习题2.1教学实录与评析

幂函数与二次函数

知

识

梳

理

1．幂函数

(1)幂函数的定义形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．

(2)常见的5种幂函数的图象

(3)常见的5种幂函数的性质

函数特征性质

定义域

值域

奇偶性

单调性

定点

2.二次函数

(1)二次函数的定义:形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．

(2)二次函数的三种常见解析式

①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标；

③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．

(3)二次函数的图象和性质

函数

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)

a>0 图象

定义域

值域

对称轴

顶点

坐标

R

4ac－b

y∈，＋∞4abx＝－2a

b4ac－b－，

4a2a22y＝x R

R

奇

增

y＝x2

R

[0，＋∞)

偶

(－∞，0]减，[0，＋∞)增

y＝x3

R

R

奇

增

y＝x

[0，＋∞)

[0，＋∞)

非奇非偶

增

y＝x－1

{x|x∈R，且x≠0}

{y|y∈R，且y≠0}

奇

(－∞，0)减，(0，＋∞)减

(1,1) (0,0)，(1,1) a<0

R

4ac－b

y∈－∞，4a2

奇偶性

递增

区间

递减

区间

最值

b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数

b－2a，＋∞

b－∞，－2a

b－∞，－2a

b－2a，＋∞

4ac－b24ac－b2bb当x＝－2a时，y有最小值ymin＝4a

当x＝－2a时，y有最大值ymax＝4a

考点一

幂函数的图象与性质的应用

12【例1】

(1)已知幂函数y＝f(x)的图象过点，，则log4f(2)的值为________．

22(2)函数y＝x的图象是________．

12解析

(1)设f(x)＝xα，由图象过点，，得

22121111α2＝＝⇒α＝，log4f(2)＝log422＝. 2224131312(2)显然f(－x)＝－f(x),说明函数是奇函数,同时由当0＜x＜1时,

x＞x；当x＞1时,

x＜x,知只有②符合. 1答案

(1)

(2)②

4规律方法

(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．

【训练1】

比较下列各组数的大小：

11422102(1)1.12，0.92，1；(2)－3，－7－3，(－1.1)3. 211111解

(1)把1看作12，幂函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数．∵0＜0.9＜1＜1.1，∴0.92＜12＜1.12. 11即0.92＜1＜1.12. 422222102727222－－(2)因为－＝，－＝＝，(－1.1)3＝(1.1)3＝1.213，

232373103103272幂函数y＝x3在(0，＋∞)上是增函数，且10＜2＜1.21. 422102－∴－＜＜(－1.1)3. 73－23考点二

二次函数的图象与性质

【例2】如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分,图象过点A(－3,0),对称轴为x＝－1.给出下面四个结论: ①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是________．

解析

因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；

b对称轴为x＝－1，即－2a＝－1,2a－b＝0，②错误；

结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；

由对称轴为x＝－1知,b＝2a.又函数图象开口向下,所以a＜0,所以5a＜2a,即5a＜b,④正确. 答案

①④

规律方法

解决二次函数的图象问题有以下两种方法：

(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．

1【训练2】设函数f(x)＝x，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2________0，y1＋y2________0(比较大小)．

解析

由题意知满足条件的两函数图象如图所示．作B关于原点的对称点B′，据图可知：x1＋x2>0，y1＋y2<0. 答案

＞

＜

考点三

二次函数的综合运用

【例3】

若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．

审题路线

f(0)＝1求c→f(x＋1)－f(x)＝2x比较系数求a，b→构造函数g(x)＝f(x)－2x－m→求g(x)min→由g(x)min＞0可求m的范围．

解

(1)由f(0)＝1，得c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，

2a＝2，a＝1，∴a(x＋1)＋b(x＋1)＋1－(ax＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，∴∴

a＋b＝0，b＝－1.22

因此，f(x)＝x2－x＋1. (2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，

只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．

∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．

规律方法

二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.

【训练3】设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M,m,集合A＝{x|f(x)＝x}. (1)若A＝{1,2}，且f(0)＝2，求M和m的值；(2)若A＝{1}，且a≥1，记g(a)＝M＋m，求g(a)的最小值．

解

(1)由f(0)＝2可知c＝2.又A＝{1,2}，故1,2是方程ax2＋(b－1)x＋2＝0的两实根．

1－b1＋2＝a，所以22＝a.

