小结名师教学实录

在导数运算中构造函数解不等式（教案）

一、考纲要求：

1.了解导数概念的实际背景．

2.通过函数图像直观理解导数的几何意义．

3.能根据导数的定义求常见函数的导数．

4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求复合函数（仅限于形如yf(axb)）的导数．

5.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数不超过三次）．

6.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数不超过三次）．

7.会利用导数解决某些实际问题．

二、命题统计：

近三年全国课标卷（理）考查命题情况统计

年份

2018课标全16 国Ⅰ

21 2018课标全国Ⅱ

2017课标全国Ⅰ

题序

5 题型

选择题

填空题

解答题

填空题

解答题

解答题

选择题

填空题

解答题

填空题

解答题

选择题

解答题

考点明细

三次奇函数切线方程

三角函数最值与导数

导数单调性极值不等式

曲线的切线与导数

导数与不等式零点

导数单调性零点求参数

极值点与极小值

三角函数最值

导数求参数不等式

曲线的切线与导数

导数单调性值域

函数图像与导数

导数与不等式零点

单独命题

▲

▲

▲

综合命题

▲

▲

▲

▲

▲

▲

▲

▲

▲

▲

分值

5 5 12 5 12 12 5 5 12 5 12 5 12 13 21 21 11 2017课标全14 国Ⅱ

21 2016课标全国Ⅰ

2016课标全国Ⅱ

16 21 7 21

Perseverance, can engrave stone.

锲而不舍，金石可镂

1

三、考情分析：

由上表可以看出，近几年高考命题对导数的考查保持一贯的高频率，基本上是一个选填题和一个大题，分值17分，选填题位置都比较靠后，大题作为压轴第21题，题目的难度较大．常以函数为依托，将导数与不等式、函数单调性、极值、最值、零点、方程根、切线问题等有机结合，将知识能力与素质考查融为一体，全面考查学生的数学素养．今天，我们通过选取近年来高考真题、模拟卷选填题中出现的经典试题来学习——在导数运算中构造函数解不等式．

四、教学过程：

1、互助巩固

（1）基本初等函数导数公式：

C___________ xn___________

sinx___________

cosx___________



ex__________ a___________

lnx___________

logx___________

xa（2）导数的运算法则：

已知函数f(x),g(x)的导数存在，则：（1）

[f(x)g(x)]____________________

（2）[f(x)g(x)]__________________

（3）[f(x)]________________________ g(x)2、真题再练

1、【2015年课标2卷理科数学第12题】设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是（

）. A．(,1)(0,1)

B．(1,0)(1,)

C．(,1)(1,0)

D．(0,1)(1,)

f(x)f(x)，由f(x)为奇函数，得g(x)为偶函数，由于g'(x)xf(x)，xx2【解析】构造函数g(x)当x>0时，xf'(x)f(x)0

，即g(x)在(0,)上单调递减，由对称性知，g(x)在(,0)上单调递增，又f(1)0，f(1)=0，数形结合知，使得f(x)>0成立的x取值范围是,10,1，故选A．

2、【2019届百校联盟12月联考第11题】已知奇函数f(x)和导函数f(x)定义域均为R，当3x(0,)时，3f(x)xf(x)0，则不等式x1f(x1)8xf(2x)0的解集为（

）. 3A．,1

B．1,1

C．,131

D．1,00,31,

32

Perseverance, can engrave stone.

锲而不舍，金石可镂

【解析】构造函数g(x)x3f(x)，即g'(x)x23f(x)xf(x)0，故g(x)在(0,)上单调递减，又f(x)为奇函数，即g(x)为偶函数，则g(x1)g(2x)即x12x,1x1，故选B．

3【设计意图】

通过真题再练巩固——解决这类不等式问题需要借助构造新函数，结合函数的导数与函数单调性、奇偶性之间的关系来解决，那么怎样合理的构造新函数就是解决问题的关键.

3、题型探究

（1）导数关系“加”型

①导数关系“加”型Ⅰ

【例1】设fx是定义在R上的可导函数，且满足fxfx，f20191，不等式exfxe2019的解集为______________________.

【解析】

构造函数g(x)exf(x)，则g'(x)exf(x)exf'(x)exf(x)f'(x)0，故g(x)在R上单调递减，由已知exfxe2019f(2019)即g(x)g(2019)，故xx2019.

