信息技术应用 收集数据并建立函数模型教学目标设计

第三章

3.1

3.1.1 基础巩固

一、选择题

1．下列图象表示的函数中没有零点的是(

)

[答案]

A [解析]

没有零点就是函数图象与x轴没有交点，故选A. 2．方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(

) A．(0,2) C．(2,3) [答案]

C 2[解析]

令f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32＋2－3＝log3＜0，f(3)＝log33＋3－3＝1＞30，所以方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)，故选C. 13．函数f(x)＝lnx－的零点的个数是(

) x－1A．0 C．2 [答案]

C 1[解析]

如答图所示，易知y＝lnx与y＝的图象有两个交点．

x－1B．1 D．3 B．(1,2) D．(3,4)

4．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0则方程f(x)＝0在区间[a，b]上(

) A．至少有一实根

C．没有实根

[答案]

D 5．下列函数中，在[1,2]上有零点的是(

) A．f(x)＝3x2－4x＋5 B．f(x)＝x3－5x－5 B．至多有一实根

D．必有唯一的实根

C．f(x)＝lnx－3x＋6 [答案]

D D．f(x)＝ex＋3x－6 [解析]

A：3x2－4x＋5＝0的判别式Δ<0，

∴此方程无实数根，∴f(x)＝3x2－4x＋5在[1,2]上无零点．

B：由f(x)＝x3－5x－5＝0得x3＝5x＋5. 在同一坐标系中画出y＝x3，x∈[1,2]与y＝5x＋5，x∈[1,2]的图象，如图1，两个图象没有交点．

∴f(x)＝0在[1,2]上无零点．

C：由f(x)＝0得lnx＝3x－6，在同一坐标系中画出y＝lnx与y＝3x－6的图象，如图2所示，由图象知两个函数图象在[1,2]内没有交点，因而方程f(x)＝0在[1,2]内没有零点．

D：∵f(1)＝e＋3×1－6＝e－3<0，f(2)＝e2>0，

∴f(1)·f(2)<0. ∴f(x)在[1,2]内有零点．

6．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是(

) 1A．－1和

611C.和

23[答案]

B [解析]

由于f(x)＝x2－ax＋b有两个零点2和3，

1∴a＝5，b＝6.∴g(x)＝6x2－5x－1有两个零点1和－. 6二、填空题

7．函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为________．

[答案]

0 [解析]

∵y＝f(x)为偶数，∴f(－x)＝f(x)，∴四个根之和为0. 22x－x－1，x≤0，8．函数f(x)＝x的零点的个数为________．

3－4，x＞01B．1和－

611D．－和－

23

[答案]

2

1[解析]

当x≤0时，令2x2－x－1＝0，解得x＝－(x＝1舍去)；当x＞0时，令3x－4222x－x－1，x≤0，＝0，解得x＝log34，所以函数f(x)＝x有2个零点．

3－4，x＞0

三、解答题

9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；

(2)f(x)＝x2＋x＋2；

x2＋4x－12(3)f(x)＝；

x－2(4)f(x)＝3x1－7；

＋(5)f(x)＝log5(2x－3)．

1[解析]

(1)因为f(x)＝－8x2＋7x＋1＝－(8x＋1)(x－1)，令f(x)＝0，解得x＝－或x＝1，81所以函数的零点为－和1. 8(2)令x2＋x＋2＝0，因为Δ＝12－4×1×2＝－7<0，所以方程无实数根，所以f(x)＝x2＋x＋2不存在零点．

x2＋4x－12x＋6x－2x＋6x－2(3)因为f(x)＝＝，令＝0，解得x＝－6，所以函数的x－2x－2x－2零点为－6. 77＋(4)令3x1－7＝0，解得x＝log3，所以函数的零点为log3. 33(5)令log5(2x－3)＝0，解得x＝2，所以函数的零点为2. 10．(2015·北京高一检测)已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．

[解析]

设f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)，如图，有两种情况．第一种情况，m＋2＞0，1解得－2＜m＜－. 2f1＜0，

m＋2＜0，第二种情况，此不等式组无解．

f1＞0，

1综上，m的取值范围是－2＜m＜－. 2能力提升

一、选择题

1．若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)＜0，f(1)＞0，f(2)＞0，则下列说法正确的是(

) A．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点

B．f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点

C．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点

D．f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点

[答案]

C 2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：

x f(x)

1

123.5

2

21.5

3

－7.82

4

11.57

5

－53.7

6

－126.7

7 －129.6 那么函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(

) A．2个

C．4个

[答案]

B 3．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点在1003个，则f(x)的零点的个数为(

) A．1003 C．2006 [答案]

D 4．(2015·宁夏银川一中第一次月考)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)·(x－a)的两个零点分别位于区间(

) A．(b，c)和(c，＋∞)内

B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(a，b)和(b，c)内

D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

[答案]

C [解析]

由于a＜b＜c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－a)(b－c)＜0，f(c)＝(c－B．1004 D．2007 B．3个

D．5个

b)(c－a)＞0，根据零点的存在性定理可知，函数的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选C. 二、填空题

5．(2015·全国高考安徽卷文科，14题)在平面直角坐标系中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．

1[答案]

－

21[解析]

由题知y＝|x－a|－1最小值为－1，所以2a＝－1，∴a＝－. 2a，a－b≤1，6．(2015·河北衡水中学期末)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝设b，a－b＞1，

函数f(x)＝(x2－2)*(x－1)，x∈R，若方程f(x)＝c恰有两个不同的解，则实数c的取值范围是________．

[答案]

(－2，－1]∪(1,2] 2x－2－1≤x≤2，[解析]

由题意知f(x)＝画出f(x)的图象，数形结合可得实数c的x－1x＜－1或x＞2.

取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．

三、解答题

7．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0＜a＜1)．

(1)求函数f(x)的定义域为；

(2)求函数f(x)的零点．

1－x＞0，[解析]

(1)要使函数有意义，则有解得－3＜x＜1，所以函数的定义域为(－x＋3＞0，

3,1)．

(2)函数可化为f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]＝loga(－x2－2x＋3)，

由f(x)＝0，得－x2－2x＋3＝1，即x2＋2x－2＝0，

x＝－1±3. ∵－1±3∈(－3,1)，∴f(x)的零点是－1±3. 8．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]．

(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；

(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点？

[解析]

(1)依题意：f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]，

其图象如图所示．

(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点，

∴方程f(x)＝－m在x∈[－1,4]上有两个相异的实数根，

即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点．

由(1)所作图象可知，－4＜－m≤0，∴0≤m＜4. ∴当0≤m＜4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，故当0≤m＜4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．