解得a＝1，b＝－2.所以f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－2,2]．

当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝1，即m＝1.;当x＝－2时，f(x)max＝f(－2)＝10，即M＝10. (2)由题意知，方程ax2＋(b－1)x＋c＝0有两相等实根x＝1. 1－b1＋1＝a，所以c1＝a，b＝1－2a，即

c＝a.

2a－111所以f(x)＝ax2＋(1－2a)x＋a，x∈[－2,2]，其对称轴方程为x＝2a＝1－2a.又a≥1，故1－2a1∈2，1. 12a－1＝1－. 所以M＝f(－2)＝9a－2.m＝f4a2a131g(a)＝M＋m＝9a－4a－1.又g(a)在区间[1，＋∞)上单调递增，所以当a＝1时，g(a)min＝4.

1．对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．

2．二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想．

3．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用．

二次函数在闭区间上的最值问题

【典例】

(12分)(经典题)求函数f(x)＝－x(x－a)在x∈[－1,1]上的最大值．

2aaaaa2a[规范解答]

函数f(x)＝－x－2＋4的图象的对称轴为x＝2，应分2＜－1，－1≤2≤1，2＞1，即a＜－2，－2≤a≤2和a＞2三种情形讨论．

(2分) (1)当a＜－2时，由图(1)可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝－1－a；

(5分)

2aa(2)当－2≤a≤2时，由图(2)可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f2＝4；

(8分) (3)当a＞2时，由图(3)可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f(1)＝a－1.

(11分－a－1，a＜－2，a2综上可知，f(x)max＝4，－2≤a≤2，a－1，a＞2.

(12分) [反思感悟] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．

(2)部分学生易出现两点错误：

－a－1，a＜－2，a2①找不到分类的标准，无从入手；②书写格式不规范，漏掉结论f(x)max＝4，－2≤a≤2，a－1，a＞2.

【自主体验】已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a的值．

aaa解

f(x)＝－4x－22－4a，对称轴为x＝2，顶点为2，－4a. a①当2≥1，即a≥2时，f(x)在区间[0,1]上递增．∴ymax＝f(1)＝－4－a2.令－4－a2＝－5，∴a＝±1＜2(舍去)．

a5a②当0＜2＜1，即0＜a＜2时，ymax＝f2＝－4a，令－4a＝－5，∴a＝4∈(0,2)．

a③当2≤0，即a≤0时，f(x)在区间[0,1]上递减，此时f(x)max＝f(0)＝－4a－a2. 令－4a－a2＝－5，即a2＋4a－5＝0，

5∴a＝－5或a＝1(舍去)．综上所述，a＝4或a＝－5.

基础巩固题组

一、填空题

11．幂函数的图象过点2，4，则它的单调递增区间是______．

1解析

设幂函数y＝x，则2＝4，解得α＝－2，所以y＝x－2，故函数y＝x－2的单调递增区间是(－αα∞，0)．

2．二次函数y＝－x2＋4x＋t图象的顶点在x轴上，则t的值是________．

解析

二次函数图象的顶点在x轴上，所以Δ＝42－4×(－1)×t＝0，解得t＝－4.

3．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f(x)的单调递增区间为________．

解析

由已知可得该函数的图象的对称轴为x＝2，又二次项系数为1＞0，所以f(x)在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．

4．若a＜0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是________．

11解析

5－a＝5a，因为a＜0时，函数y＝xa单调递减，且5＜0.5＜5，所以5a＜0.5a＜5－a.

5．函数f(x)＝loga (6－ax)在[0,2]上为减函数，则a的取值范围是________．

解析

若0＜a＜1，则f(x)不可能为减函数，当a＞1时，由函数(f)x＝loga(6－ax)在[0,2]上为减函数，知6－ax＞0在[0,2]恒成立，等价于(6－ax)min＞0，即6－2a＞0，得a＜3，所以a的取值范围是(1,3)．

6．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)，且f(x)＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2＝________. 解析

由f(3＋x)＝f(3－x)，知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，应有x1＋x22＝3⇒x1＋x2＝6.

7．已知函数y＝－x2＋4ax在区间[1,3]上单调递减，则实数a的取值范围是________．

11解析

根据题意，得对称轴x＝2a≤1，所以a≤2.