【设计意图】师生合作式，题型归纳：导数关系“加”型——

若f'(x)f(x)0,（0类似，下同）,则构造[exf(x)]'ex[f'(x)f(x)]

【变式训练】【2015年天津一中高三理科模拟卷】函数fx的定义域是R，f02，对任意xR,fxfx1，则不等式exfxex1的解集为（

）.

A.x|x0

B.x|x0

C.x|x1或0x1

D.x|x1或x1

【解析】构造函数g(x)exf(x)ex，则g'(x)exf(x)f'(x)10，故g(x)在R上单xx调递增，由已知efxe1即g(x)1，又g(0)e0f(0)e01，即x0，故选A.

②导数关系“加”型Ⅱ

【例2】设fx是定义在R上的可导函数，且满足xfxfx，f20191，不等式xfx2019的解集为______________________.

【解析】

构造函数g(x)xf(x)，则g'(x)xf'(x)f(x)0，故g(x)在R上单调递减，由已知xfx2019f2019即g(x)g(2019)，故xx2019.

【设计意图】老师启发式，题型归纳：导数关系“加”型——

若xf'(x)f(x)0，则构造[xf(x)]'xf'(x)f(x)

Perseverance, can engrave stone.

锲而不舍，金石可镂

3

③导数关系“加”型Ⅲ

【例3】

【2018年江西赣州质量检测】已知定义域0，+的函数f(x)，xf(x)2f(x)0,则不等式x2018f(x2018)5f(5)的解集是（

）.

5x2018A．xx2017

B．xx2017

C．x2018x0

D．x2018x2013

【解析】

构造函数g(x)x2f(x)，则g'(x)2xf(x)xf2'(x)020,x2018为增函数，由已知x2018f(x2018)5f(5)，有x20182，即函数g(x)在0，+上，g(x2018)g(5)，故x20185,2018x2013,故选D. 【设计意图】学生合作探究式，题型归纳：导数关系“加”型——

若xf'(x)nf(x)0，则构造[xnf(x)]'xnf'(x)nxn1f(x)xn1[xf'(x)nf(x)]

④导数关系“加”型Ⅳ

【例4】

【2015年内蒙古理科卷】设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时,f'(x)g(x)f(x)g'(x)0 .且g(3)0.则不等式f(x)g(x)0的解集是（ ）. A．3,03,

B．3,00,3

C．,33,

D．,30,3

【解析】

构造函数h(x)f(x)g(x)，则h'xf'(x)g(x)f(x)g'(x)0，即hx在由已知hx是奇函数，故在(0,)也是增函数，又h3f3g30，(,0)上单调递增，则h3f3g30，故fxgx0的解集为x3或0x3，故选D.

【设计意图】老师启发式，题型归纳：导数关系“加”型——

若f'(x)g(x)f(x)g'(x)0，则构造f(x)g(x)'f'(x)g(x)f(x)g'(x)

（2）导数关系“减”型

①导数关系“减”型Ⅰ

【例5】设fx是定义在R上的可导函数，且满足fxfx，f20191，不等式e2019fxex的解集为________________.

xx【解析】

构造函数g(x)f(xx)，则g'(x)ef'(x)ef(x)f'(x)f(x)0，故g(x)在R上2xeexe单调递减，由已知fxf(2019)即g(x)g(2019)，故xx2019.

x2019ee【设计意图】师生互答式，题型归纳：导数关系“减”型——

Perseverance, can engrave stone.

锲而不舍，金石可镂

4

f(x)f'(x)exf(x)exf'(x)f(x)若f'(x)f(x)0，构造[x]'

e(ex)2ex【变式训练】【2018年1月孝感市第一次统考第11题】已知已知定义域均为R的函数f(x)f(x8),当x0,4时，f(x)可导且满足f(x)2f(x),则有（

）.

A、e2f(7)f(14),e2f(13)f(12)

B、

e2f(7)f(14),e2f(13)f(12)

C、e2f(7)f(14),e2f(13)f(12)

D、e2f(7)f(14),e2f(13)f(12)

x)，则f'(x)2f(x)【解析】

构造函数g(x)f(g'(x)0，故函数g(x)在R上单调递减，2xxee又f(x)f(x8),即f(x)周期为8，则f(1)f(2)f(3)f(4)，即选B.

2468eeee②导数关系“减”型Ⅱ

【例6】设fx是定义在R上的可导函数，且满足xfxfx，f20191，不等式2019fxx的解集为______________________.

【解析】

构造函数g(x)f(x)，则g'(x)xf'(x)f(x)0，故g(x)在R上单调递减，由2xx已知xfx2019f2019即g(x)g(2019)，故xx2019.

