小结名师课堂实录

章末复习课

1．熟练地进行指数式与根式的互化，对含有指数式(或根式)的乘除运算要善于利用幂的运算法则，注意表达式中出现的数量之间的关系，利用分数指数幂进行根式运算的顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行运算．

2．应用指数函数y＝ax的图象和性质时，若底数含有字母，要特别注意a>1还是0

4．准确地掌握对数的运算法则是正确进行对数运算的前提，利用对数运算可以把乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，从而显示了对数计算的优越性．

5．一般当给出的等式是指数形式时，通常对等式两边取对数，这是一种常用的解题技巧．

6．应用换底公式时，应注意选择恰当的底，既要善于“正用”，还要注意它的“逆用”．

7．比较对数大小时，应先区分各对数值是正还是负，再区分是大于1的数还是小于1的正数，然后分类比较．同底数的对数大小比较，利用对数函数单调性；不同底数同真数的对数大小比较可取倒数，化为同底数比较，亦可使用图象；真数、底数都不同的对数比较大小要借助中介值或图象比较大小.

一、比较大小的方法

比较几个数的大小是幂、指数、对数函数的又一重要应用，常用的方法有：单调性法、搭桥法、图象法、特殊值法、作差法、作商法等．

例1

比较三个数0.32，log20.3,20.3的大小.

分析

根据三个数式的特点，选择y＝x2，y＝log2x，y＝2x三个函数的图象和性质加以比较．

解

方法一

∵0.32<12=1，log20.320=1，

∴log20.3<0.32<20.3. 方法二

作出函数图象如图所示，由图象即可看出log20.3<0.32<20.3. 点评

比较幂函数、指数函数、对数函数型的数值间的大小关系时要注意：(1)若指数相同，底数不同，则利用幂函数的单调性；(2)若底数相同，指数不同，则利用指数函数的单调性；(3)若底数不同，指数也不同，以及一些对数函数型数值等，应寻找媒介数(常用0,1)进行比较；(4)作差比较和作商比较是常用技巧．

二、换元法的应用

研究函数除了几种基本初等函数外，还要研究由它们进行复合而形成的复合函数的性质，这些函数性质在研究时，常用换元的思路，使问题转化为已知的问题．

1例2

f(x)＝9x＋2－3x＋a，x∈[1,2]的最大值为5，求其最小值．

解

f(x)＝32x＋1－3x＋a. 设3x＝t，则t∈[3,9]．

∴f(x)＝g(t)＝3t2－t＋a

112t－＝36＋a－12，t∈[3,9]．

∴f(x)max＝g(9)＝3·92－9＋a＝5，∴a＝－229，

∴f(x)min＝g(3)＝24＋a＝－205. 点评

利用换元法求值域必须先求出新元的取值范围作为新函数的定义域．

三、数形结合思想的应用

数学的本质是数与形的统一，数形结合的思想始终是数学研究中最重要的思想方法之一．研究和应用指数函数、对数函数的性质，图象是个有力的工具；并且，由于这两类函数的图象都比较单一，也容易画出，因此，利用它们的图象来

进行比较大小，讨论方程根的情况等题目比较普遍．

例3

方程a－x＝logax (a>0且a≠1)的实数解的个数为(

) A．0

B．1

C．2

D．3 答案

B 解析

本例可用数形结合法画出y＝a－x与y＝logax的图象，观察交点个数，要注意对a分a>1与0

－当a>1时，在同一坐标系中画出y1＝logax的图象和y2＝ax的图象如图(1)，由图象知两函数图象只有一个交点；同理，当0

四、分类讨论思想的应用

指数函数与对数函数的性质渗透了分类讨论的数学思想方法．

由于指数函数y＝ax，对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的性质都与a的取值有密切的联系，a变化时，函数的性质也随之改变；因此，在a的值不确定时，要对它们进行分类讨论．

2例4

若－1

3<1，求a的取值范围.

2解

－1

3<1，

12即loga

a＝－1

3<1＝loga

a. 212(1)当a>1时，有loga

3为增函数，a<32，结合a>1，故a>2. 212(2)当0

3为减函数，a>3>a. 22∴a<3，结合02. 点评

解含参数的不等式或方程时常常要对参数进行讨论，讨论是自然产生的，不要为了讨论而讨论．

还需明确的就是分类的目的是什么，分类之后就等于将整个一个大问题划分为若干个小问题，每个小问题可以解决了，整个大问题也就解决了. 一、选择题

1．已知集合A＝{y|y＝logax，x>0，a>0且1xa≠1}，B＝x|y＝2，y≥2，则A∩B等于(

) A．{x|x≥－1}

B．{x|x≤－1} C．{x|x≥0}

D．{x|x>0} 答案

B 解析

∵A＝R，B＝(－∞，－1]，BA，

∴A∩B＝B＝(－∞，－1]．

2．设a>b>1,0

) A．xa>xb

B．bx>ax

C．logax>logbx

D．logxa>logxb

答案

C 解析

画图象可知．

3．若logm2

) A．1

B．0

D．0

B 解析

画图象可知．

14．函数y＝(|x|)2的图象可能是下列四个图中的(

) 答案

D

1解析

由y＝(|x|)2知函数为偶函数，且0x. 5．函数y＝2＋log2x (x≥1)的值域为(

) A．(2，＋∞)

B．(－∞，2) C．[2，＋∞)

D．[3，＋∞) 答案

C 解析

x≥1时，log2

x≥0，∴y≥2. 二、填空题

3xx,116．设f(x)＝，则满足f(x)＝的x值为________．

4log81xx1,答案

3, 解析

∵f(x)＝111，当3－x＝时，x＝log3 4∉(－∞，1]，,∴log81

x＝，即x444

＝81＝37.14144＝3∈(1，＋∞)，,综上可知，满足f(x)＝＝________., 1的x的值是3. 4lg8lg125lg2lg5lg10lg0.1答案

－4, 3lg23lg5lg2lg52lg2lg52解析

原式＝＝＝＝－4. 11112228.已知a>1,01，那么b的取值范围是______________．

答案

(0,1), 解析

∵alogb(1－x)>a0，且a>1.,∴logb(1－x)>0.,又∵0

证明

∵函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，

设x1，x2为区间(－∞，＋∞)上任意两个值，且x1

2x2x1222则f(x2)－f(x1)＝x21x11－(x2－x1),＝－(x2－x1) 22x11x21＝(x2－x1) 22x2x12x121x21x1x12122

21>0., ∵x2>x1，∴x2－x1>0，且x121x2又∵对任意x∈R，都有x21x2|x|x，

∴x－x21<0，∴x1－x11<0，x2－x221<0，,∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)

33解

f(x)－g(x)＝logx 3x－logx 4＝logx

．,当0

x>0，f(x)>g(x)；

44443当x＝时，f(x)＝g(x)；,当1

x<0，f(x)

33443当x>时，logx

x>0，f(x)>g(x)．

3444综上所述，当x∈(0,1)∪（，＋∞))时，f(x)>g(x)；,当x＝时，f(x)＝g(x)；,334当x∈（1，)时，f(x)

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