答案

－∞，2

2，x≥2，8．已知函数f(x)＝x3，x<2.x－范围是________．

解析

将方程有两个不同的实根转化为两个函数图象有两个不同的交点．

作出函数f(x)的图象，如图，由图象可知，当0

二、解答题

9．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且f(x)＞－2x的解集为{x|1＜x＜3}，方程f(x)＋6a＝0有两相等实根，求f(x)的解析式．

解

设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3) (a＜0)，则f(x)＝ax2－4ax＋3a－2x，

1f(x)＋6a＝ax2－(4a＋2)x＋9a，Δ＝[－(4a＋2)]2－36a2＝0，即(5a＋1)(a－1)＝0，解得a＝－5或a＝1(舍去). 163因此f(x)的解析式为f(x)＝－5x2－5x－5. 10．设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函数的最小值g(a)．

解

∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1，而x＝1不一定在区间[－2，a]内，应进

若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值

行讨论．

当－2

当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，ymin＝－1. 2a－2a，－2

－1，a≥1.

能力提升题组

一、填空题

1．已知幂函数f(x)＝xα，当x＞1时，恒有f(x)＜x，则α的取值范围是________．

解析

当x＞1时，恒有f(x)＜x，即当x＞1时，函数f(x)＝xα的图象在y＝x的图象的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象，由图象可知α＜1时满足题意．

答案

(－∞，1) 222．设集合A＝{x|x＋2x－3＞0}，集合B＝{x|x－2ax－1≤0，a＞0}.若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是________．

2解析

A＝{x|x＋2x－3＞0}＝{x|x＞1，或x＜－3}，因为函数y＝f(x)＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a＞0，f(0)＝－1＜0，根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f(2)≤04－4a－1≤0，且f(3)＞0，即9－6a－1＞0，

3a≥4，所以4a＜3，

3434即4≤a＜3.

答案

[4，3) 13．已知函数f(x)＝x2，给出下列四个命题：①若x＞1，则f(x)＞1；②若0＜x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＞x2－x1；

③若0＜x1＜x2,则x2f(x1)＜x1f(x2)；④若0＜x1＜x2,则的序号是____. 1解析

对于①：∵y＝x2在(0，＋∞)上为增函数，∴当x＞1时，f(x)＞f(1)＝1，①正确; 11对于②：取x1＝4，x2＝4，此时f(x1)＝2，f(x2)＝2，但f(x2)－f(x1)＜x2－x1，②错误；

－x2xfxxx对于③：构造函数g(x)＝x＝x，则g′(x)＝＝－2x2x2＜0，所以g(x)在(0，＋∞)上为减函数，当x2＞x1＞0时，有fx2x2＜fx1x1，即x1f(x2)＜x2f(x1)，③错误；

x1＋f2x2x1＋x2，＜f④正确．

答案

①④

2xfx1＋f2x2x1＋x2.其中,所有正确命题＜f2f1对于④：画出f(x)＝x2在(0，＋∞)的图象，可知二、解答题

4．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：

(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间；

(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式；

(3)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1,2])，求函数g(x)的最小值．

解

(1)f(x)在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．

(2)设x＞0，则－x＜0，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，

2x－2xx＞22∴f(x)＝f(－x)＝(－x)＋2×(－x)＝x－2x(x＞0)，∴f(x)＝2x＋2xx，

(3)g(x)＝x2－2x－2ax＋2，对称轴方程为x＝a＋1，

当a＋1≤1，即a≤0时，g(1)＝1－2a为最小值；

当1＜a＋1≤2，即0＜a≤1时，g(a＋1)＝－a2－2a＋1为最小值；

当a＋1＞2，即a＞1时，g(2)＝2－4a为最小值．

aa1－22综上，g(x)min＝－a－2a＋2－4aa＞，＜a，

指数与指数函数

1．根式

(1)根式的概念

根式的概念

如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根

当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数

当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数

a，n为奇数，nna，a≥0，(2)两个重要公式:①a＝|a|＝－a，a＜0，2．有理数指数幂

(1)幂的有关概念

1①零指数幂：a0＝1(a≠0)．

②负整数指数幂：a－p＝ap(a≠0，p∈N*)；

mn③正分数指数幂：an＝am(a＞0，m，n∈

N*，且n＞1)；

符号表示

na 备注

n＞1且n∈N*

零的n次方根是零

负数没有偶次方根

n±a

nn为偶数．②(a)n＝a.