【设计意图】学生合作探究式，题型归纳：导数关系“减”型——

f(x)

若xf'(x)f(x)0，构造[f(x)]'xf'(x)2xx【变式训练】若函数f(x)在R上可导，且满足xf'(x)f(x)

，则( ). A.2f(1)f(2) B.2f(1)f(2) C.f(1)2f(2) D.f(1)2f(2)

xf(x)f(x)【解析】

设g(x)f(x)，则g(x)，由已知得g(x)0，故g(x)在R上2xx单调递减，∴g(1)g(2),即f(1)f(2)2f(1)f(2)，即选B.

12③导数关系“减”型Ⅲ

【例7】【2019年河北衡水中学模拟试卷】已知函数f(x)定义域0，+，且满足xf(x)2f(x),则（

）.

A.4f(1)f(2) B.4f(1)f(2) C.f(1)4f(2) D.f(1)4f(2)

f(x)x2f(x)2xf(x)xf(x)2f(x)【解析】

构造函数g(x)，则g(x)0，即函数g(x)在243xxx+上为减函数，故g(1)g(2)，即f(1)0，12f(2)4f(1)f(2)故选B.

225

Perseverance, can engrave stone.

锲而不舍，金石可镂

【设计意图】学生合作探究式，题型归纳：导数关系“减”型——

nn1若xf'(x)nf(x)0，则构造[f(x)]'xf'(x)nxf(x)xf'(x)nf(x)

xn(xn)2xn1④导数关系“减”型Ⅳ

【例8】设f(x),g(x)分别是定义在R上的恒大于零的可导函数,且满足f'(x)g(x)f(x)g'(x)0 .则当axb时有（ ）. A.f(x)g(x)f(b)g(b) B.f(x)g(a)f(a)g(x) C.f(x)g(b)f(b)g(x) D.f(x)g(x)f(a)g(a)

【解析】

构造函数h(x)f(x)，则h'xf'(x)g(x)2f(x)g'(x)0，即hx在R上单调递g(x)g(x)增，故h(a)h(x)h(b)，即f(a)f(x)f(b)f(x)g(a)f(a)g(x)，故选B.

g(a)g(x)g(b)【设计意图】学生合作探究式，题型归纳：导数关系“减”型——

(x)g(x)若fxgxfxgx≥0，则构造f(x)f(x)g(x)f2g(x)g(x)

'4、课堂小结，合作归纳

（1）、导数关系“加”型

（2）、导数关系“减”型

①f'(x)f(x)

构造

_________________

①f'(x)f(x)构造

____________________

②xf(x)f(x)构造

___________________

②xf(x)f(x)构造

__________________ ③xf'(x)nf(x)构造___________________ ③xf'(x)nf(x)

构造

__________________ ④f(x)g(x)f(x)g(x)构造_____________ ④f(x)g(x)f(x)g(x)构造

____________

历年来，作为高考的热点,导数占有较大比例.今天我们结合历年真题、例题，分类型来探究学习了导数运算中解不等式问题.结合对条件和结论的分析,恰当而巧妙地构造函数，化繁为简，化难为易！

5、课后思考

【2018年9月重庆市一中高三理数第16题】设函数fx是定义在0,上的可导函数，且满足xf'xfxx，则不等式x2018f'x20182f20的解集为___________.

Perseverance, can engrave stone.

锲而不舍，金石可镂

6

五、课后作业：

1、已知函数f(x)为定义在R上的可导函数，且exf(x)exf(x)0对于任意xR恒成立，e为自然对数的底数，则（

）. A.f(1)ef(0)、f(2019)e2019f(0)

B.f(1)ef(0)、f(2019)e2019f(0)

C.f(1)ef(0)、f(2019)e2019f(0)

D.f(1)ef(0)、f(2019)e2019f(0)

2、设定义在R上的可导函数f(x)，且2f(x)xf('x)x2，则不等式在R内恒成立的是（

）. 0A.f(x)0

B.f(x)

C.f(x)x

D.f(x)x

上可导，且满足条件3、【2018年安徽安庆模拟联考】若函数f(x)定义在0,2f'(x)cosxf(x)sinx0

，f(0)0，则下列不等式正确的是( ). A.f()2f() B.f()6342f() C.f(ln2)0 D.f()2f()

364

4、【2018年河南省洛阳市高三试数第16题】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，2fxxf'x0，则不等式x2017fx2017f10的解集为___________.2

Perseverance, can engrave stone.

锲而不舍，金石可镂

7