习题2.1优秀教案说课稿

指数函数

1、

理解根式、分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质．

2、

掌握指数函数的概念、图像和性质。

一、有理数指数幂及运算性质

1、有理数指数幂的分类

n个n（1）正整数指数幂aaaaa(nN)；（2）零指数幂a01(a0)；

（3）负整数指数幂an1a0,nN

nan（4）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。

2、有理数指数幂的性质

（1）amanamna0,m,nQ（2）amamna0,m,nQ m（3）ab二、根式

nambma0,b0,mQ

1、根式的定义：一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1,nN，a叫做根式，n叫做根指数，a叫被开方数。

2、对于根式记号na，要注意以下几点： nn（1）nN，且n1；（2）当n是奇数，则aa；当n是偶数，则naa0；

aaaa0n（3）负数没有偶次方根； （4）零的任何次方根都是零。

3、规定：

（1）anama0,m,nN,n1mn；（2）amn1amn1nama0,m,nN,n1

x

三、对指数函数定义的理解

一般地，函数ya(a0且a1)叫做指数函数。

1、定义域是R。因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在a0的前提下，x可以是任意实数。

2、规定a0,且a1的理由：

x当x0时，a恒等于0；（1）若a0， x当x0时，a无意义。11（2）若a0，如y(2)x，当x、等时，在实数范围内函数值不存在。

42（3）若a1，y1x1，是一个常量，没有研究的必要性。 为了避免上述各种情况，所以规定a0,且a1。

3、式上的严格性：

指数函数的定义表达式yax中，ax前的系数必须是1。自变量x在指数的位置上。比如y2ax,yax1,yax1等，都不是指数函数；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如yax111(a0且a1)，因为它可以化为y，其中0，且1。

aaax四、指数函数的图象和性质：

a1

0a1

图象

定义域：R

性

质

在R上是增函数

值域：0,

图像都过点0,1

在R上是减函数

特别提醒：

角坐标系中的图像的相对位置关系与底数大小的关系有如下规律：

在y轴右侧，图像从下往上相应的底数由小变大；在y轴左侧，图像从上往下相应的底数由小变

大。即不论在y轴右侧还是左侧，底数按逆时针增大。

五、比较幂值得大小

底数相同：利用函数的单调性进行比较；

指数相同：方法一：可转化为底数相同进行比较；方法二：可借助函数图像进行比较。指数函

数在同一直角坐标系中的图像与底数大小的关系有如下规律：即无论在y轴右侧还是在y轴左侧底数按逆时针方向由小变大。

指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。

六、指数方程的可解类型，可分为：

形如afxagxa0,a1的方程，化为fxgx求解。

2形如a2xbaxc0的方程，可令tax进行换元，转化成tbtc0t0一元二次方程进行求解。

七、指数不等式的解法：

当a1时，afxagx与fxgx同解，当0a1时，afxagx与fxgx同解。

类型一根式与分数指数幂的互化

125例1：(1)用根式表示下列各式：a

；a；a3；

13536(2)用分数指数幂表示下列各式：a；a；. 32a1321543－解析：(1)a5

＝a；a4

＝a；a3

＝. 32a5621135362－(2)a＝a3

；a＝a3

＝a；＝2＝a3 . 32a3a答案：见解析

423练习1：把根式化为分数指数幂的形式：ab＝__________. 答案：ab

31－练习2：用根式表示下列各式：x5

；x3 53答案：x＝x. 11x－3

＝. 3x类型二根式与分数指数幂的混合运算

例2：计算：a2aa32(a0)

a2aa1232解析：原式＝答案：38

a2aa32a122 



23a

5613700.2546练习1：化简：1.53

×－＋8×2＋(2×3)－6答案：110 练习2：

化简A．－2π

答案：D

类型三指数函数的定义

例3：下列函数中，哪些是指数函数？

－3；

23232＋33＝(

) C．2π

D．－6 3B．6

①y＝10；②

y＝10xxx＋1；③

y＝10＋1；④y＝2·10；

xxx⑤y＝(－10)；⑥y＝(10＋a)(a>－10，且a≠－9)；

⑦y＝x. 解析：①y＝10符合定义，是指数函数；

②y＝10x＋1x10是由y＝10和y＝10这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数；

xx③y＝10＋1是由y＝10和y＝1这两个函数相加得到的复合函数；

④y＝2·10是由y＝2和y＝10这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数；

⑤y＝(－10)的底数是负数，不符合指数函数的定义；

⑥由于10＋a>0，且10＋a≠1，即底数是符合要求的常数，故y＝(10＋a)(a>－10，且xxxxxa≠－9)是指数函数；

⑦y＝x的底数不是常数，故不是指数函数．

综上可知，①、⑥是指数函数．

答案:①、⑥

练习1：若函数y＝(a－3)·(2a－1)是指数函数，求a的值．

答案:4

练习2：

函数y＝(a－3a＋3)a是指数函数，则有(

) A．a＝1或a＝2 C．a＝2 答案：C

类型四指数函数的图象和性质 x－b例4：函数f(x)＝a的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是(

) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．00 D．00且a≠1

210xx

－b解析：由图象呈下降趋势可知00，∴b<0. 答案：D

x练习1：若函数y＝a＋m－1(a>0)的图象经过第一、三和第四象限，则(

) A．a>1 答案：B

B．a>1，且m<0 C．00 D．0

在同一坐标系中，函数y＝2与y＝的图象之间的关系是(

) 2A．关于原点对称

对称

答案:C

B．关于x轴对称

C．关于y轴对称

D．关于直线y＝x

类型五指数函数性质的应用

例5:比较下列各组数的大小：

(1)1.7(2)0.8(3)1.72.5,1.7；

0.8－0.23－0.1,0.3,；

x0.9；

x3.1解析：(1)考察指数函数y＝1.7，

由于底数1.7>1，所以指数函数y＝1.7在(－∞，＋∞)上是增函数．

∵2.5<3，∴1.7<1.7. (2)考察函数y＝0.8，由于0<0.8<1，

所以指数函数y＝0.8在(－∞，＋∞)上为减函数．

∵－0.1>－0.2，∴0.80.30－0.12.53xx<0.83.1－0.2. 0(3)由指数函数的性质得

1．7>1.7＝1，

0.9<0.9＝1，

∴1.7>0.9. 答案：< x0.33.1< x＋1>

；

练习1:比较下列各题中两个值的大小．

(1)0.3与0.31－2(2)与2. 2答案：> >

x－1练习2: 函数f(x)＝a答案：(1,3)

＋2(a>0，a≠1)恒过定点________．

类型六指数函数性质的综合应用

例6:函数f(x)＝x－bx＋c，满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，比较f(b)与f(c)的大小．

解析：∵f(1＋x)＝f(1－x)，

∴f(x)＝x－bx＋c的对称轴为x＝1. 即＝1⇒b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3. 2xxxx∴f(b)＝f(2)，f(c)＝f(3)．

若x≥0，则3≥2≥1，而f(x)＝x－2x＋3在[1，＋∞)上为增函数，

∴f(3)≥f(2)，即f(c)≥f(b)，

若x<0，则0<3<2<1，而f(x)＝x－2x＋3在(－∞，1)上为减函数，

∴f(3)>f(2)，即f(c)>f(b)，

综上所述，f(c)≥f(b)．

答案：f(c)≥f(b)．

xxxxxxxxxx222xxbxx2xxxx1- x x0练习1:

设f(x)，则f[f(－2)]＝________. x2 x0

1答案：

2练习2:设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)132x＝3－1，则f()、f()、f()的大小关系为__________．

323231答案：f()＜f()＜f()

323

1、把下列各式中的a写成分数指数幂的形式

（1）a5256；（2）a428；

答案：（1）a256；（2）a282、计算（1）9；

答案：（1）93321514

32（2）163232

323232327；（2）16324322436411

643、求下列各式的值

（1）32；（2）42；

答案：（1）322；（2）422

4、用分数指数幂的形式表示下列各式：

（1）aa

答案：（1）aaaaa5、若函数ya2a3答案：,156、函数y2答案：3,4

x323434（2）

aa 2122123233a；（2）aaaaa52233233322a

1132x是一个指数函数，求实数a的取值范围。

15,13,1515,

3恒过定点____________。

_________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

__

基础巩固

1．

下列命题中正确命题的个数为(

) 432①a＝a；②若a∈R，则(a－a＋1)＝1；③x＋y＝x3

＋y；④－5＝6(5). nn20343A．0 C．2 答案：B 2．

设a>0，将B．1 D．3 a23写成分数指数幂，其结果是(

) a·a2A．a

C．a

答案：D 12．

计算：22

＋－32B．a

D．a

76125621＋－2－121－r(50)＝____. 答案：22 124．

若a<，则化简44a1的结果是(

) 4A．1－4a

C．－1－4a

答案：A 5．

函数y＝a在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a＝(

) 1A．

2C．4 答案:B

B．2 1D．

4xB．4a－1 D．－4a－1

能力提升

6．

函数y＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象必经过定点________．

答案：(－1,2) 7．

设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2－3，则当x<0时，f(x)＝________. 答案：3－2

8. 设函数f(x)＝ka－a(a>0且a≠1)是奇函数．

(1)求常数k的值；

(2)若a>1，试判断函数f(x)的单调性，并加以证明．

答案：(1)函数f(x)的定义域为R. 又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，

即k－1＝0，∴k＝1. (2)当a>1时，函数f(x)是R上的增函数．

由(1)知f(x)＝a－a. 设任意实数x1

x－x－xxx－xf(x2)－f(x1)＝ax2－a－x2－a x1＋a-x1

＝a－a1＋x2 x1ax1a x2－1

a x2－a x1＝a－a＋ x1＋x2

a x2 x11 x x＝(a2－a1)1＋a x1＋x2

∵x11，∴a10. 又1＋1>0，

a＋x2 x1 x x x x∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．

故当a>1时，函数f(x)在R上是增函数．

b－2x9.已知定义域为R的函数f(x)＝x是奇函数．

2＋a(1)求a、b的值；

(2)用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数；

(3)若对于任意t∈R，不等式f(t－2t)＋f(2t－k)<0恒成立，求k的范围．

22

答案：(1)∵f(x)为R上的奇函数，

∴f(0)＝0，b＝1. 又f(－1)＝－f(1)，得a＝1. (2)任取x1，x2∈R，且x1

1－211－22f(x1)－f(x2)＝ x1－ x2

2＋12＋1 x x2(2x22x1)＝，

(12x1)(12x2)∵x10，

又(21＋1)(22＋1)>0，f(x1)－f(x2)>0. ∴f(x)为R上的减函数．

(3)∵t∈R，不等式f(t－2t)＋f(2t－k)<0恒成立，

∴f(t－2t)<－f(2t－k)．

∵f(x)是奇函数，∴f(t－2t)

由于f(x)为减函数，∴t－2t>k－2t. 即k<3t－2t恒成立，

12112而3t－2t＝3(t－)－≥－，

3331∴k<－. 3

222222222 x x x x