m11④负分数指数幂：a－n＝m＝(a＞0，m，n∈N，且n＞1)；

annam⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．

(2)有理数指数幂的性质

①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．

3．指数函数的图象与性质

y＝ax

a＞1

0＜a＜1 图象

定义域

值域

性质

当x＞0时，y＞1；

x＜0时，0＜y＜1

在(－∞，＋∞)上是增函数

考点一

指数幂的运算

R

(0，＋∞)

过定点(0,1) 当x＞0时，0＜y＜1；

x＜0时，y＞1 在(－∞，＋∞)上是减函数

规律方法

进行指数幂运算时，一般

化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．需注意下列问题：

(1)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示；(2)应用平方差、完全平方公式及apa－p＝1(a≠0)简化运算．

答案

－9a

考点二

指数函数的图象及其应用

【例2】

(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是_____. ①a＞1，b＜0；②a＞1，b＞0；③0＜a＜1，b＞0；④0＜a＜1，b＜0. (2)比较下列各式大小．

①1.72.5______1.73；②0.6－1______0.62；③0.8－0.1______1.250.2；④1.70.3______0.93.1. 解析

(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0. (2)①，∵函数y＝1.7x是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73. ②∵y＝0.6x是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62. ③∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．

∵y＝1.25x是增函数，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2. ④∵1.70.3>1,0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1. 答案

(1)④

(2)①＜

②＞

③＜

④＞

规律方法

(1)对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．

(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．

【训练2】

已知实数a，b满足等式2 011a＝2 012b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________．

解析

设2 011a＝2 012b＝t，如图所示，由函数图象，可得

(1)若t＞1，则有a＞b＞0；'(2)若t＝1，则有a＝b＝0；(3)若0＜t＜1，则有a＜b＜0. 故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．

答案

③④

考点三

指数函数的性质及其应用

131＋【例3】

已知函数f(x)＝2x－12x. (1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)求证：f(x)＞0.

审题路线:由2x－1≠0可求f(x)的定义域⇒分别求g(x)＝113＋与h(x)＝x的奇偶性⇒可利用g(－x2－12x)±g(x)＝0判断g(x)的奇偶性⇒利用“奇×奇＝偶,奇×偶＝奇”判断f(x)的奇偶性⇒先证x＞0时,f(x)＞0⇒再证x＜0时,f(x)＞0. 解

(1)由2x－1≠0可解得x≠0，∴定义域为{x|x≠0}．

1111112x13(2)令g(x)＝x＋2，h(x)＝x.则h(x)为奇函数，g(－x)＋g(x)＝－x＋2＋x＋2＝x＋x2－12－12－11－22－1＋1＝0. ∴g(x)为奇函数，故f(x)为偶函数．

11(3)证明

当x＞0时，2x－1＞0，∴2x－1＋2x3＞0，即f(x)＞0.又∵f(x)是偶函数，

∴当x＜0时，f(x)＝f(－x)＞0，∴f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上恒大于零．∴f(x)＞0. 规律方法

(1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小．

(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可. －2x＋b【训练3】

已知定义域为R的函数f(x)＝x＋1是奇函数．

2＋a(1)求a，b的值；(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0. －1＋b－2x＋1解

(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，所以f(x)＝x＋1. 2＋a2＋a－2＋1＝－.解得a＝2. 4＋a1＋a1－2＋1又由f(1)＝－f(－1)知－2x＋111(2)由(1)知f(x)＝x＋1＝－2＋x. 2＋22＋1由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数)．

又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)．因为f(x)是减函数，由上式推得t－2t>－2t＋1，即3t2221－2t－1>0，解不等式可得tt>1或t<－3

. 【典例】

(2012·山东卷)若函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________. 1[解析]

若a＞1，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝2，此时g(x)＝－x为减函数，不合题意．若110＜a＜1，有a－1＝4，a2＝m，故a＝4，m＝16，检验知符合题意．

[易错警示]

