习题2.1主要内容及教案内容

函数的概念与基本初等函数

第一节

函数及其表示

考点一

函数定义及定义域

2．下列四组函数中，表示相等函数的一组是(

) A．f(x)＝x＋1·x－1，g(x)＝x2－1

B．f(x)＝x2，g(x)＝(x)2

C．f(x)＝x2－11，g(x)＝x＋1

D．f(x)＝|x|，g(t)＝t2x－

3．(2016·福建上杭一中质量调研)函数y＝log2（2x－1）的定义域是(

) 3A．[1，2]

B．[1，2)

C．(112，1]

D．[2，1] (3)(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是(

B．y＝lgxC．y＝2x

D．y＝1x

例2-1

函数f(x)＝1（log）2－1

的定义域为(

) 2xA.0，12

B．(2，＋∞)

C.110，2∪(2，＋∞)

D.0，2∪[2，＋∞) 角度2：抽象函数的定义域

例2-2

已知函数f(2x＋1)的定义域为(0，1)，则f(x)的定义域是________．

第二节

函数的值域与解析式

例题1 求下列函数的值域：

(1)y＝x2＋2x(x∈[0，3])；

(2)y＝x－3x＋1；

(3)y＝x－1－2x；

(4)y＝log3x＋logx3－1 对点专练

1.函数y＝2－sinx2＋sinx的值域为________2．函数y＝3x＋1－x2的值域为________．

3．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．

考点二

求函数的解析式——共研型

角度1：配凑法求函数解析式

(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)；

(2)已知f(x＋11x)＝x2＋x2，求f(x)．

角度2：换元法求函数解析式

已知f(1－cosx)＝sin2x，求f(x)的解析式．

)A．y＝x

角度3：待定系数法求函数解析式

已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)．

角度4：解方程组法求函数解析式

1

已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f()x－1，求f(x)．

x

1．[角度1]已知f(2x＋1)＝4x2＋8x＋3，求f(x)的解析式．

3．[角度3]已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的表达式．

1－x1－x2[角度2]已知f()＝，求f(x)的解析式．

1＋x1＋x2考点三

函数的定义域、值域及解析式的综合应用——互动型

（x－a），x≤0，例3

(1)(2016·郑州模拟)设f(x)＝1若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为(

)A．[－1，x＋＋a，x>0.x2]

B．[－1，0]

C．[1，2]

D．[0，2] 2x，|x|≥1，(2)(2017·浙江温州十校联合体上学期联考)设函数g(x)是二次函数，f(x)＝若函数f[g(x)]的值域是[0，x，|x|<1.2＋∞)，则函数g(x)的值域是(

) A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

B．[0，＋∞)C．(－∞，－1]∪[0，＋∞)

D．[1，＋∞）

对点专练

x2＋a，x>2，1．(2016·广东深圳第二次调研)设函数f(x)＝若f(x)的值域为R，则常数a的取值范围是(

)A．(－2x＋a，x≤2.∞，－1]∪[2，＋∞)B．[－1，2]C．(－∞，－2]∪[1，＋∞)D．[－2，1] 2．(2015·山东卷)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．

借助解析式的几何意义求值域（能力拓展）

典例(1)函数f(x)＝A．[－sinx的值域是(

) 2－cosxD．[－3，3] 33，]

B．[－1，1]

C．[－2，2]

33(2)函数f(x)＝x2－2x＋2＋x2－4x＋8的值域为________．

感悟体验

1．(2016·山东枣庄三中月考)函数f(x)＝x＋1－x2的值域为(

) A．[－2，2]

B．[－2，1]

C．[－1，2]

D．[1，2] 2．函数f(x)＝log2(x2＋2－|x|)的值域为________．

第三节

函数的单调性与最值

考点一

函数单调性的判断与证明——自练型

x＋2例1(1)判断函数y＝在(－1，＋∞)上的单调性．

x＋1(2)判断函数f(x)＝ax(其中a>0)在x∈(－1，1)上的单调性．

x－12

(2)函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0

) 110，B．[a，1]

C．(－∞，0)∪，＋∞

D．[a，a＋1] A. 22[拓展探究]

(1)若将本例(1)中的函数变为“y＝x2－4|x|＋3”，则结果如何？

(2)若将本例(2)中的“01”，则函数g(x)的单调递减区间如何？

对点专练

1函数y＝log1(x2－2x)的单调递减区间是(

) 2A．(－∞，1)

