习题1.2教案3

1．2

函数及其表示(习题课) 题型一

含参数的函数的定义域的求法

例1

已知－b

) A．[a，b]

C．[－b，b]

B．[－b，－a] D．[a，－a] a≤x≤b，a≤x≤b，【解析】

∵∴又∵－b

. 题型二 已知原函数的定义域，求复合函数的定义域

例2

已知函数f(x)的定义域为[－1,3]，求函数f(2x－1)的定义域．

【思路】

函数f(x)的定义域为[a，b]指a≤x≤b，即在同一对应法则f的作用下，接受法则的对象无论是什么代数式时，必受a≤x≤b制约．

【解析】

因为函数f(x)的定义域为[－1,3]，所以对于函数f(2x－1)，有－1≤2x－1≤3，解得0≤x≤2. 故函数f(2x－1)的定义域是[0,2]．

题型三

已知复合函数的定义域，求原函数的定义域

例3

已知函数f(x＋3)的定义域为[－1,3]，求函数f(x)的定义域．

【思路】

由于函数f(x＋3)的定义域[－1,3]，所以－1≤x≤3，得到2≤x＋3≤6，故可以得到函数f(x)的定义域．

【解析】

因为函数f(x＋3)的定义域为[－1,3]，

所以由－1≤x≤3，得到2≤x＋3≤6. 所以函数f(x)的定义域是[2,6]．

探究1

(1)此题比较抽象，理解关键在于：由于函数的定义域是自变量的范围，而f(x)的自变量是x，对于函数f[g(x)]而言，自变量也是x，但同时有f(x)中的“x”的范围与f[g(x)]中的“g(x)”

的范围是相同的．

(2)法则“f”相当于一间屋子，任何“人”住进来，空间都不变！

(3)已知f(x)定义域为[a，b]，求f[g(x)]定义域．

只需解不等式a≤g(x)≤b，即得f[g(x)]的定义域．

思考题1

已知f(x)的定义域为[0,2]，f(x2)的定义域为

探究2

已知f[g(x)]定义域为[a，b]，求f(x)定义域只需根据a≤x≤b，求出g(x)的范围即得f(x)的定义域．

思考题2

(1)(2013·大纲全国)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(

) A．(－1,1)

1B．(－1，－2) 1(2)已知f(x2)的定义域为－2，2，则y＝f(x)的定义域为________．

C．(－1,0)

1D．(2，1) (3)已知函数f(x＋2)的定义域为[1,3]，求函数f(1－x)的定义域．

题型四

图像法求函数的值域

例4

作出下列函数的图像并写出它们的值域．

(1)y＝|x－1|＋|x＋1|；

(2)y＝x，x∈Z且|x|≤2；

(3)y＝|x2－2x|；

(4)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)．

题型五

抽象函数的求值

例5

设函数y＝f(x)，x∈R，f(x)≠0，对任意的实数x，y均有f(x＋y)＝f(x)·f(y)成立．

(1)求f(0)；

(2)求证：f(－1)＝1；

f1(3)求证：f(x)>0对任意x都成立．

【解析】

(1)令x＝y＝0，得f(0)＝f2(0)，∵f(x)≠0，∴f(0)＝1. (2)令x＝1，y＝－1，得f(－1)＝xxx(3)f(x)＝f(2＋2)＝f2(2)>0. 1. f1探究3

此类抽象函数的求值问题往往采取赋值法．

题型六

函数图像的应用

例6

向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示，那么水瓶形状是(

)

【解析】

方法1：根据题意，V＝f(h)的图像是一段曲线，V随h的增加而增加，而且开始阶段V的增加较快，以后渐渐变慢，故水瓶的形状必是下口大上口小，于是答案选B. H1方法2：设注水量V与水深h的关系为V＝f(h)，则由图可知，f2＞2f(H)，即当用水达到一半时，水上升的高度还未达到一半，也就是开始阶段用水较多，从而有水瓶的形状为下口大上口小，

例7

当m为怎样的实数时，方程x2－4|x|＋5＝m有四个互不相等的实数根？

【解析】

先作出y＝x2－4|x|＋5的图像．

2x－4x＋5，x≥0，y＝2

x＋4x＋5，x＜0.

如下图所示，从图上可以直接看出，

当1＜m＜5时，方程有四个互不相等的实根．

探究4

函数图像直观，能够帮助我们正确理解概念和有关性质，数形结合是研究数学的一个重要手段，是解题的一个有效途径，用数形结合解题比较直观，便于发现问题，启发思考，有

助于培养综合运用数学知识来解决问题的能力．

课后巩固

1．下列各图中，不可能表示函数y＝f(x)的图像的是(

)

2．已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则y＝f(x＋a)的定义域为(

) A．[2a，a＋b]

C．[a，b]

B．[0，b－a] D．无法确定

3．函数的图像与平行于y轴的直线的交点的个数(

) A．至少有一个

C．不确定

B．至多有一个

D．有且仅有一个

4．客车从甲地以60 km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图像中，正确的是(

)

5．某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：

表1

市场供给表

单价(元/kg)

供给量(1 000kg)

2

50

2.4

60

2.8

70

3.2

75

3.6

80

4 90 表2

市场需求表

单价(元/kg)

需求量(1 000kg)

4

50

3.4

60

2.9

65

2.6

70

2.3

75

2 80 根据以上提供的信息，市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间(

) A．(2.3,2.6)内

C．(2.6,2.8)内

B．(2.4,2.6)内

D．(2.8,2.9)内

6.如图所示，函数f(x)的图像是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f(

1)的值等于________．

f3

7．若函数f(x)的定义域为[－1,2]，则y＝f(x)＋f(－x)的定义域为________．

8．设函数y＝f(x)的定义域为R＋，且f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(8)＝3，则f(2)等于__________．9．设f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)＝________. 10．已知函数f(x)满足f(x＋4)＝x3＋2，当f(x)＝1时，x的值为________．

1－x11．已知函数f()＝x，求f(2)的值．

1＋x12．(1)已知函数f(x)的定义域是[1,5]，求函数f(x2＋1)的定义域．

(2)已知函数f(2x2－1)的定义域是[1,5]，求f(x)的定义域．

13．周长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图所示)，若矩形底边长为2x，求此框架围成图形的面积y与x的函数解析式y＝f(x)，并写出它的定义域．

14．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9

时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：

(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？

(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？

(3)第一次休息时，离家多远？

(4)11：00到12：00他骑了多少千米？

(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？

(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？