(1)误以为a＞1，未进行分类讨论从而求得错误答案．

(2)对条件“g(x)在[0，＋∞)上是增函数”不会使用，求得结果后未进行检验得到两个答案．

[防范错施] (1)指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论．

(2)根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一，熟练掌握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础. 【自主体验】当x∈[－2,2]时，ax<2(a>0，且a≠1)，则实数a的范围是________．

解析

x∈[－2,2]时，ax<2(a>0，且a≠1)，

若a>1时，y＝ax是一个增函数，则有a2<2，可得a<2，故有1

222若02，故有2

22答案

，1∪(1，2) 2基础巩固题组

一、填空题

111．在函数①f(x)＝x；②f(x)＝x2－4x＋4；③f(x)＝2x；④f(x)＝log2x中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)”的是________．

解析

由条件可知在(0，＋∞)上，函数f(x)递增，所以③满足．

答案

③

12．函数y＝ax－a(a＞0，a≠1)的图象可能是________. 解析

当a＞1时单调递增，且在y轴上的截距为01＜1－a＜1时，故①，②不正确；

1当0＜a＜1时单调递减，且在y轴上的截距为1－a＜0，故③不正确；④正确．答案

④

3.a35a·a4(a＞0)的值是________．

a3解析

a3141717＝14＝a3－2－5＝a10.

答案

a10

5a5a·a4a2·114．设2a＝5b＝m，且a＋b＝2，则m等于________．

1111解析

∵2＝5＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，∴a＋b＝logm＋logm＝logm2＋logm5＝logm10＝2. 25ab∴m＝10.

答案

10 5．函数y＝ax－b(a＞0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围为________．

解析

函数经过第二、三、四象限，所以函数单调递减且图象与y轴的交点在负半轴上．而当x＝0

0＜a＜1，0＜a＜1，时，y＝a－b＝1－b，由题意得解得所以ab∈(0,1)．

答案

(0,1) 1－b＜0，b＞1，0

6．若a＝30.6，b＝log30.2，c＝0.63，则a、b、c的大小关系为________．

解析

30.6＞1，log30.2＜0,0＜0.63＜1，所以a＞c＞b.

答案

a＞c＞b

7．已知函数f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是________．

11解析

因为f(x)＝a－x＝ax，且f(－2)＞f(－3)，所以函数f(x)在定义域上单调递增，所以a＞1，解得0＜a＜1. a8．函数f(x)＝a(a＞0，a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大2，则a的值为________．

xa1解析

当0＜a＜1时，a－a2＝，∴a＝或a＝0(舍去)．

22a3当a＞1时，a2－a＝2，∴a＝2或a＝0(舍去)．

1313综上所述，a＝2或2.

答案

2或2

二、解答题

e－xa9．设f(x)＝a＋－x是定义在R上的函数．

e(1)f(x)可能是奇函数吗？

(2)若f(x)是偶函数，求a的值．

解

(1)假设f(x)是奇函数，由于定义域为R，

a1eexa1∴f(－x)＝－f(x)，即a＋ex＝－a＋－x，整理得a＋a(ex＋e－x)＝0，即a＋a＝0，即a2＋1＝0，显e然无解. ∴f(x)不可能是奇函数．

x1x－xexaeaa－(2)因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即a＋ex＝a＋－x，整理得(e－e)＝0，

ae－－x1又∵对任意x∈R都成立，∴有a－a＝0，得a＝±1. 10．设a＞0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．

解

令t＝ax(a＞0且a≠1)，则原函数化为y＝(t＋1)2－2(t＞0)．

11①当0＜a＜1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈a，a，此时f(t)在a，a上为增函数．

11111212所以f(t)max＝fa＝a＋1－2＝14.所以a＋1＝16，所以a＝－5或a＝3.又因为a＞0，所以a＝3. 11，a②当a＞1时，x∈[－1,1]，t＝a∈a，此时f(t)在a，a上是增函数．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2x－2＝14，

1解得a＝3(a＝－5舍去)．综上得a＝3或3. 能力提升题组

一、填空题

1．函数f(x)＝ax－3＋m(a＞1)恒过点(3,10)，则m＝________. 解析

由图象平移知识及函数f(x)＝ax过定点(0,1)知，m＝9.

