小结含PPT的教学设计及点评

复数总复习教学设计

教学目标：

知识与技能：理解并掌握复数基本概念及其相等的充要条件，了解复数的代数表示法及其几何意义，会进行复数代数形式的四则运算，了解加、减运算的几何意义．

过程与方法：通过用其代数表示法及其几何意义的学习，体会复数与向量之间的关系．在数系扩充的过程中体会加减乘除运算的合理性，能进行复数代数形式的加减运算和几何意义．

情感、态度与价值观：理解在复数运算中复数运算法则与实数运算法则的区别，掌握好复数问题实数化的化归思想；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用．

教学重点：复数基本概念，复数表示实数、虚数、纯虚数的充要条件；复数代数形式的四则运算．

教学难点：熟练掌握并应用复数代数形式的加、减、乘、除运算法则去解决复数问题。

教具准备：多媒体、实物投影仪．

教学设想：复数考查难度不高，教学中可避免繁琐的计算与技巧训练，多从复数的基本概念、复数相等的充要条件、复数四则运算进行加强．

教学过程：

学生探究过程：

1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即

i1;

(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立

2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i

3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1,

i4n+3=-i,

i4n=1

24.复数的定义：形如abi(a,bR)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*

3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即zabi(a,bR)，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式

4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数abi(a,bR)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.

5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC. 6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小

只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

7. 复平面、实轴、虚轴：

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，

它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

8．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 9.

复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 10.

复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 11. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

12. 复数乘法法则：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i

13.复数乘法运算满足交换律、结合律、分配律: z1z2=z2z1

z1(z2z3)=(z1z2)z3

z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 14.共轭复数：复数z= a+bi的共轭复数为z= a-bi

15.复数除法法则：(a+bi)÷(c+di)=讲解新课：

知识体系构建：

acbdbcad2i

222cdcd虚数的引入

复 数

复数的表示

复数的运算

代数表示

几何表示

代数运算

几何意义

mm＋例1已知m∈R，复数z＝m－1＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z是实数？(2)z是虚数？(3)z是纯虚数？

m22m30

，即m= -3时，复数z 是实数．

解：(1)当

m10m22m30

(2)当, 即m1且m3时，复数z 是虚数．

m10m(m2)

(3)当

0

，即m=0或m= -2时，复数z 是纯虚数．



m1

2m2m30

注：在对复数进行分类时要注意其充要性，使得虚部和实部均有意义。

例2已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y. 解：设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2，得

(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，

24a＝4∴－a2＋b2＝－6

，

a＝1a＝1a＝－1a＝－1解得或或或

b＝1b＝－1b＝1b＝－1x＝1＋ix＝1－ix＝－1＋ix＝－1－i故所求复数为或或或. y＝1－iy＝－1－iy＝1＋iy＝－1＋i

510i例3计算：(1)用a+bi的形式表示34i，a,b∈R；

－23＋i22010(2)＋()；

1－i1＋23i1＋i62＋3i(3)()＋. 1－i3－2i(510i)(34i)2550i12i. 解：(1)原式＝(34i)(34i)25i(2)原式＝＋23i2＋1－i1＋23i＋＝i＋i4×2511＝i＋i＝2i. (3)解法一：原式

＝＋i222100521005＝i＋()＝i＋i1005

－2i6＋22＋3i32＋3＋2i22＝i6＋6＋2i＋3i－6＝－1＋i. 5解法二：(技巧解法) 原式＝＝i6＋＋i26＋2＋3ii

3－2ii2＋3ii＝－1＋i. 2＋3i

注：要熟练掌握复数的加、减、乘、除的运算法则及其运算技巧．

例4如图，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：

→(1)AO表示的复数，BC表示的复数；

(2)对角线CA所表示的复数．

解：(1)AOOA，

∴∵BCAO表示的复数为－3－2i. AO，

∴BC表示的复数为－3－2i. (2)CAOAOC，∴CA表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. 注：利用复数与复平面内以原点为起点的向量之间一一对应的关系，相等的向量表示同一复数，然后借助于向量运算的平行四边形法则和三角形法则进行求解.

