习题2.3教学设计第二课时

课题：幂函数习题课

授课教师：沈佳宇

教材：普通高中课程标准实验教科书

数学

必修1 教材分析：

幂函数是一节概念讲授课，教学的重点是幂函数的概念、图象和性质。由于幂函数模型在现实生活中比较常见，所以上课时先结合现实生活中的具体实例来引出常见的幂函数yx,yx2,yx3,yx1,yx，引导学生观察图象，总结这几个函数的性质。

学情分析

幂函数是在学生已经系统学习了指数函数、对数函数的基础上研究的，这为学习幂函数作好了方法上的准备。因此，在引入幂函数的概念后，可以尝试放手让学生去进行合作探究学习。但是，我教授的高一（1）班的学生数学基础较薄弱，课堂反应较慢，于是，课堂上还不能完全放手，只能尝试在教师的引导下进行探究学习。另外，学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数概念后，组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析。幂值的大小比较是难点，分析讲解例题时要充分发挥学生的主观能动性，并且加以总结归纳。

一

、三维目标

（一）

知识与技能

1、

理解幂函数的概念，会画幂函数yx,yx,yx,yx,yx的图象。

2、

结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质。

（二）

过程与方法

1、

通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。

2、

使学生进一步体会数形结合的思想。

（三）

情感态度与价值观

1、

通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。

2、

利用计算机，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。

二、教学重点

常见幂函数的概念、图象和性质

三、教学难点

幂函数的单调性及比较两个幂值的大小

四、教学过程

（一）

创设情景，引入新课

（多媒体显示以下2个问题，同时附注相关图象，每个问题的结论由学生说出，然后再在屏幕上显示）

问题1：如果正方形的边长为x，那么正方形的面积y与x的函数关系式为

。

问题2：如果立方体的棱长为x ，那么立方体的体积y关于x的函数表达式为

。

引导学生观察上述例子中函数模型，两个函数表达式的共同特征：解析式的右边都是指数式，且底数都是变量。

结论：变量在底数位置，解析式右边又都是幂的形式，我们把这种函数叫做幂函数。

（引入新课，书写课题）

（二）

讲授新课

1、

幂函数的概念

1 2311212

一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数。

思考1：yx3与y3x有什么区别？

习题1：

下列函数中是幂函数的是(

) 11①y＝－x2；

②y＝2x；

③y＝xπ；

④y＝(x－1)3；

⑤y＝2；

⑥y＝x2＋. xxA．①③⑤

B．①②⑤

C．③⑤

D．只有⑤

分析

依据幂函数的定义进行判断．

习题2：若函数y＝(m2－3m＋3)xm－2为幂函数则m的值为(

) A．m= -1

B．m＝1或m＝2

C．

m＝2

D．m＝1

2、

几个常见幂函数的图象和性质

将家庭作业中的函数图象和性质进行评讲，因为其中我们初中已经学过yx,yx2，yx1，只有二个是未知的，并让学生们归纳哪些是比较易错的。

也可以借助几何画板来完成。（利用几何画板画出其他幂函数图象

）

定义域

值域

奇偶性

12yx

R R 奇函数

yx2

R yx3

R R 奇函数

yx

{x|x0}

{y|y0}

非奇非偶

yx1

{x|x0}

{y|y0}

奇函数

在(,0)和{y|y0}

偶函数

在(,0)上是减函数；

单调性

增函数

在(0,)上是增函数。

增函数

在(0,)上是增函数。

(0,)上均为减函数。

公共点

（1，1）

23112探究：根据上表的内容并结合图象，试总结函数yx,yx,yx,yx,yx的共同性质。

结论：

（1）

函数yx,yx2,yx3,yx1,yx的图象都过点（1，1）；

12（2）

在第一象限内，函数yx,yx,yx,yx是增函数，函数yx是

2 23121

减函数；

（3）

在第一象限内，函数yx1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近。

3、

例题讲解

例1：求下列幂函数的定义域。

(1)yx;(2)yx;(3)yx。

解：（1）定义域为R。

（2）y(3)y1222321，定义域为{x|x0}。

2xx3,定义域为{x|x0}。

12例2：比较下列各组数的大小。

(1)3.14,;(2)(0.38)3,(0.39)3;

(3)1.251,1.221;.分析：利用幂函数的单调性来解。（1）<,（2）>,（3）<, 步骤；（1）还原为幂函数的形式

（2）根据单调性来判断

小结规律：当0时，yx在第一象限上为增函数，底数大的函数值就大；

当0时，yx在定义域上为减函数，底数大的函数值反而小。

例3：已知幂函数yf(x)的图象过点(2,2)，试求此函数的解析式，判断其单调性并给出证明。

解：设幂函数yx，

依题意得，2aa22，

12a1，

212此函数解析式为yx。

f（x）在定义域内为增函数。

证明：设x1,x2(0,),且x1x2,

f(x1)x1x1,f(x2)x2,

12f(x1)f(x2)x1x2x1x2x1x2,

0x1x2,x1x20,x1x20,

3

f(x1)f(x2)0,f(x1)f(x2),

f(x)在定义域上是增函数。

课堂小结：

（1）

幂函数的概念以及它和指数函数表示式的区别；

（2）

常见幂函数的图象和性质；

（3）

幂值的大小比较方法。

布置作业：

（1）若x0，试比较

（2）学评67页达标训练

五、课后探究：

1、

在幂函数

y



（a=2n，n为非零自然数），如a=2，4，6……，

x

a中，如果a是正偶数，这一类函数具有哪些重要性质？

a2、 在幂函数

y



x

中，如果a是正奇数，（a=2n-1，n为非零自然数），如a=1，3，5……，

这一类函数具有哪些重要性质？

a[0a



a1

的图象有何不同？

3、 幂函数

y



x

,

x



,



),

1

与

0



1x和的大小。

x

4