答案

9 －3ax＋10a，x≤7，2．已知函数f(x)＝x－7是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是a，x>7________. －3ax＋10a，x≤7，解析

∵函数f(x)＝x－7是定义域上的递减函数，

a，x>7

1－3a<0，∴0

1－3a<0，即0

1616解得3

答案

3，11

3.设f(x)＝|3x－1|，c＜b＜a且f(c)＞f(a)＞f(b)，则关系式3c＋3a________2(比较大解析

作f(x)＝|3x－1|的图象如图所示，由图可知，要使c＜b＜a且f(c)＞f(a)＞f(b)成立，则有c＜0且a＞0，∴3c＜1＜3a，∴f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1，

又f(c)＞f(a)，∴1－3c＞3a－1，即3a＋3c＜2.

答案

＜

二、解答题

14．已知函数f(x)＝3ax2－4x＋3. (1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．

1解

(1)当a＝－1时，f(x)＝3－x2－4x＋3，令t＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，

1由于t在(－∞,－2)上单调递增,在[－2,＋∞)上单调递减,而y＝3t在R上单调递减,所以f(x)在(－∞,－2)上单调递减,在[－2,＋∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是[－2,＋∞),单调递减区间是(－∞,－2). 1(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝3h(x)．由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有a>0，4解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. －＋3＝－1，a对数与对数函数

1．对数的概念:如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，

记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做对数的真数．

2．对数的性质与运算法则

(1)对数的性质:几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b≠1)

①alogaNlogaNn1mn＝N；②logaa＝N；③logbN＝logb；④logab＝mlogab；⑤logab＝loga，推广logab·logbc·logcdabN＝logad. (2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0) M1n①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②logaN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logaM＝nlogaM. 3．对数函数的图象与性质

a＞1

0＜a＜1 图象

(1)定义域：(0，＋∞)

(2)值域：R

性质

性质

(3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0 (4)当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＜0 (6)在(0，＋∞)上是增函数

三个防范

一是在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1；二是对公式要熟记，防止混用；三是对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0＜a＜1和a＞1分类讨论，否则易出错．

考点一

对数的运算

【例1】

(1)(2013·四川卷)lg 5＋lg 20的值是________．

1(2)已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝2x；当x＜4时，f(x)＝f(x＋1)．则f(2＋log23)＝________. 解析

(1)lg 5＋lg20＝lg 100＝lg 10＝1. 1(2)由于1＜log23＜2，则f(2＋log23)＝f(2＋log23＋1)＝f(3＋log23)＝23log23

(5)当x＞1时，y＜0 当0＜x＜1时，y＞0 (7)在(0，＋∞)上是减函数

131＝22log231log23＝8·21log231112＝·＝. ＝8·83241

1答案

(1)1

(2)24

规律方法

(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．

(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．

(log3 4)＝________.;(2)lg 25＋lg 2·【训练1】

(1) (log29)·lg 50＋(lg 2)2＝________. (log3 4)＝(2log2 3)·解析

(1)(log29)·(2log32)＝4. (2)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2. 答案

(1)4

(2)2 考点二

对数函数的图象及其应用

1【例2】当0＜x≤2时，4x＜logax，则a的取值范围是________．

审题路线

在同一坐标系下作出两个函数y＝4x与y＝logax的图象⇒画函数y＝logax的图象可考虑两种情况：a＞1和0＜a＜1⇒观察图象，当a＞1时不符合题意舍去，所以只画出0＜a＜1的情形11⇒观察图象的交点2，2满足条件：loga

2＞2即可．

11x0＜x≤解析

由题意得，当0＜a＜1时，要使得4＜logax，即当0＜x≤时，函数y＝4的图象在22x函数y＝logax图象的下方．

11211又当x＝2时，42＝2，即函数y＝4x的图象过点2，2，把点2，2代入函数y＝logax，得a＝2，2若函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需2＜a＜1(如图所示)．

2当a＞1时，不符合题意，舍去．所以实数a的取值范围是，1. 2规律方法

一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

【训练2】

(2014·石家庄二模)设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则两根满足的条件是________．

①x1x2＜0；②x1x2＝1；③x1x2＞1；④0＜x1x2＜1

解析

构造函数y＝10x与y＝|lg(－x)|，并作出它们的图象，如图所示．

因为x1，x2是10x＝|lg(－x)|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设x2＜－1，－1＜x1＜0，则10x1＝－lg(－x1)，10x2＝lg(－x2)，因此10x2－10x1＝lg(x1x2)，因为10x2－10x1＜0，所以lg(x1x2)＜0，即0＜x1x2＜1.