B．(1，＋∞

)

C．(2，＋∞)

D．(－∞，0) 1，x>0，2．设函数f(x)＝0，x＝0，g(x)＝x2·f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．

－1，x<0，考点三

利用单调性求最值——互动型

x2＋2x＋a已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)．

x1(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；

2(2)若对任意x∈[1，＋∞), f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．

考点四

函数单调性的应用——共研型

例4-1角度1：利用函数的单调性解不等式

(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－11则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是

(

)A.2，3，1

1＋x11111－∞，∪(1，＋∞)

C.－，

D.－∞，－∪，＋∞

B.33333角度2：利用函数的单调性求参数

1(1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(

)A．(－，＋∞)

4111B．[－，＋∞)

C．[－，0)

D．[，0] 444抽象函数单调性问题

典例2016·西安模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；②当x>0时，f(x)>－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数．

(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4. 考点一

函数奇偶性的判断——自练型

(1)(2017·广东期中统考)下列函数中，在定义域内与函数y＝x3的单调性、奇偶性都相同的是(

)A．y＝sinx

B．y＝x3－x

C．y＝2x

D．y＝lg(x＋x2＋1) 考点二

函数的周期性——互动型

3x＋，且f(0)＝3，则f(2016)＝________．

例2

(1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f 2(2)设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1，3)时，f(x)＝x－2，则f(2014)＋f(2015)＝_______ 对点专练1．函数f(x)＝lg|sinx|是(

) A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为2π的奇函数

C．最小正周期为π的偶函数

D．最小正周期为2π的偶函数

(2)(2016·济南质检)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是___．

[拓展探究]

若将本例(2)中的“偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减”改为“奇函数f(x)在(0，＋∞)单调递减”，结果如何求？

例3-1角度2：函数的奇偶性与周期性

(2016·东北三省三校二模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，且当x∈(2，4)时，f(x)＝|x－3|，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝(

)A．1

B．0

C．2

D．－2 角度3：利用函数的奇偶性与周期性求解析式

例3-2设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，

f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；

(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011) 对点专练

1．[角度1](2016·湖南东部六校联考)已知f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f(lgx)>f(2)，则x的取值111范围是(

)A．(，1) B．(0，)∪(1，＋∞) C．(，100) D．(0，1)∪(100，＋∞)

10010010012．[角度2](2016·乌鲁木齐三诊)奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈(0，1)时，

f(x)＝3x＋，则f(log354)＝277(

)A．－2

B．－

C.

D．2 663．[角度3]已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，

f(x)＝x2－x－1，求f(x)的解析式．

方程思想在函数奇偶性中的应用

x123典例(2016·浙江金华模拟)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(

)A.

B.

C.

D．1 234（2x＋1）（x－a）感悟体验2．(2016·大连模拟)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________．

第五节

二次函数与幂函数

考点一

幂函数的图象与性质——自练型

1112例1(1)已知幂函数y＝f(x)的图象过点，，则log4f(2)的值为(

)A.

B．－

C．2 D．－44222 2211313，c＝13，则a，b，c的大小关系是(

) (2)若a＝，b＝252A．a

B．c

C．b

D．b

(3)(2016·广州模拟)已知幂函数f(x)＝x－m2－2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则f(2)的值为________．(4)若(a＋1)2>(3－2a)2，则a的取值范围是________．

－－考点二

二次函数的解析式——互动

例3-2角度2：二次函数的单调性与最值

(1)若函数f(x)＝x2＋2ax＋3在区间[－4，6]上是单调函数，则实数a的取值范围为________．

(2)已知函数f(x)＝x2＋2x在区间[t，t＋1]上的最小值为8，则实数t的值为________．

例3-3角度3：与二次函数相关的恒成立问题

1(1)已知函数y＝log2(ax2－ax＋)．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是________．

a(2)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围是________ 对点专练1．[角度1](2016·河南鹤壁质检)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a

)A．②④

B．①④

C．②③

D．①③

252．[角度2]若函数f(x)＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则m的取值范围是4________．

(2016·福建模拟)设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(x)，求g(x)．

第六节

指数函数

考点一

指数幂的化简与求值——自练型

例1(1)下列结果错误的是(

) 34A.3－22＋（1－2）3＋（1－2）4＝2－1 1－7433B．1.5×(－)0＋80.25×2＋(2×3)6－6a3543·

54b3a3223（－）＝110 3C. 3643＝±aa

D.1－3·4＋23＝2 b2(2)化简

16x8y4(x<0，y<0)得(

)

