习题2.2教学目标

对数及对数函数习题课

基础巩固

1．设a＝log54，b＝log53，c＝log45，则(

) A．a

C．a

B.b

D．b

解析：∵y＝log5x是增函数，∴log53

y＝log4x是增函数，∴log45>log44＝1，

∴log53

) A．(0,1)

1C.0，2

1B.2，1

D．(1，＋∞) 解析：∵a≠1，∴a2＋1－2a＝(a－1)2>0，

01

1得2

) A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．不是奇函数又不是偶函数

解析：f(x)＋f(－x)＝ln(1＋x2＋x)＋ln(1＋x2－x)＝ln[(1＋x2＋x)(1＋x2－x)]＝

ln(1＋x2－x2)＝ln 1＝0，

∴f(x)是定义在R上的奇函数．

答案：A 4．设函数f(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系为(

)

A．f(a＋1)＝f(2)

C．f(a＋1)

B.f(a＋1)>f(2) D．不确定

解析：易知f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以0f(2)．

答案：B 5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a＝f(－3)，14b＝f(log32)，c＝f 3，则a、b、c的大小关系是(

) A．a＜c＜b

C．b＜c＜a

B.b＜a＜c

D．c＜b＜a

14解析：a＝f(－3)＝f(3)，b＝f(log32)＝f(log32)，c＝f 3. 44∵0＜log32＜1,1＜3＜3，∴3＞3＞log32. ∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴a＞c＞b. 答案：C 6．已知log0.45(x＋2)＞log0.45(1－x)，则实数x的取值范围是________．

x＋2＞0，1解析：原不等式等价于解得－2＜x＜－2. x＋2＜1－x，1答案：－2，－2

7．若实数a满足loga2>1，则实数a的取值范围是________．

解析：当a>1时，loga2>1＝logaa. ∴2>a.∴1

当0

答案：1

解析：由题意得：当x≥1时，2x－b≥1恒成立，

又当x≥1时，2x≥2，∴b≤1. 答案：b≤1

9．已知函数f(x)＝lg(x＋1)，解关于x的不等式00，解析：由得－102－2x由0

x＋12－2x得1<<10. x＋1因为x＋1>0，所以x＋1<2－2x<10x＋10，

21解得－

解析：由f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]得f(x2)＝2＋log3x2，x2∈[1,9]，即x∈[1,3]，

得函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1,3]，

y＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2，

即y＝(log3x)2＋6log3x＋6 ＝(log3x＋3)2－3，

令log3x＝t,0≤t≤1，

y＝(t＋3)2－3，当t＝log3x＝1，

即x＝3时，ymax＝13.

能力提升

1．已知x＝ln π，y＝log52，z＝eA．x

C．z

解析：∵x＝ln π>ln e，∴x>1. 12

，则(

) B.z

D．y

∵y＝log52＝2，∴2b>1,0

) A．ac

B．abc

C．alogbc

D．logac

解析：∵y＝xα，α∈(0,1)在(0，＋∞)上是增函数，

∴当a>b>1,0bc，选项A不正确．

∵y＝xα，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是减函数，

∴当a>b>1,0

ac－1bac，选项B不正确．

∵a>b>1，∴lg a>lg b>0，∴alg a>blg b>0. ab∴lg b>lg a.又∵0

同理可证logac>logbc，选项D不正确．

答案：C 13．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f 2＝0，则不等式f(log4x)＜0的解集是________．

11111解析：由题意可知，f(log4x)＜0⇔－2＜log4x＜2⇔log442＜log4x＜log442⇔2＜

x＜2. 1

x|＜x＜2答案：26－ax－4a，x＜1，4．已知f(x)＝是R上的增函数，求a的取值范围．

logx，x≥1，a解析：f(x)是R上的增函数，则当x≥1时，y＝logax是增函数，∴a＞1. 又当x＜1时，函数y＝(6－a)x－4a是增函数．∴6－a＞0，∴a＜6.

6又(6－a)×1－4a≤loga1，得a≥5. 6∴5≤a＜6.

5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)＝log1

(－x＋1)．

2(1)求f(0)，f(1)；

(2)求函数f(x)的解析式；

(3)若f(a－1)<－1，求实数a的取值范围．

解析：(1)因为当x≤0时，f(x)＝log1

(－x＋1)，所以f(0)＝0. 2又函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以

f(1)＝f(－1)＝log1

[－(－1)＋1]＝log12＝－1，即f(1)＝－1. 22(2)令x>0，则－x<0，

从而f(－x)＝log1

(x＋1)＝f(x)，

2∴x>0时，f(x)＝log1

(x＋1)．

2∴函数f(x)的解析式为

(3)设x1，x2是任意两个值，且x1－x2≥0，

∴1－x1>1－x2>0. ∵f(x2)－f(x1)＝log1(－x2＋1)－log1

(－x1＋1)＝log12221－x2>log11＝0，

1－x12∴f(x2)>f(x1)，

∴f(x)＝log1

(－x＋1)在(－∞，0]上为增函数．

2又f(x)是定义在R上的偶函数，

∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．

∵f(a－1)<－1＝f(1)，∴|a－1|>1，解得a>2或a<0.

故实数a的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．

6．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，其中a＞1. 11(1)比较2[f(0)＋f(1)]与f(2)的大小；

1x1＋x2(2)探索2[f(x1－1)＋f(x2－1)]≤f－1对任意x1＞0，x2＞0恒成立．

211解析：(1)∵2[f(0)＋f(1)]＝2(loga1＋loga2)＝loga2，

331又∵f 2＝loga2，且2＞2，由a＞1知函数y＝logax为增函数，所以loga2＜3loga2. 11即2[f(0)＋f(1)]＜f 2. (2)由(1)知，当x1＝1，x2＝2时，不等式成立．

接下来探索不等号左右两边的关系：

12[f (x1－1)＋f(x2－1)]＝logax1x2，

x1＋x2x1＋x2f－1＝loga2，

2因为x1＞0，x2＞0，

x1＋x2x1－x22所以2－x1x2＝≥0，

2x1＋x2即2≥

x1x2. 又a＞1，

x1＋x2所以loga2≥logax1x2，

1x1＋x2即2[f(x1－1)＋f(x2－1)]≤f －1. 2综上可知，不等式对任意x1＞0，x2＞0恒成立．