答案

④

考点三

对数函数的性质及应用

【例3】

(1)(2013·新课标全国Ⅱ卷改编)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则它们的大小关系为________．

logx，x＞0，2(2)设函数f(x)＝1log－x，x＜0.2

若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________．

解析

(1)∵3＜2＜3,1＜2＜5，3＞2，∴log33＜log32＜log33，log51＜log5

2＜log55，log23＞log22，

11∴2＜a＜1,0＜b＜2，c＞1，∴c＞a＞b. a＜0，a＞0，(2)由题意可得或1log－alog2a＞－log2a2

＞log2－a，

解得a＞1或－1＜a＜0. 规律方法

在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．

1【训练3】

(1)若x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝eln x，则a，b，c的大小关系为________．

(2)函数f(x)＝loga(ax－3)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是________．

1ln x解析

(1)依题意得a＝ln x∈(－1,0)，b＝2∈(1,2)，c＝x∈(e－1,1)，因此b＞c＞a. (2)由于a＞0，且a≠1，∴u＝ax－3为增函数，

∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，因此a＞1，又u＝ax－3在[1,3]上恒为正，

∴a－3＞0，即a＞3.

答案

(1)b＞c＞a

(2)(3，＋∞)

小结

(1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a＞1和0＜a＜1的两种不同情况．有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现．

(2)利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．

8【典例】已知两条直线l1：y＝m和l2：y＝(m＞0)，l1与函数y＝|log2x|2m＋1的图象❶从左至右相交于点A，B，l2与函数＝|log2x|的图象❶从左至右相b交于点C，D.❷记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.❸当m变化时，a的最小值为❹________.

log2x，x＞1，[审题]

一审条件❶：转化函数y＝|log2x|为y＝得到图象,如图. －log2x，0＜x＜1.二审条件❷：见上图．

三审条件❸：转化为a是A，C两点横坐标之差的绝对值，b是B，D两点横坐标之差的绝对值．A，B的横坐标即是方程|log2x|＝m的解，C，D的横坐标即是方程|log2x|＝D点的横坐标．

b四审问题❹：把a转化为关于m的函数，利用导数或不等式求解即可．

8的解，求出A，B，C，2m＋1

法一

构造函数g(m)＝8＋m，则g′(m)＝－2m＋116m＋2＋1＝m＋m＋m－2，由于m＞3b370，显然可得g(m)在(0，＋∞)上有唯一的极小值点，也是最小值点m＝2，故g(m)min＝g2＝2，即a的最小值为2＝82. 法二

8441117413＋m＝＋m＝＋m＋－≥4－＝，当且仅当＝m＋，即m＝112222122时等号2m＋1m＋2m＋2m＋2b成立，故a的最小值为2＝82.

[反思感悟] (1)利用对数函数的图象研究与对数有关的图象问题时要注意对称变换的应用；

(2)本题是以函数图象为载体，AC和BD在x轴上的投影长度用坐标表示是解决问题的切入点，再转化为求函数的最值问题，难度稍大．

【自主体验】已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a

＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3,1的大小关系是________．

解析

分别作出三个函数的图象，如图所示：

由图可知，x2＜x3＜x1＜1. 基础巩固题组

一、填空题

111．如果log2x＜log2y＜0，那么x，y,1的大小关系是________．

1111解析

∵log2x＜log2y＜log21，又y＝log2x是(0，＋∞)上的减函数，∴x＞y＞1.

答案

1＜y＜x

2．(2014·深圳调研)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝log3(1＋x)，则f(－2)＝________. 解析

f(－2)＝－f(2)＝－log33＝－1.

答案

－1 123．函数y＝log2(3x－a)的定义域是3，＋∞，则a＝______. aa2解析

要使函数有意义，则3x－a＞0，即x＞3，

∴3＝3，∴a＝2.

答案

2 22a，x＜2，4．已知f(x)＝且f(2)＝1，则f(1)＝________. 2，x≥2，logax－

解析

∵f(2)＝loga(22－1)＝loga3＝1，

∴a＝3，∴f(1)＝2×32＝18.

