习题3.1公开课教案

第1讲

“六招”秒杀选择题——快得分

题型概述

选择题解法的特殊性在于可以“不讲道理”.常用方法分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，时间可能不允许，因此，我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧.其基本解答策略是：充分利用题干和选项所提供的信息作出判断.先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，总的来说，选择题属于小题，尽量避免“小题大做”.在考场上，提高了解题速度，也是一种制胜的法宝.

方法一

直接法

直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法. 【例1】

(1)(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(

) A.－8

B.－6

C.6

D.8 (2)(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝25，c＝2，cos A＝3，则b＝(

) A.2

B.3

C.2

D.3 解析

(1)由题知a＋b＝(4，m－2)，因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，

即4×3＋(－2)×(m－2)＝0，解之得m＝8，故选D.

2(2)由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×3，

1解得b＝3或b＝－3(舍去).

答案

(1)D

(2)D 探究提高

1.直接法是解答选择题最常用的基本方法.直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案，解题时要多角度思考问题，善于简化计算过程，快速准确得到结果.

2.用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错.

【训练1】

(1)(2017·全国Ⅲ卷改编)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝(

) A.8

B.－8

C.4

D.－4 (2)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是(

) A.34

B.55

C.78

D.89 解析

(1)由{an}为等比数列，设公比为q.

a1＋a2＝－1，a1＋a1q＝－1，①即

2a－a＝－3，a－aq＝－3，②1131显然q≠－1，a1≠0，

②得1－q＝3，即q＝－2，代入①式可得a1＝1，

①所以a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.

(2)第一次循环：z＝2，x＝1，y＝2；

第二次循环：z＝3，x＝2，y＝3；

第三次循环：z＝5，x＝3，y＝5；

第四次循环：z＝8，x＝5，y＝8；

第五次循环：z＝13，x＝8，y＝13；

第六次循环：z＝21，x＝13，y＝21；

第七次循环：z＝34，x＝21，y＝34，z＝55.

当z＝55时，退出循环，输出z＝55.

答案

(1)B

(2)B 方法二

特例法

从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等. 【例2】

(2017·山东卷)若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(

) 1bA.a＋b＜2a＜log2(a＋b) 1bC.a＋b＜log2(a＋b)＜2a

b1B.2a＜log2(a＋b)＜a＋b

1bD.log2(a＋b)＜a＋b＜2a

11b15b解析

令a＝2，b＝2，则a＋b＝4，2a＝8，log2(a＋b)＝log22∈(1，2)，则2a＜1log2(a＋b)＜a＋b. 答案

B 探究提高

1.特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含字母或具有一般性结论的选择题.

2.特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理.第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解. 【训练2】

如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为(

)

A.3∶1

C.4∶1

B.2∶1 D.3∶1 解析

将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ(＝

0)，则有VC－AA1B＝VA1－ABC＝VABCA1B1C13. 2VCC1A1B1QP＝3VABCA1B1C1，所以截后两部分的体积比为2∶1.

答案

B 方法三

排除(淘汰)法

排除法(淘汰法)是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法. 【例3】

(2016·全国Ⅰ卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为(

)

(2)(2015·湖北卷)设x∈R，定义符号函数(

) A.|x|＝x|sgn x|

C.|x|＝|x|sgn x

B.|x|＝xsgn |x| D.|x|＝xsgn x

1，x>0，sgn x＝0，x＝0，则下面正确的是－1，x<0，解析

(1)令f(x)＝2x2－e|x|(－2≤x≤2)，则f(x)是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0，1)，故排除A，B；当x>0时，令g(x)＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex，

又g′(0)<0，g′(2)>0，所以g(x)在(0，2)内至少存在一个极值点，故f(x)＝2x2－e|x|在(0，2)内至少存在一个极值点，排除C.

(2)当x<0时，|x|＝－x，sgn x＝－1.

则x·|sgn x|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgn x＝x.

因此，选项A，B，C均不成立.

答案

(1)D

(2)D 探究提高

1.排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多

于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案.

2.(1)排除法常与特例法，数形结合法联合使用，在高考题求解中更有效发挥功能.(2)如果选项之间存在包含关系，必须根据题意才能判定. 1【训练3】

(2015·浙江卷)函数f(x)＝x－xcos x(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为(

)

11解析

因为f(－x)＝－x＋xcos(－x)＝－x－xcos x＝－f(x)，故函数是奇函11π－π－数，所以排除A，B；取x＝π，则f(π)＝cos π＝－<0，所以ππ排除C.

答案

D 方法四

数形结合法

有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合图象的特征，得出结论. 【例4】

(2015·北京卷)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(

)

A.{x|－1

B.{x|－1≤x≤1}

C.{x|－1

D.{x|－1

令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图，由y＝log2（x＋1），x＝1，得

y＝1.∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1

答案

C 探究提高

1.该题将不等式的求解转化为研究函数图象的位置关系，利用几何直观，再辅以简单的计算，可有效提高解题速度和准确性.

