习题1.2教案公开课一等奖

函数习题课

1．函数与映射的概念

两集合

A，B 对应

关系

f：A→B 函数

设A，B是两个非空的数集

如果按照某种确定的对应关系映射

设A，B是两个非空的集合

如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应

称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

y＝f(x)，x∈A 元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应

称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射

对应f：A→B是一个映射

名称

记法

2．函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域：

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

(4)函数的表示法

表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．

3．分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．

[小题体验]

1．下列函数中，与函数y＝13xln xB．y＝

xsin xD．y＝

x定义域相同的函数为(

) 1A．y＝

sin xC．y＝xex

答案：D 2．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝

f(x)的图象可能是(

)

答案：B 3．函数f(x)＝x－4的定义域是________________．

|x|－5答案：[4,5)∪(5，＋∞) 4．已知f(x)＝3x3＋2x＋1，若f(a)＝2，则f(－a)＝________. 解析：∵f(x)＝3x3＋2x＋1，

∴f(a)＋f(－a)＝3a3＋2a＋1＋3(－a)3＋2×(－a)＋1＝2，

∴f(－a)＝2－f(a)＝0. 答案：0 易错过关练习

1．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．

2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．

[小题纠偏]

1．设函数f(x)＝x，x≥0，－x，x<0，

若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝________. 解析：若a≥0，则a＋1＝2，得a＝1；

若a<0，则－a＋1＝2，得a＝－1. 答案：±1 122．已知fx＝x＋5x，则f(x)＝________. 1115解析：令t＝，∴x＝.∴f(t)＝2＋. xttt5x＋1∴f(x)＝2(x≠0)．

x5x＋1答案：2(x≠0) x

考点一

函数的定义域基础送分型考点——自主练透

[题组练透]

1．函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(

) A．(0,1)

C．(－∞，0)∪(1，＋∞)

B．[0,1]

D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 解析：选C

由题意知，x2－x>0，即x<0或x>1. 则函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选C. 1－x22．(2017·贵阳监测)函数y＝2的定义域为(

) 2x－3x－2A．(－∞，1] B．[－1,1]

C．[1,2)∪(2，＋∞) 11－1，－∪－，1

D.221－x2≥0，1－x解析：选D

由函数y＝2得2解得12x－3x－2x≠2且x≠－，2x－3x－2≠0，2

－1≤x≤1，2

即－11≤x≤1且x≠－，

211－1，－∪－，1，故选D. 所以所求函数的定义域为22fx＋13．若函数y＝f(x)的定义域是[1,2 017]，则函数g(x)＝的定义域是(

) x－1A．[0,2 016]

C．(1,2 017]

B．[0,1)∪(1,2 016]

D．[－1,1)∪(1,2 016]

解析：选B

令t＝x＋1，则由已知函数的定义域为[1,2 017]，可知1≤t≤2 017.要使函数f(x＋1)有意义，则有1≤x＋1≤2 017，解得0≤x≤2 016，故函数f(x＋1)的定义域为[0,2 0≤x≤2 016，016]．所以使函数g(x)有意义的条件是解得0≤x<1或1＜x≤2 016.故函数x－1≠0，

g(x)的定义域为[0,1)∪(1，2 016]．

4．函数f(x)＝1－|x－1|(a＞0且a≠1)的定义域为____________________．

ax－11－|x－1|≥0，0≤x≤2，解析：由x⇒⇒0＜x≤2，

a－1≠0x≠0

故所求函数的定义域为(0,2]．

答案：(0,2] [谨记通法]

函数定义域的求解策略

(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．

(2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．

(3)抽象函数：

①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；

②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．

考点二

求函数的解析式重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

11x＋＝x2＋2，求f(x)的解析式；

(1)已知fxx2(2)已知fx＋1＝lg x，求f(x)的解析式；

(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)；

(4)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．

111x＋＝x2＋2＝x＋2－2，

解：(1)(配凑法)由于fxxx所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，

故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2. 222(2)(换元法)令＋1＝t得x＝，代入得f(t)＝lg，

xt－1t－1又x>0，所以t>1，

2故f(x)的解析式是f(x)＝lg，x>1. x－1(3)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，

又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，

得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，

即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，

2a＋b＝b＋1，1所以解得a＝b＝. 2a＋b＝1，

11所以f(x)＝x2＋x，x∈R. 22

(4)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①

得f(x)＋2f(－x)＝2x，②

－①×2－②，得，3f(x)＝2x1－2x. ＋－2x1－2x即f(x)＝. 3＋－2x1－2x∴f(x)的解析式是f(x)＝. 3＋－