答案

18 5．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，a≠1)的图象恒过一定点是________．

解析

当x＝2时y＝2.

答案

(2,2) 6．已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是________．

解析

a＝log23＋log23＝log233>log22＝1，b＝log29－log23＝log233＝a>1，c＝log32c. 答案

a＝b>c

7．函数y＝log2|x|的图象大致是______. log2x，x＞0，

解析

函数y＝log2|x|＝所以函数图log2－x，x＜0，象为①. ln26ln2π8．若a＝4，b＝ln 2×ln 3，c＝4，则a，b，c的大小关系是________．

①a＞b＞c；②c＞a＞b；③c＞b＞a；④b＞a＞c

2ln 2＋ln 32ln6＝解析

∵ln 6＞ln π＞1，∴a＞c，排除②，③；b＝ln 2·ln 3＜4＝a，排除④.

答案

2

①

二、解答题

9．已知f(x)＝log4(4x－1)．

1(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间2，2上的值域．

解

(1)由4x－1＞0解得x＞0，因此

f(x)的定义域为(0，＋∞)．

(2)设0＜x1＜x2,则0＜4x1－1＜4x2－1,因此log4(4x1－1)＜log4(4x2－1),即f(x1)＜f(x2),f(x)在(0,＋∞)上递增. 111(3)f(x)在区间2，2上递增，又f2＝0，f(2)＝log415,因此f(x)在2，2上的值域为[0，log415]. 1ax－210．已知函数f(x)＝log2(a为常数)．

x－1(1)若常数a<2且a≠0，求f(x)的定义域；(2)若f(x)在区间(2,4)上是减函数，求a的取值范围．

解

(1)由题意知故当00，当0a；当a<0时，解得aa

；

2时，f(x)的定义域为xa

. ax－2ax－21(2)令u＝，因为f(x)＝log2u为减函数，故要使f(x)在(2,4)上是减函数，只需u(x)＝＝a＋x－1x－1a－2<0，a－2在(2,4)上单调递增且为正．故由2a－2x－1u＝≥0，2－1能力提升题组

一、填空题

1．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：

f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，则是“同形”函数的是________．

①f2(x)与f4(x)；②f1(x)与f3(x)；③f1(x)与f4(x)；④f3(x)与f4(x)．

解析

因为f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，所以f2(x)＝log2(x＋2)，沿着x轴先向右平移2个单位得到y＝log2x的图象，然后再沿着y轴向上平移1个单位可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，根据“同形”函数的定义，f2(x)与f4(x)为“同形”函数．f3(x)＝log2x2＝2log2|x|与f1(x)＝2log2(x＋1)不“同形”．

答案

①

12.定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x).f(x－2)＝f(x＋2).且x∈(－1,0)时.f(x)＝2x＋5.则f(log220)＝_____. 解析

由f(x－2)＝f(x＋2)，得f(x)＝f(x＋4)，因为4＜log220＜5，

得1≤a<2.故a∈[1,2)．

441所以f(log220)＝f(log220－4)＝－f(4－log220)＝－f(log25)＝－(2log25＋5)＝－1.

答案

－1 3．已知函数f(x)＝lnx，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是________．

1－xbababa×解析

由题意可知ln＋ln＝0，即ln1－a1－b＝0，从而×＝1，

1－a1－b1－a1－b化简得a＋b＝1. 111111故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－a－22＋4,又0＜a＜b＜1,∴0＜a＜2,故0＜－a－22＋4＜4. 二、解答题

1－x4．已知函数f(x)＝－x＋log2. 1＋x11－(1)求f2 014＋f2 014的值；

(2)当x∈(－a，a]，其中a∈(0,1)，a是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由．

1－x1＋x11解

(1)由f(x)＋f(－x)＝log2＋log2＝log21＝0.∴f2 014＋f－2 014＝0. 1＋x1－x(2)f(x)的定义域为(－1,1)，

∵f(x)＝－x＋log2(－1＋2)，当x1

x＋1∴当a∈(0,1)，x∈(－a，a]时f(x)单调递减，

∴当x＝a时，f(x)min＝－a＋log2

1－a. 1＋a