复习参考题优质课一等奖教案

§2.3幂函数

一．

教材分析

幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合检测。

二．

学情分析

学生通过对指数函数和对数函数的学习，已经初步掌握了如何去研究一类函数的方法，即由几个特殊的函数的图象，归纳出此类函数的一般的性质这一方法，为学习本节课打下了基础。

三．

教学目标

1．知识目标

（1）通过实例，了解幂函数的概念； （2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；

（3）了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。

2．能力目标

在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想。

3．情感目标

通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。

四．

教学重点

幂函数的概念和性质

五．

教学难点

画幂函数的图象引导学生概括出幂函数性质。

六．

教学用具 多媒体

七．

教学过程

（一）创设情境（多媒体投影）

问题一：下列问题中的函数各有什么特征？

（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w（kg），那么她应支付p＝w元．这里p是w的函数．

（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积为S＝a2．这里S是a的函数．

（3）如果立方体的边长为a，那么立方体的体积为V＝a3．这里V是a的函数．

1

（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长为a＝里a是S的函数．

．这（5）如果某人t（s）内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度为v＝t-1（km／s）．这里v是t的函数．

由学生讨论、总结，即可得出：p＝w，s＝a2，a＝若干次幂的形式．

问题二：这五个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？

这时，学生观察可能有些困难，老师提示，可以用x表示自变量，用y表示函数值，上述函数式变成：y＝xa的函数，其中x是自变量，a是实常数． （二）探究新知

定义：一般地，函数y＝xa叫作幂函数，其中x是自变量，a是实常数。（投影幂函数的定义。）

深化认知

1.下列函数是幂函数的是：

，v＝t-1都是自变量的（1）y3x;　(2)yx2;　(3)y2x2;　(4)yx21;

1(5)yx

2.幂函数与指数函数有什么联系和区别？

带领学生共同思考

头脑风暴，进一步理解幂函数与指数函数之间的关系

引导：有了幂函数的概念后，我们接下来做什么？―――研究幂函数的性质。

通过什么方式来研究？――――――画函数的图象。

为使作图高效，我们可先做点什么―――分析函数的定义域、奇偶性。

（三）问题探究

1. 对于幂函数y＝xa，讨论当a＝1，2，3，填表

，－1时的函数性质．

2

2. 在同一坐标系中，画出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝归纳出它们具有的共同性质．

学生回答，老师点评：幂函数的性质．

（1）函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的图像都过点（1，1）；

，y＝x-1的图像，并（2）函数y＝x，，y＝x3，y＝x-1是奇函数，函数y＝x2是偶函数; （3）在（0，＋∞）上, 函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝y＝x-1是减函数；

（４）在第一象限内，函数y＝x-1图像向上与y轴无限接近；向右与x轴无限接近。

设计意图：引导学生类比前面研究一般的函数、指数函数、对数函数等过程中的思想方法研究幂函数；让学生通过观察上述图象，自己尝试归纳五个幂函数的基本性质，然后完成表格；进而归纳幂函数的性质。

（四）迁移应用

例1、已知幂函数yf(x)的图像过点(2,2),

试求出这个函数的解析式.

例2、

比较下列各组中两个值的大小：

（1）5.20.8

与

5.30.8

3 是增函数，函数

（2）0.20.3

与

0.30.3

（3）

例题的设计意图：

例题1让学生进一步理解幂函数的定义，例题2复习利用指数函数的图象与性质来比较大小的同时学会用幂函数的方法来比较大小，体会一题多解. 例题3巩固幂函数单调性的证明步骤

（五）归纳小结

本节课的重点是幂函数的概念及性质

难点在于幂函数的性质

①所有幂函数的图象都通过点(1,1); ②当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数. ③如果α>0,则幂函数

在(0,+∞)上为增函数; 如果α<0,则幂函数

在(0,+∞)上为减函数。

（七）布置作业：

课本

第８７页

2、3题

选做题：P82复习题A组第10题。

附：板书设计

§2.3幂函数

一、幂函数定义

二、幂函数的性质

三、运用

例子：

应用：练习

-2-2 2.55与2.75

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