阅读与思考 对数的发明名师教学实录

对数的发明

杨晓波

教材分析：

本节课是新课标高中数学

A 版必修①中第二章对数函数内容的第一课时，也就是对数函数的入门。对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难。而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用。通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。

教学目标：

知识与技能：体会对数概念形成过程；理解对数的应用价值；感受对数与指数转化关系

方法与过程：

体会类比法思考问题，培养逻辑思维能力

情感态度与价值观：在操作活动和观察、分析过程中发展主动探索、质疑和独立思考的习惯；

体会到对数发现的历史进程，感受到数学历史的魅力和古代数学家的伟大。

教学重点：

对数概念的形成；理解对数的应用价值；感受对数与指数的转化关系

教学难点：

对数概念的形成；理解对数的实用性

教学基本流程

一、情景导入

问题提出1：299792.468×31536000＝? 教师：假设我们今天回到了没有计算器和计算机的时代，上述乘法计算让人觉得很困难，所需要的数据太大，乘法的计算相当繁复。计算他们乘积要耗费很多的时间和精力。但该两个数据却是天文研究中经常用到的，分别是光在真空中的传播速度和一年的总秒数，他们的乘积是光在真空中一年所经历的路程，即天文学中的光年。光年是天文学单位，天文学的计算研究是光年为数据基础的。在

16、17 世纪哥白尼＂日心说＂的提出，引发了天文研究的热潮。

天文学家为了计算一个行星的位置，常常需要耗费几个月甚至几年的时间来处理数据，改进数据的运算方式成了亟待解决的问题。

二、引入对数表

师：当时的数学家也在试图改进运算，他们在研究下列两个数列时，发现了一些规律请大家填写表

1，并观察发现它的规律。

提出问题2：表格中数字的规律是什么？

表1

预设回答：学生容易发现，存在一个关系：y2

，进而运用上节课：指数函数的相关性质可以补充完善该表格，得到以下内容：

表2

x

提出问题3：怎样用表格中的9个y值来表示x=15时对应的y值？

预设回答：根据学生上节课的知识，容易引导他们思考15=6+9=7+8. 原理见图

1

提出问题4：怎样快速计算下列式子？

(1)16×256=

(2)256×4096=

(3)17×128= 问题解答：

(1)16×256=

(2)256×4096=

(3)17×128=？2176 对于第四个问题，学生会生疑，因为在所给的表中没有y17

时对应的x值。

提出问题5：为什么我们不能借助表来解决17×128的问题？

预设回答：因为

128 对应着x7，但是17在表中没有对应的x值

提出问题：如果我们仍然想用表来解决问题，那我们就需要把表做细，找17对应的x值，那应该怎样来找呢？

此时学生可能进入迷茫阶段，教师可以稍加引导，让学生思考学习“例如可假设y”时的情形。x

提出问题7：求解5时我们用的什么方法？

引导学生思考出“二分法”，同时教师借助Excel类比“二分法”找到17对应的x值，求出x值后应用前两题的方法求出3题的解

提出问题8：对于上述过程，同学们有什么想法？

预设回答：1.感受到excel工具的强大与便利；2.上述结果有一定的误差，不精确. 师：确实，用二分法一般来说不用一得到精确的结果，但是他所求得的值却可以无限逼近于那个精确值，所以当我们表做得足够细的时候，所产生的误差就很小，可忽略不计。

师：这样的表虽然非常实用，但制作的难度很大。但伟大的纳皮尔就做出了类似这样的表。

拉普拉斯评价说：这个发明大大延长了天文学家的寿命。革命导师恩格斯也认为，它与微积分、解析几何并列为十七世纪三大数学发明。

解答最开始提出的问题：299792.468×31536000＝?

这也可以在表中找到答案，虽然有一定的误差，但是由于很小，可忽略不计，所以这一张表为当时的人们带来了许多的便利。

三、对数概念形成

师：而对于这样一个伟大的发明，当然也有他的名字。纳皮尔把表中上行的数称为“logarithm”，在康熙年间对数传入我国，二上一行在计算中起“中介”作用的数称为“真数”，而上一行在计算中起“中介”作用的数称为“借数”或“假数”，而同时真数假数对应成表，它是下一行的数“对应的数”，故后来将其简称为“对数”。

四、对数定义

在数学上，为了更加方便的表示对数，我们也有一定的符号表示：

例如最开始17对应的x值：

2x17xlog217

对数定义：

x一般地，如果aN(a0且a0)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

注意：

（1）a0,a1

（2）aNlogaNb

b

（3）注意对数的书写格式。