A．2x2y

B．2xy

C．4x2y

D．－2x2y

2111--23-333(3)计算：4ab÷(－ab)＝________．

311－-a2＋a2＋122(4)设a>0，且a＋a＝3，则的值为_____ －a＋a1＋1考点二

指数函数的图象及应用——互动型

(1)(2016·河北邯郸质检)已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝axk的图象可能是(

) ＋

(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．

对点专练

f（x），x>0，1．(2016·北京丰台区一模)已知奇函数y＝如果f(x)＝ax(a>0且a≠1)g（x），x<0.对应的图象如图所示，那么g(x)的解析式为g(x)＝(

)

1－1－A．()x

B．－()x

C．2x

D．－2x

22112．已知实数a，b满足等式()a＝()b，下列五个关系式：

23①0

) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

考点三

指数函数的性质及应用——共研型

角度1：比较指数式的大小

421353

(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝4，c＝25，则(

) A．b

B．a

C．b

D．c

角度2：解简单的指数方程或不等式

4x，x≥0，例3-2(1)(2016·福州模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝a－x若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为____．

2，x<0，(2)若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．

角度3：指数函数模型的单调性与最值

2ax－4x＋31例3-3

已知函数f(x)＝(). 3(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有最大值3，求a的值；

(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．

1111．[角度1](2016·浙江杭州调研)设<()b<()a<1，那么(

) 222A．aa

B．aa

C．ab

D．ab

2．[角度2](2016·广州模拟)关于x的方程2x＝a2＋a在(－∞，1]上有解，则实数a的取值范围是(

)A．[－2，－1)∪(0，1]B．[－2，－1]∪(0，1]C．[－2，－1)∪(0，2]D．[－2，－1]∪[0，2] 第七节

对数函数

考点一

对数式的运算——自练型

1例1

(1)（log23）2－4log23＋4＋log2＝(

)A．2

B．2－2log23

C．－2

D．2log23－2 311(2)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(

)A.10

B．10

C．20

D．100 ab11(3)lg25＋lg2－lg0.1－log29×log32的值是____．(4)已知2x＝12，log2＝y，则x＋y的值为________ 23考点二

对数函数的图象及应用——互动型

1例2(1)函数f(x)＝lg的大致图象为(

) |x＋1|1(2)当0

2[拓展探究]

(1)若将本例(2)中的条件换为“不等式(x－1)2

(2)若将本例(2)中的条件换为“不等式(x－1)2

对点专练

1．(2016·大连期末)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(

)

2．(2016·西安模拟)函数f(x)＝2lnx的图象与函数g(x)＝x－4x＋5的图象的交点个数为(

) 2

A．3

B．2

C．1

D．0 考点三

对数函数的性质及应用——共研型

例3-1角度1：比较对数值的大小

(1)若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是(

) A．b

B．a

C．c

D．b

(2)(2016·河南八市质检)若a＝20.3，b＝logπ3，c＝log4cos100，则(

) A．b>c>a

B．b>a>c

C．a>b>c

D．c>a>b

角度2：解简单的对数不等式

例3-2

(1)如果log1x

)A．y

B．x

C．1

D．1

22

(2)已知不等式logx(2x2＋1)

角度3：对数函数性质的综合应用

例3-3

已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．

(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由

对点专练

log23.4log43.61log30.31．[角度1]已知a＝5，b＝5，c＝()，则(

) 5A．a>b>c

B．b>a>c

C．a>c>b

D．c>a>b

logx，x>0，22．[角度2]设函数f(x)＝log1（－x），x<0.若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(

) 2A．(－1，0)∪(0，1)

B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1，0)∪(1，＋∞)

D．(－∞，－1)∪(0，1) 忽略定义域致误

典例(2016·四川成都新津中学月考)已知函数f(x)＝loga(x2－ax＋2)在(2，＋∞)上为增函数，则实数a的取值范围为________．

第八节

函数的图象

考点一

函数图象的画法——自练型

例1作出下列函数的图象：

2x－11(1)y＝()|x| ；

(2)y＝|log2(x＋1)|；

(3)y＝；

(4)y＝x2－2|x|－1. 2x－1考点二

函数图象的识别——共研型

例2-2

(2015·课标全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为

(

)