基础练习：

1.a0是复数abi(a,bR)为纯虚数的( ) (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)非充分非必要条件

2.已知复数z1i, z4=_______ z1z2i,z21i,则z2在复平面内对应的点位于第_____象限. 3.已知复数1z4.若复数2534i的共轭复数是 . 5.已知复数z1=3+4i, z2=t+i,且z1z2是实数，则实数t =____. 能力练习：

2S1iin1.设in1，则S2007等于________. x2.已知111,x1414xx则_____. 223.已知关于x的实系数方程x－2ax+a－4a+4=0的两虚根为x1、x2，且|x1|+|x2|=3，则a的值为

．

本节小结：

1．复数的代数运算

(1) 复数相等，复数的加、减、乘、除运算法则，模的性质，共轭复数的性质. 1＋i1－i＋＋

(2)一些常用结论：①(1±i)2＝±2i；②＝i，＝－i；③i4n＝1，i4n1＝i，i4n2＝－1－i1＋i1，i4n3＝－i；i4n＋i4n1＋i4n2＋i4n3＝0，其中n为整数．

2.复数的几何意义

(1)

(2)|z|表示复数z对应的点与原点的距离．

(3)|z1－z2|表示两点间的距离，即表示复数z1与z2对应点间的距离．

课后作业：课本P116

复习参考题A组第1、2、3题

B组1、3题

＋＋＋＋

教学反思：

复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.

复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式. 复数的除法法则是：abiacbdbcad22i(c+di≠0). 22cdicdcd两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简

高考题选

1．（2007年北京卷）2

2(1i)i

．

22. （2007年湖北卷）复数z=a+bi,a,b∈R,且b≠0,若z4bz是实数，则有序实数对（a,b）可以是

.(写出一个有序实数对即可) 12,(【答案】：). 22)ba4(bia)abb42babi2(2)【分析】：z24bza(bi是实数，所以a2b，取(a,b)(2,1). 【高考考点】：本题主要考查复数的基本概念和运算. 【易错点】：复数的运算公式不能记错。

【高学科网备考提示】：复数的基本概念和运算，是高考每年必考的内容，应熟练掌握。

3．（2007年福建卷）复数1等于（

D

）

2(1i)

C．A．1

2

B．1

21i

2

D．1i

24．（2007年广东卷）若复数（1+bi）(2+i)是纯虚数（i是虚数单位，b为实数），则b= 11

(A) -2

(B) -

(C)

(D) 2 22

答案：B；解析：（1+bi）(2+i)=（2-b）+(2b+1)i，故2b+1=0，故选B；

5．（2007年全国卷I）设a是实数，且A．a1i是实数，则a（

B

）

1i23

D．2

212ii，则z（

C

）

6．（2007年全国卷Ⅱ）设复数z满足zA．2i

B．2i

C．2i

D．2i

B．1

C．7.（2007年陕西卷）在复平面内，复数z=1对应的点位于（Ｄ）

2i1

2（A）第一象限

（B）第二象限

（C）第在象限

（D）第四象限

8．（2007年四川卷）复数（A）0

1i3i的值是（

）

1i（B）1

（C）1

（D）i

1i3(1i)22i解析：选A．ii3i3ii0．

1i(1i)(1i)2本题考查复数的代数运算．

2i3（

Ｃ

）

9．（2007年天津卷）i是虚数单位，1iＡ．1i

Ｂ．

1i

Ｃ．1i

Ｄ．1i

10．（2007年浙江卷）已知复数z11i，z1z21i，则复数z2

1

．

11．（2007年上海卷）已知2ai,bi是实系数一元二次方程xpxq0的两根，则2p,q的值为

（A）

A、p4,q5

B、p4,q5

C、p4,q5

D、p4,q5

12．（2007年重庆卷）复数2i4的虚部为______. 52i313．（2007年安徽卷）若a为实数，2ai12i＝-2I，则a等于(B)

（A）2

（B）-2

（C）22

（D）-22

214．（2007年山东卷）若zcosisin（i虚数单位），则z1使的值可能是（D）



(D)

32510i

12i

．15．（2007年宁夏卷）i是虚数单位，（用abi的形式表示，34i(A)

(B)(C) 

6

4a，bR）