程，能运用公式进行简单的计算，同时也基本掌握了整式的乘法运算，并能简单运用平方差公式和完全平方公式进行计算，这些知识的掌握为本节课的学习奠定了良好的知识技能基础.另一方面，学生已经获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感知能力和推理能力，具有了一定的独立探究意识以及与同伴合作交流的能力，所以学生也积累了一定的活动经验.

二、教材分析

本节课是在学生已经历了完全平方公式的探索和推导过程之后，并能够运用完全平方公式进行简单计算的基础上，提出学习任务的.可以说是对完全平方公式的进一步巩固，并能将其运用到有关数的简便运算当中去.所以本节课实际上是对乘法公式及整式乘法运算的简单的综合运用.为此，本节课的教学目标是：

1．知识与技能：熟记完全平方公式，区分好完全平方公式与平

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方差公式的不同，能够运用完全平方公式进行一些数的简便运算，如会在多项式、单项式的混合运算中，正确运用完全平方公式进行计算. 2．过程与方法：能够运用完全平方公式解决简单的实际问题，并在活动当中培养学生的数学意识及应用数学解决实际问题的能力，感悟换元变换、整体的思想方法，提高灵活应用乘法公式的能力，体会符号运算对解决问题的作用，进一步发展学生的符号感. 3．情感与态度：在学习中使学生感受到通过运用公式让某些计算变得简便，体会到学习数学的乐趣，培养学习数学的信心，感爱数学的内在美.

三、教学过程设计

本节课设计了六个教学环节：复习、导入、讲授、练习、小结、作业. 第一环节 复习

活动内容：复习已学过的完全平方公式. 1.完全平方公式法则：(a+b) = a + 2ab + b22222 (a-b) = a - 2ab + b

2. 想一想：

（1）两个公式中的字母都能表示什么? 数或代数式

（2）完全平方公式在计算化简中有些什么作用? 活动目的：通过进行复习，既回顾了上节课所学的完全平方公式的内容，又通过抛出问题为后面的学习奠定了一定的基础，起到

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了承前启后的作用. 实际教学效果：在复习过程中，学生整齐地回答出完全平方公式的内容，通过抛出两个问题，一个用以回顾，调动学生的学习状态，一个用来引出本节课的学习内容，激发学生的学习欲望，提起学生对本节课的学习兴趣. 第二环节 导入

活动内容：出示幻灯片，提出问题. 一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们. 来1个孩子，老人就给这个孩子1块糖果；来2个孩子，老人就给每个孩子2块糖果；来3个孩子，老人就给每个孩子3块糖果，…… (1) 第一天有

a

个男孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖果？

(2) 第二天有

b

个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖果？ (3) 第三天这(a + b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖果？ (4)第三天老人给出去的糖果和前两天给出去的糖果总数一样多吗？ 活动目的：通过生活当中的一个有趣的分糖场景，让学生感受到生活中处处都有数学.通过问题串的形式，将问题由浅入深，层层

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递进，适合学生的思维梯度.学生通过自主探究和交流巩固了(a+b)2=a2+2ab+b2，同时进一步理解了(a+b)2与a2+b2的关系，既学到了新知识，又巩固了旧知识，学生的学习积极性和主动性得到激发. 实际教学效果：问题提出后，学生同桌之间互相交流合作，主动寻找问题的答案.同时问题串的设计具有梯度，使得学生一步步对知识得以深入理解，并在解决问题的过程中进一步理解了(a+b)2与a2+b2的关系.在整个探索过程中，教师只是在提出问题和引导学生解决问题，学生通过独立思考与讨论的方式得出了答案，所以整个过程学生的自主性得到充分体现，课堂气氛平等融洽. 第三环节 讲授

活动内容：1.完全平方公式的运用

思考：怎样计算102,197更简便呢？

(1) 102 ; (2) 197 （1）解：原式=(100+2)

=100+2×100×2+2

=10000+400+4 =10404 （2）解：原式=(200-3)

=200-2×200×3+3

=40000-1200+9 =38809 活动目的：能够观察出可以运用完全平方公式进行一些有关数

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的运算，使得计算简便，进一步体会完全平方公式在实际当中的应用. 实际教学效果：此环节的设计符合学生的认知水平和认知过程.虽然问题本身难度不大，学生容易解决，但是通过在解题之前的观察与思考，使学生养成认真审题的好习惯，通过让学生自己说出做法，将自己的思考方式表达出来，更加明确对该知识点的理解，也为后面乘法公式的综合应用奠定了良好的活动基础. 2.典例精析

例1 计算：

(1) (x+3)2 - x2

解: 原式=x2＋6x+9-x2

=6x+9 温馨提示：熟记公式

(2)

(x+5)2–(x-2)(x-3)

解:原式=(x2+10x+25)-(x2-5x+6)

=x2+10x+25-x2+5x-6

=15x+19

温馨提示：(x−2)(x−3)展开后的结果要注意添括号.

(3)

(a+b+3)(a+b-3) 解:原式=[(a+b)+3][(a+b)-3] =(a+b)2-32

=a2+2ab+b2-9

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温馨提示：将(a+b)看作一个整体，解题中渗透了整体的思想

例2 利用乘法公式计算：

(x+2y-3)(x-2y+3) 解：原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]

= x2-(2y-3)2

= x2-(4y2-12y+9)

= x2-4y2+12y-9. 方法总结：先用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组作为a，符号相反的为另一组作为b”. 例3 化简：(x－2y)(x2－4y2)(x＋2y). 解：原式=(x－2y)(x＋2y)(x2－4y2)

=(x2－4y2)(x2－4y2)

=(x2－4y2)2

=x4－8x2y2＋16y4. 方法总结：先运用平方差公式，再运用完全平方公式. 例4 已知a＋b＝7，ab＝10，求a2＋b2，(a－b)2的值．

解：∵a＋b＝7，ab＝10

∴a2＋b2＝(a+b)2－2ab

＝72－2×10＝29.

