阅读与思考 集合中元素的个数优秀教学设计内容

集合小结第1课时 【教学目标】

1.初步认识集合，形成对集合概念的理解。

2.理解集合的包含与相等，会求集合的子集与真子集. 【考纲要求】

1.元素与集合之间的关系能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。

2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 【知识1】

1.元素与集合的概念

(1)集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集). (2)元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素. (3)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性. 2.元素与集合的关系

关系

属于

3.集合的分类

(1)空集：不含任何元素的集合，记作∅. (2)非空集合：

①有限集：含有有限个元素的集合. ②无限集：含有无限个元素的集合. 4.常用数集的表示符号

名称

符号

5.表示方法

(1)列举法

把有限集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示这个集合的方法. (2)描述法

①集合的特征性质

如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质自然数集

N

正整数集

N＋或N

*概念

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A 记法

读法

a∈A a∉A a属于集合A

a不属于集合A

不属于

如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A 整数集

Z

有理数集

Q

实数集

R

p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质. ②特征性质描述法

集合A可以用它的特征性质p(x)描述为{x∈I|p(x)}，它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的.这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法. 【典型例题1】

集合的基本概念

下列每组对象能否构成一个集合： (1)我们班的所有高个子同学；（×）

(2)不超过20的非负数；（√）

(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；（×）

1

(4)3的近似值的全体.（×）

【对点演练1】

判断以下元素的全体是否组成集合：

（1）大于3小于11的偶数；

（ √ ） （2）我国的小河流； （ × ）

（3）非负奇数； （ √ ） （4）本校高一新生； （ √ ）

（5）血压很高的人； （ × ） （6）著名的数学家； （ × ）

（7）平面直角坐标系内所有第三象限的点

（ √ ）

【典型例题2】元素与集合的关系

1.所给下列关系正确的个数是(

) 1**①－∈R；②2∉Q；③0∈N；④|－3|∉N. 2A.1 B.2 C.3 D.4 答案

B 1*解析

－是实数，2是无理数，∴①②正确.N表示正整数集，∴③和④不正确. 22.用“∈”或“”符号填空：

（1）8 ∈ N； （2）0 ∈ N； （3）-3 ∈ Z； （4）2 ∉ Q；

（5）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 ∈ A，美国 ∉ A，印度 ∈ A，英国 ∉ A；

【对点演练2】

1.设不等式3－2x＜0的解集为M，下列关系中正确的是(

) A.0∈M,2∈M C.0∈M,2∉M 答案

B 解析

本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x＜0的解即可，当x＝0时，3－2x＝3＞0，所以0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1＜0，所以2∈M. 2.集合N中最小的数是1;②0;③3R,;④x44x的解集中含有2个元素BB；

其中正确语句的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 答案：B 【典型例题3】集合元素的特征

已知集合B含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈B，试求实数a的值. 解

∵－3∈B，∴－3＝a－3或－3＝2a－1. 若－3＝a－3，则a＝0. 此时集合B含有两个元素－3，－1，符合题意；

若－3＝2a－1，则a＝－1. 此时集合B含有两个元素－4，－3，符合题意. 综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1. 【对点演练3】

1已知集合A＝{a＋1，a－1}，若0∈A，则实数a的值为________. 答案

1 解析

∵0∈A，∴0＝a＋1或0＝a－1. 当0＝a＋1时，a＝－1，此时a－1＝0，A中元素重复，不符合题意. 222B.0∉M,2∈M

D.0∉M,2∉M

2

2

当a－1＝0时，a＝±1.

2a＝－1(舍)，∴a＝1. 此时，A＝{2,0}，符合题意. 【典型例题4】集合的表示方法

用列举法表示集合

例1 用列举法表示下列集合：

(1)小于10的所有自然数组成的集合；

(2)方程x＝x的所有实数根组成的集合；

(3)由1～20以内的所有质数组成的集合. 解

(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2)设方程x＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}. (3)设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}. 【对点演练4】

用列举法表示下列集合：

(1)我国现有的所有直辖市；

(2)绝对值小于3的整数的集合；

24(3)一次函数y＝x－1与y＝－x＋的图象交点组成的集合. 33解

(1){北京，上海，天津，重庆}；(2){－2，－1,0,1,2}；

22y＝x－1，(3)方程组24y＝－x＋33【典型例题5】

7x＝，5的解是2y＝5，

72所求集合为，. 55用描述法表示下列集合：

(1)正偶数集；

(2)被3除余2的正整数的集合；

(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合. 解

(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N}. (2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}. (3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}. 【对点演练5】

集合A＝{x|kx－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A. 解

(1)当k＝0时，原方程为16－8x＝0. ∴x＝2，此时A＝{2}. (2)当k≠0时，由集合A中只有一个元素，

∴方程kx－8x＋16＝0有两个相等实根. 则Δ＝64－64k＝0，即k＝1. 从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}. 综上所述，实数k的值为0或1. 22**

3

当k＝0时，A＝{2}；

当k＝1时，A＝{4}. 【典型例题6】

已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(

) A．1

B．3 C．5 D．9 答案 C 解析 列表

根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2，1，2，共5个．

答案 C 【对点演练6】

已知集合A＝{0，1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B中有________个元素．

答案 6 解析

因为x－y∈A，∴x≥y．

当x＝0时，y＝0；

当x＝1时，y＝0或y＝1；

当x＝2时，y＝0，1，2. 故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，

即集合B中有6个元素．

【知识2】集合与集合之间的关系

(1)集合相等：

①定义：如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么就说集合A等于集合B. ②符号表示：A＝B. ③图形表示：(2)子集

①定义：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集. ②符号表示：A⊆B或B⊇A. ③图形表示：(3)真子集

①定义：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集. ②符号表示：A B或B A. ③图形表示：

4

或

子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集. 几个重要的结论：

（1）

空集是任何集合的子集；

（2）

空集是任何非空集合的真子集；

（3） 任何一个集合是它本身的子集；

【典型例题7】集合间的关系

写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集. 解

由0个元素构成的子集：∅；

由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；

由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；

由3个元素构成的子集：{1,2,3}. 由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}. 在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集. 【对点演练7】

指出下列各对集合之间的关系：

(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；

(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；

(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；

(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}. 解

(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，

(3)集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，

(4)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，

【典型例题8】集合A={－1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有(

)

A．2个

B．4个

C．6个

D．8个

答案 B 解析 根据题意，在集合A的子集中，

含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，－1}、{－1，0，1}，共四个. 【对点演练8】

设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有(

) A．6个

B．5个 C．4个 D．3个

答案 A 解析

集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，其中一个奇数元素也没有的集合有两个：∅和{2}，故满足要求的集合M共有8－2＝6(个)．

【课堂升华】

1.集合的概念、性质。

2.集合与集合的关系。

**

5