对点专练1．[角度1](2016·吉林实验中学二模)函数y＝2x的图象大致为(

) lnx

考点三

函数图象的应用——互动型

例3(1)(2015·安徽卷)函数f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则下列结论成立的是(

) （x＋c）2A．a>0，b>0，c<0

B．a<0，b>0，c>0

C．a<0，b>0，c<0

D．a<0，b<0，c<0

(2)(2016·西安质检)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范110，

B.，1

C．(1，2)

D．(2，＋∞) 围是(

)

A.22[拓展探究]

(1)若本例(2)中的“方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根”改为“方程f(x)＝g(x)有一个实根”结果如何？

(2)若本例(2)中的“g(x)＝kx”改为“g(x)＝loga(x＋1)”，求实数a的取值范围．

对点专练

2x－1，x≤0，1．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为f（x－1），x>0，－(

)A．(－∞，1)

B．(－∞，1]

C．(0，1)

D．[1，＋∞) 12．(2016·济南模拟)已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的2取值范围是(

)A．(－∞，函数图象问题的求解技巧

方法1：特殊点法

(2016·北师大附中月考)函数y＝ecosx(－π≤x≤π)的大致图象为(

) 111)

B．(－∞，e) C．(－，e)

D．(－e，) eee

方法2：性质检验法

(2016·沧州七校联考)函数f(x)＝ln(x－1x)的图象是(

)

2．函数f(x)＝xsinx的图象大致是(

)

方法3：图象变换法

典例

已知函数f(x－1)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的图象可能是(

3x，x≤1，3．已知函数f(x)＝log1x，x>1，则函数y＝f(1－x)的大致图象是(

) 3第九节

函数与方程

考点一

函数零点的判断与求解——自练型

(1)已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log，x>1，则函数f(x)的零点为(

)A.1，0

B．－2，0

C.1

D．0 2x22(2)(2016·吉林长春监测(二))函数f(x)＝12lnx＋x－1x－2的零点所在的区间是(

) A．(1e，1)

B．(1，2)

C．(2，e)

D．(e，3)

)

(3)设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(

) A．(0，1)

B．(1，2)

C．(2，3)

D．(3，4) x＋1，x≤0，例2(1)已知函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)]＋1的零点的个数是(

)A．4 B．3

C．2

D．1 log2x，x>0，1(2)(2016·河南郑州质检)已知函数f(x)＝()x－cosx，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为(

) 2A．1

B．2

C．3

D．4 对点专练

1．函数f(x)＝xcosx2的区间[0，4]上的零点个数为(

)A．4

B．5

C．6

D．7 角度1：利用函数的零点比较大小

(2017·四川绵阳南山中学入学考试)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(

) A．x2

B．x1

C．x1

D．x3

考点三

函数零点的应用——共研型

度2：利用函数的零点求参数范围

|x|，x≤m，

(2016·山东卷)已知函数f(x)＝2其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方x－2mx＋4m，x>m，程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．

1．[角度1](2016·黑龙江哈尔滨三中一模)已知x0(x0>1)是函数f(x)＝lnx－1的一个零点，若a∈(1，x0)，b∈(x0，x－1＋∞)，则(

)A．f(a)<0, f(b)<0

B．f(a)>0, f(b)>0

C．f(a)<0, f(b)>0

D．f(a)>0, f(b)<0 |x|，x>0，2．[角度2]已知函数f(x)＝2若函数g(x)＝f(x)＋2m有三个零点，则实数m的取值范围是－x－2x＋1，x≤0，________．

第五章

平面向量

角度1：平面向量的线性运算

例2-1

(2015·新课标全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(

) 14144141A.＝－＋

B.＝－

C.＝＋

D.＝－

33333333角度2：利用向量的线性运算求参数

例2-2(2015·北京卷)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________．

考点三

共线向量定理及应用——互动型

例3设两个非零向量a与b不共线．

(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

第二节

平面向量的基本定理及坐标表示

考点一

平面向量基本定理及应用

例1如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(

)1111A．a－b

B.a－b

C．a＋b

D.a＋b

22221例2(1)(2016·陕西渭南一模)已知点A(－1，0)，B(3，2)，则向量＝(

) 2A．(2，2)

B．(－1，1)

C．(2，1)

D．(－4，－2) (2)(2016·广东珠海调研)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2，4)，＝(1，3)，则＝(

) A．(2，4)

B．(3，5)

C．(1，1) D．(－1，－1) (3)设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在线段AB上，且||＝2||，则P的坐标为(

) A．(3，1)

B．

(1，－1)

C．(3，1)或(1，－1)

D无数多个

(4)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则__________．

考点三

平面向量共线的坐标表示

对点专练

m1．[角度1](2016·浙江宁波调研)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若a－2b与非零向量ma＋nb共线，则等n11于(

)A．－2

B．2

C．－

D.