(a－b)2＝a2＋b2－2ab

＝29－2×10＝9. 解题时常用结论：

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a2+b2=(a+b)2－2ab=(a－b)2+2ab;

4ab=(a+b)2－(a－b)2. 活动目的：通过做几道典型例题使学生进一步熟悉乘法公式的运用，同时进一步体会完全平方公式中字母a，b的含义是非常广泛的，它可以是数，也可以是整式.题目难度由浅入深、逐渐加大，既激发学生的做题兴趣，又锻炼学生的发散思维，增加学生的做题信心和学习乐趣. 实际教学效果：例题1共由6位同学一起完成，其中3位同学作答，3位同学当小老师进行评分与点评。对于例题1（1），学生很容易想到借助于完全平方公式来解决问题.对于例题1（2），当整式乘法之间用减号连接时，此时应特别注意给减号后面的多项式结果加上括号，这是学生非常容易出错的地方，教师应给予强调，并在后面的练习中也有所体现.对于例题1（3），在之前的学习中就已经渗透了整体的思想，此题让学生进一步感悟公式中的“a”“b”除了可以代表数与字母之外，还可以代表代数式，并体会添加括号的思想. 对于例题2，部分学生通过观察可以想到先运用平方差公式计算，再运用完全平方公式计算.这题把后面的异号部分看成一个整体，跟前一题把前面的同号部分看成整体稍有不同，目的是让学生学会灵活运用整体的思想. 对于例题3，当学生看到三个多项式相乘时，很容易产生恐惧心理.所以需要鼓励学生不要害怕，并多给学生思考的时间，培养学生的观察能力.

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对于例题4，由于例4的题型跟前面的都不一样，所以很多学生不会做.教师要引导学生做这类题目时该如何思考及选择何种合适的公式进行计算. 第四环节

练习

1.运用完全平方公式计算：96. 2.计算：

(1)

(a－b+3)(a－b－3) (2)

(x－2)(x+2) －(x+1)(x－3) (3)

(ab+1)2－

(ab－1)2

(4)

(2x－y)2－(2x－y)(2x+y)

3.若a+b=5,ab=－6,

求a2+b2,a2－ab+b2. 活动目的：通过进行课堂练习巩固这节课所学的知识，加深学生对完全平方公式的运用的印象. 实际教学效果：此类题目的解答都已通过例题进行讲解，大部分学生已经掌握，所以学生完成得较好. 2第五环节 小结

活动内容：归纳小结

完全平方公式：

1. 法则：(a±b)2= a2 ±2ab+b2.

2. 注意：

①熟记完全平方公式法则；

②a、b表示的意义，它们可以是数，也可以是单项式，还可以

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是多项式，所以要有整体的思想；

③计算所得结果是多项式且整个多项式前有“－”，需要在“－”后给整个多项式添括号. 3. 常用结论：a2+b2=(a+b)2－2ab=(a-b)2+2ab;

4ab=(a+b)2-(a-b)2.

活动目的：进行课堂小结是对课堂知识点的回顾，应尽量让学生畅谈自己的切身感受，教师对于发言进行鼓励，进一步梳理本节所学. 实际教学效果：学生畅所欲言之后，教师应给予总结，进一步明确所涉及的数学思想和数学方法. 第六环节 作业

活动内容：

1.书本：习题1.12；

2.练习册：本节课内容. 活动目的：课后将所学知识进一步巩固，并得到反馈. 四、教学设计反思

总体来说本节课的设计题型丰富，习题梯度明显，能够让学生由浅入深，学有所得.但在具体的教学过程中可能因为题目数量过多二导致时间不够用，所以堂上练习可将一部分作为课后习题，让学生在课后再进行巩固提升。

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1.6.2

完全平方公式的运用

班级：___________ 姓名：___________ 座号：___________

一、旧知回顾

１.完全平方公式法则：

（1）_________________________.（2）_________________________. ２.想一想：

（1）两个公式中的字母都能表示什么? （2）完全平方公式在计算化简中有些什么作用? 二、新知探索

1．思考：怎样计算1022,1972更简便呢？

(1) 1022 ; (2) 1972 .

２.

典例精析：

例1 计算：

(1)(x+3)2-x2 (2)(x+5)2–(x-2)(x-3) (3)(a+b+3)(a+b-3)

例2 利用乘法公式计算：(x+2y-3)(x-2y+3)

例3 化简：(x－2y)(x2－4y2)(x＋2y)

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例4 已知a＋b＝7，ab＝10，求a2＋b2，(a－b)2的值.

三、知识巩固

1.运用完全平方公式计算：962.

2.计算：

(1)(a－b+3)(a－b－3)； (2)(x－2)(x+2)－(x+1)(x－3)；

(3)(ab+1)2－(ab－1)2； (4)(2x－y)2－(2x－y)(2x+y).

3.若a+b=5,ab=－6, 求a2+b2,a2－ab+b2.

四、知识小结及课后反思

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