2.数形结合是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果.不过运用图解法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而导致错误的选择.

x－[x]，x≥0，【训练4】

设函数f(x)＝其中[x]表示不超过x的最大整数，f（x＋1），x<0，如[－1.1]＝－2，[π]＝3等.若方程f(x)＝k(x＋1)(k>0)恰有三个不相等的实根，则实数k的取值范围是(

) 1A.0，4

1C.3，1



11B.4，3

1D.4，1

解析

直线y＝kx＋k(k>0)恒过定点(－1，0)，在同一直角坐标系中作出函数y＝f(x)的图象和直线y＝kx＋k(k>0)的图象，如图所示，因为两个函数图象恰好有三11个不同的交点，所以4≤k<3.

答案

B 方法五

估算法

选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次. 【例5】

(1)已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积是(

) 16A.9π

8B.3π

C.4π

64D.9π

1(2)(2015·湖北卷)在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥2”的11概率，p2为事件“|x－y|≤2”的概率，p3为事件“xy≤2”的概率，则(

) A.p1

C.p3

B.p2

D.p3

解析

(1)球的半径R不小于△ABC的外接圆的半径r，又△ABC是边长为2的等边三角形，

3223∴r＝2×2×3＝3，

16π故S球＝4πR2≥4πr2＝3>5π，只有D满足.

1(2)满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA及其边界上.事件“x＋y≥2”1对应的图形如图①所示的阴影部分；事件“|x－y|≤2”对应的图形为图②所示1的阴影部分；事件“xy≤2”对应的图形为图③所示的阴影部分.对三者的面积进行比较，可得p2

答案

(1)D

(2)B 探究提高

1.“估算法”的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就

没有意义.

2.在选择题中作精确计算不易时，可根据题干提供的信息，估算出结果的大致取值范围，排除错误的选项.对于客观性试题，合理的估算往往比盲目的精确计算和严谨推理更为有效，可谓“一叶知秋”.

x≤0，【训练5】

设M为不等式组y≥0，表示的平面区域，则当a从－2连续变化y－x≤2到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为(

) 3A.4

7C.4

B.1 D.2 解析

如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形.阴影部分面积比11大，比S△OAB＝2×2×2＝2小，故C项满足.

答案

C 方法六

概念辨析法

概念辨析法是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选出正确结论的方法.这类题目一般是给出的一个创新定义，或涉及一些似是而非、容易混淆的概念或性质，需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时多加小心. 【例6】

若对于定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数都成立，则称f(x)是一个“λ伴随函数”.下列是关于“λ伴随函数”的结论：

①f(x)＝0不是常数函数中唯一一个“λ伴随函数”；

1②f(x)＝x是“λ伴随函数”；③f(x)＝x2是“λ伴随函数”；④“2伴随函数”至少有一个零点.其中正确的结论个数是(

) A.1

B.2

C.3

D.4

解析

由题意得，①正确，如f(x)＝c≠0，取λ＝－1，则f(x－1)－f(x)＝c－c＝0，即f(x)＝c≠0是一个“λ伴随函数”；②不正确，若f(x)＝x是一个“λ伴随函数”，则x＋λ＋λx＝x(1＋λ)＋λ＝0，对任意实数x成立，所以1＋λ＝λ＝0，而找不到λ使此式成立，所以f(x)＝x不是一个“λ伴随函数”；③不正确，若f(x)＝x2是一个“λ伴随函数”，则(x＋λ)2＋λx2＝(1＋λ)x2＋2λx＋λ2＝0对任意实数x成立，所以λ＋1＝2λ＝λ2＝0，而找不到λ使此式成立，所以f(x)＝x2不是一个“λ111伴随函数”；④正确，若f(x)是“2伴随函数”，则f

x＋2＋2f(x)＝0，取x＝1110，则f

2＋2f(0)＝0，若f(0)，f

2任意一个为0，则函数f(x)有零点；若f(0)，f

1112均不为0，则f(0)，f

2异号，由零点存在性定理知，在0，2区间内存在零点.因此①，④的结论正确. 答案

B 探究提高

1.创新命题是新课标高考的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，如本例中的“λ伴随函数”，要求考生在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题.

2.解决该类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的信息进行有效整合，并转化为熟悉的知识加以解决.

【训练6】

(2017·郑州一中质检)若设平面α，平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的(

) A.充分不必要条件

C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

由α⊥β，α∩β＝m，b⊂β和b⊥m，知b⊥α，又a⊂α，∴a⊥b，故有“α⊥β”可以推出“a⊥b”，反过来，不一定能推出，即“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件.

答案

A

从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，至于用什么“策略”“手段”都是无关紧要的，所以解题可以“不择手段”.但平时做题时要尽量弄清每一个选项正确的理由与错误的原因；另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用

几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大做，真正做到准确和快速. 总之，解答选择题既要用各类常规题的解题思想原则来指导选择题的解答，但更应该充分挖掘题目的“个性”，寻求简便解法，充分利用选项的暗示，迅速地做出正确的选择.这样不但可以迅速、准确地获取正确答案，还可以提高解题速度，为后续解题节省时间.