习题2.1教案2

知识点一

指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象与性质

一般地，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象与性质如下表所示：

a＞1

0＜a＜1

图象

定义域

值域

R

(0，＋∞)

过点(0,1)，即x＝0时，y＝1 性质

当x＞0时，y＞1；

当x＜0时，0＜y＜1

在(－∞，＋∞)上是增函数

注意

(1)对于a>1与0

当x＜0时，y＞1 在(－∞，＋∞)上是减函数

(2)a>1时，a值越大，图象向上越靠近y轴，递增速度越快；0

知识点二

对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象与性质

a＞1

0＜a＜1 图象

定义域是(0，＋∞) 值域是R

性质

当x＝1时，y＝0，即图象过定点(1,0)

当x＞1时，y＞0；

当0＜x＜1时，y＜0

在(0，＋∞)上是增函数

知识点三

对数函数与指数函数的关系

对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称.(如图) 当x＞1时，y＜0；

当0＜x＜1时，y＞0 在(0，＋∞)上是减函数

知识点四

幂函数y＝xα的性质

(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；

(2)如果α>0，则幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上为增函数；

(3)如果α<0，则幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴；

(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数. 题型一

有关指数、对数的运算问题

指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容. 指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数式；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等.换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用. 例1

(1)化简：a8ab4b2aba233234313÷1－23b3×ab；

a(2)计算：2log32－log332log3＋log38－255. 913解

(1)原式＝a(a8b)(2b)2ab(a)1321313132a131313ab

1313a2b11a(a8b)1a3a3b3a3b. ＝a8b13322log3(2)原式＝log34－log3＋log38－55

992log3＝log3(4××8)－55＝log39－9＝2－9＝－7. 3216454跟踪训练1

()＋log3＋log3＝________. 8145答案

27

83316542－2727解析

()4＋log3＋log3＝()3＋log31＝＋0＝. 8145388题型二

函数的图象

函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及.考查形式有知式选图、知图造式、图象变换以及用图象解题.函数图象形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果.

1x例2

函数y＝2＋1的图象关于直线y＝x对称的图象大致是(

)

答案

A 1x解析

函数y＝2＋1的图象如图所示，关于y＝x对称的图象大致为A选项对应图象.

xax跟踪训练2

函数y＝(0

) |x|

答案

D xaxxxax解析

当x>0时，y＝＝a.又0

比较大小

比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，其基本方法是：将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值，其主要方法可分以下三种：

(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解；

(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0,1，－1等；

(3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决. 10.23例3

设a＝log13，b＝，c＝2，则(

) 321A.a＜b＜c

C.c＜a＜b

B.c＜b＜a

D.b＜a＜c

答案

A 10.23解析

a＝log13＜0,0＜b＝＜1，c＝2＞1，故有a＜b＜c. 321跟踪训练3

设a＝log2π，b＝log1π，c＝π2，则(

) －2A.a>b>c

B.b>a>c

C.a>c>b

D.c>b>a

答案

C 解析

因为π>2，所以a＝log2π>1，所以b＝log1π<0.因为π>1，所以0<π2<1，即0c>b. 题型四

换元法的应用

换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题.本章中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题.要注意换元后u的取值范围. 11例4

求函数y＝f(x)＝－()2x－4()x＋5的值域. 22解

函数的定义域是R. 1设u＝()x，由于x∈R，则u∈(0，＋∞). 2则有y＝－u2－4u＋5＝－(u＋2)2＋9. ∵u∈(0，＋∞)，∴y∈(－∞，5)，

故函数y＝f(x)的值域是(－∞，5). 1xx跟踪训练4

已知实数x满足－3≤log1x≤－，求函数y＝(log2)·(log2)的值域. 2242xx解

y＝(log2)·(log2)＝(log2x－1)(log2x－2) 24＝(log2x)2－3log2x＋2. 11∵－3≤log1x≤－，∴≤log2x≤3. 2221令t＝log2x，则t∈[，3]，

231y＝t2－3t＋2＝(t－)2－，

2431∴t＝时，ymin＝－；t＝3时，ymax＝2. 241故函数的值域为[－，2]. 4

分类讨论思想

应用指数函数y＝ax和对数函数y＝logax的图象和性质时，若底数含有字母，要特别注意对底数a＞1和0＜a＜1两种情况的讨论. 例5

函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上有最大值14，求a的值. 解

y＝(ax)2＋2ax－1＝(ax＋1)2－2. 令ax＝t，则y＝(t＋1)2－2，对称轴方程为t＝－1. 1①当a>1时，因为－1≤x≤1，所以≤ax≤a，

a1即≤t≤a，函数图象在对称轴右侧，是单调递增的，

a所以当t＝a时有最大值，所以(a＋1)2－2＝14，

所以a＝3. 1②当0

a1即a≤t≤，函数图象在对称轴右侧，是单调递增的，

a11所以当t＝时有最大值，所以(＋1)2－2＝14，

aa1所以a＝. 31所以a的值为3或. 31跟踪训练5

已知偶函数f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，f2＝0，求不等式f(logax)＞0(a＞0，且a≠1)的解集. 解

∵f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，

1－1＝0. 又f＝0，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，f2211故若f(logax)＞0，则有logax＞或logax＜－. 2211①当a＞1时，由logax＞或logax＜－，

22得x＞a或0＜x＜a. a11②当0＜a＜1时，由logax＞或logax＜－，

22得0＜x＜a或x＞a. a

综上可知，当a＞1时，f(logax)＞0的解集为0，a∪(a，＋∞)；当0＜a＜1时，f(logax)a＞0的解集为(0，a)∪a，＋∞. a