小结教学设计第二课时

必修一：函数的最大（小）值（教学设计）

教学目的：

（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；

（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．

教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．

教学过程：

一．复习回顾，新课引入

1、用定义证明函数的单调性：

取

值

→

作

差

→

变

形

→

定

号

→

下结论

2、画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：

1

说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；

○2

指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

○（1）f(x)2x3 （2）f(x)x22x1

x[2,2]

二、师生互动，新课讲解：

（一）函数最大（小）值定义

1．最大值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．

思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义． 设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)M．

那么，我们称M是函数yf(x)的最小值(minimum value)．

注意：○1

函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；

2

函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

○2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

（1）

利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值（2）利用图象求函数的最大（小）值

（3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值

1）如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

2）如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

（二）典型例题：例1．（课本P30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．

解一：（顶点法）；

2解二：（配方法）y=-4.9（x-1.5）+29.025 说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．

变式训练1：如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y，试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？

21

例2：（课本P31例4）求函数y分析：函数单调性求最值。

变式训练2：求函数y=2在区间[2，6]上的最大值和最小值．

x11在区间[2,6]上的最大值和最小值。

x1例3观察下图，用函数的单调性研究以下问题：

(1) 若函数yf(x)的定义域为xb,e，求最大值和最小值；

(2) 若函数yf(x)的定义域为xa,e，求最大值和最小值；

(3) 若函数yf(x)的定义域为xb,d，求最大值和最小值；

解：(1)在定义域b,e上，函数yf(x)在区间b,c上是增函数，在区间c,d上是减函数，

在区间d,e上是增函数，且f(e)f(c)，则函数yf(x)在b,e上的最大值为f(c)，最小值为f(d)；

(2) 在定义域a,e上，函数yf(x)在区间a,c上是增函数，在区间c,d上是减函数，

在区间d,e上是增函数，且f(a)f(d)，则函数yf(x)在a,e上的最大值为f(c)，最小值为f(a)；

(3) 在定义域b,d上，函数yf(x)在区间b,c上是增函数，在区间c,d上是减函数，

由于函数在xd处没有定义，则函数yf(x)在b,d上的最大值为f(c)，没有最小值．

思考：为什么要讨论f(e)f(c)？

说明：从本例中可以看出，在求函数的最值时，除了注意单调区间的变化之外，还要注意定义域的区间端点的函数值． 变式训练3：根据函数图象研究函数y=x-2x-1在下列区间上的最值：

（1）[-2，0]；（2）[-2，2]；（3）[0，2]；（3）[0，3]；（4）[2，4] 三、课堂小结，巩固反思：

函数的最大（小）值是一个函数在一段区间或者整个定义域上的整体性质．一个函数可能存在最大值也可能不

2 2

存在最大值，最大值具有唯一性．对于最小值也一样．

我们经常利用函数的单调性求函数的最大（小）值．

四、布置作业：

A组：

1、（课本P39习题1.3A组NO：5）

2、求下列函数的最值：

222(1)y= -x-4x+5； (2)y= -x-4x+5 ，x[-4,-3]； (3) y= -x-4x+5 ，x[-4,-1] 222（4）y= -x-4x+5 ，x[-3,-1]；（5）y= -x-4x+5 ，x[-1,3]；(6) y= -x-4x+5 ，x[0,4]

B组：

1、（课本P39习题1.3B组NO：1）

2、（课本P39习题1.3B组NO：2）

C组：

例2．旅

馆

定

价

一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：

房价（元）

160 140 120 100 住房率(%) 55 65 75 85 欲使每天的的营业额最高，应如何定价？

解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．

设y为旅馆一天的客房总收入，x为与房价160相比降低的房价，因此当房价为(160x)元时，住房率为(55x10)%，于是得

20x10)%．

20y=150·(160x)·(55由于(55x10)%≤1，可知0≤x≤90．

20因此问题转化为：当0≤x≤90时，求y的最大值的问题．

2将y的两边同除以一个常数0.75，得y1=－x＋50x＋17600．

由于二次函数y1在x=25时取得最大值，可知y也在x=25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．

所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）

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