22例3

(1)(2015·四川卷)设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝(

)A．2 B．3C．4D．6 (2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．

m1．[角度1](2016·浙江宁波调研)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若a－2b与非零向量ma＋nb共线，则等n11于(

)A．－2

B．2

C．－

D.

222．[角度2]已知向量＝(3，－4)，＝(0，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是________．

第三节

平面向量的数量积

考点一

平面向量数量积的运算——互动型

例1(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(1，－1)，则(a＋b)·(a－2b)＝(

) A．2 B．－2

C．－3

D．4 (2)(2015·四川卷)设四边形ABCD为平行四边形，|

|＝6，|

|＝4.若点M，N满足

＝3，

＝2，则

·

＝(

)A．20 B．15

C．9 D．6 (3)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则

·

＝________．

λ＝μ

对点专练1．若平面向量a＝(－1，2)与b的夹角是180°，且|b|＝35，则b的坐标为(

) A．(3，－6) B．(－3，6)

C．(6，－3)

D．(－6，3) 考点二

平面向量的夹角与垂直——共研型

角度1：求平面向量的夹角

1331例2-1(1)(2016·全国卷Ⅲ)已知向量＝，，＝，，则∠ABC＝(

) 2222A．30°

B．45°

C．60°

D．120°

(2)(2016·景德镇质检)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．

(1)若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝(

)A．2

B.2

C．1

D.2

2例2-2(2)(2016·山东卷)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________．

1．[角度1](2015·重庆卷)若非零向量a，b满足|a|＝3πC.

D．π

4例2-2角度2：平面向量的垂直

(1)若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝(

)A．2

B.2

C．1

D.2

2ππ22|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(

)A.

B.

342(2)(2016·山东卷)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________．

1．[角度1](2015·重庆卷)若非零向量a，b满足|a|＝3πC.

D．π

42．[角度2]已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________ 考点三

平面向量的模——互动型

例(1)(2016·浙江杭州严州中学一模)已知向量a，b满足|a|＝13，|b|＝1，|a－5b|≤12，则b在a上的投影长度的15150，

B.0，

C.，1

D.，1

取值范围是(

)A.13131313π1．(2016·河北衡水中学四调)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，那么|4a－b|等于(

) 3A．2

B．6

C．23

D．12 坐标法在向量中的应用

(1)(2016·天津卷)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE51111并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(

)A．－

B.

C.

D.

88482π(2)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动．若3

ππ22|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(

)A.

B.

342

＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值为________．

第四节

平面向量的应用举例

例1

(1)(2016·河南中原名校第一次联考)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，BC边上一点，＝3，F为AE中点，则＝(

) 2112211A.－

B.－C．－＋

D．－＋

33333331．(2016·云南昆明三中第三次综合测试)如图，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是(

) A．2

B．0

C．－1

D．－2 考点三

向量在三角函数中的应用

角度1：向量与三角恒等变换结合

例3-1

(2016·山东临沂模拟)已知向量m＝(sinα－2，－cosα)，n＝(－sinα，cosα)，其中α∈R.(1)若m⊥n，求角α；

(2)若|m－n|＝2，求cos2α的值．

角度2：向量与解三角形结合

例3-2

(2016·山西太原二模)在△ABC中，若||＝23，且·cosC＋·cosA＝·sinB. (1)求角B的大小；

(2)求△ABC的面积S. 1．[角度1](2016·辽宁沈阳一模)已知向量a＝(3，1)，b＝(sinα－m，cosα)，α∈R，若a∥b，则实数m的最小值为(

)A．－3

B．－23

C．－2

D．－1 33sinC＝3E为2．[角度2](2016·河南洛阳一测)△ABC的内角为A，B，C，点M为△ABC的重心，如果sinA＋sinB＋0，则内角A的大小为__________．

典例已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(

)A．内心

B．外心

C．重心

D．垂心

感悟体验1．(2016·浙江温州瑞安四校第三次月考)在△ABC中，AB＝8，AC＝6，M为BC的中点，O为△ABC的外心，则

·

＝________．