习题1.2教学设计第二课时

3.2.4函数模型的应用实例（二）

教学目标：掌握应用指数型，拟合型函数模型解答实际应用问题的题型特征，提升学生解决简单的实际应用问题的能力. 教学重点与难点：

重点：指数函数模型、拟合函数模型的应用

难点：依据题设情境，建立函数模型. 教学方法：

师生合作探究解题方法，总结解题规律.老师启发诱导，学生动手尝试相结合.从而形式应用指数函数模型，似合函数模型解决实际问题的技能. 教学过程：

一、复习引入

例1 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本销售单价/元

6 7 8 9 为200元，每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如表所示：请据以上数据作出分析，这个经营部日均销售量/桶

480 440 400 360 怎样定价才能获得最大利润？

销售单价/元

10 11 12

解：根据表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y

元，日均销售量/桶

320 280 240

而在此情况下的日均销售量就为480–40(x–1)=520–40x(桶)

由于x＞0且520–40x＞0，即0＜x＜13，于是可得y=(520–40x)x–200 = –40x2+520x–200，0＜x＜13 易知，当x=6.5时，y有最大值.所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润. 二、应用举例

4．指数型函数模型的应用

年份

1950 1951 1952 1953 1954 例1 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口人数/万人

55196 56300 57482 58796 60266 增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔年份

1955 1956 1957 1958 1959 萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0ert，其中t表示经过人数/万人

61456 62828 64563 65994 67207 的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率. 下表是1950~1959年我国的人口数据资料：

（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；

（2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？

解答：（1）设1951~1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55196(1 + r1) = 56300，可得1951年的人口增长率r1≈0.0200.同理可得，r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，

r6≈0.0223，r7≈0.0276，r8≈0.0222，r9≈0.0184. 于是，1951~1959年期间，我国人口的年均增长率为r(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221. 令y0=55196，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为

y=55196e0.0221t，t∈N. 根据表中的数据作出散点图并作出函数y=55196e0.0221t

(t∈N)的图象

由图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合. （2）将y=130000代入y=55196e0.0221t，由计算器可得t≈38.76. 所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.

例2

某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表

身高/cm 60 70 80 90 100 （1）根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，体重/kg 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg身高/cm 120 130 140 150 160 与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析体重/kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 式. （2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？

解答：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图.根据点的分布特征，可考虑以y=a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型. 如果取其中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入y=a·bx得：707.9ab，用计算器算得a≈2，b≈1.02. 16047.25ab110 17.50 170 55.05 这样，我们就得到一个函数模型：y=2×1.02x. 将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系. （2）将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175，由计算器算得y≈63.98. 由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以，这个男生偏胖. 巩固练习：

练习1、已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%. （1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？

（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2003年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？

解答：（1）已知人口模型为y = y0en，其中y0表示t = 0时的人口数，r表示人口的年增长率. 若按1650年世界人口5亿，年增长率为0.3%估计，有y = 5e0.003t. 当y = 10时，解得t≈231.所以，1881年世界人口约为1650年的2倍. 同理可知，2003年世界人口数约为1970年的2倍. （2）由此看出，此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况. 应用举例：

4．拟合函数模型

例3

某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双.由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于

工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长，就月份x，产量y

给出四种函数模型：y=ax+b，y=ax2+bx+c，

yaxb,y=abx+c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？

12解析：本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数的变化情况，找出与实际最接近的函数模型. 由题知A(1，1)，B(2，1.2)，C (3，1.3)，D(4，1.37). （1）设模拟函数为y=ax+b，将B、C两点的坐标代入函数式，有

3ab1.3a0.1,解得所以得y = 0.1x + 1. 2ab1.2b1（2）设y=ax2+bx+c，将A，B，C三点代入，有abc14a2bc1.2,9a3bc1.3a0.05解得b0.35c0.7

所以y= –0.05x2+0.35x+0.7. ab1a0.48,解得（3）设yaxb，将A，B两点的坐标代入，有

b0.522ab1.2所以y0.48x0.52

abc1a0.8（4）设y=abx+c，将A，B，C三点的坐标代入，得ab2c1.2,解得b0.5

3c1.4abc1.3小结：

课后作业：

课后反思：