习题1.2第二课时教案

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专题一

函数及其性质与幂指对函数

开篇语

函数是高中数学主要内容之一，也是高考每年必考的重要内容之一，在历年高考中，就模块一单一的内容来讲主要围绕函数的定义、最大值、最小值、函数图象性质、反函数求法和性质、指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质、函数解析式与抽象函数、函数的零点等知识进行考查。此外函数经常与数列、不等式、导数结合构成重要知识网络交汇，以此考查学生数学综合能力，本讲主要围绕模块一的知识选对相关问题进行分析研究，以求帮助同学们落实双基，逐步提高相关的做题能力。

第1讲

函数的概念

第一部分

知识点梳理

1、函数的定义

函数：设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应关系f，使_对于集合A中的任意一个数X在集合B中有唯一确定的数f(x)和它对应_______________，那么就称______f__为从集合A到集合B的一个函数，记作________，________其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做__函数的定义域______；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)xA叫做___值域_____。

2、函数的三要素：__定义域A______、__对应法则F______和______值域__为函数的三要素。

3、求函数的定义域

（1）当函数是以解析式形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值集合；

①负数不能为偶次方根；

②分母不能为零；

③函数本身的要求；

④有限个函数的四则运算得到的新函数，它的定义域是这有限个函数的定义域的交集。

（2）当函数是以实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义。

4、求函数的解析式的常用方法

由具体的实际问题建立函数关系求解析式，一般是通过研究自变量、函数及其他量之间的等量关系，将函数用自变量和其他量的关系表示出，但不要忘记确定自变量的取值范围。

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求函数解析式的常用方法有：

（1）由实际问题建立函数关系式。

（2）待定系数法，适用于特征已明确的函数。

（3）换元法，已知fg(x)h(x)，求f(x)，设g(x)t可解出x代入h(x)。

（4）构造方程法。

（5）代入法，复合函数解析式常用此法。

5、分段函数

当自变量x在不同的取值区间（范围）内取值时，函数的对应法则也不同的函数为分段函数。

第二部分

金题精讲

一、求函数的定义域

典例1 求下列函数的定义域

3x4x8（1）y2；（2）y

2x3x23x2

总结与启迪：求函数的定义域一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间表示

变式题1 函数yx(x1)x的定义域为（

）

A.xx0

B.xx1

C.xx10

D.x0x1

二、求复合函数的定义域

典例2 设yf(x)的定义域是0,2，求下列函数的定义域。

（1）f(x3)；

总结与启迪：根据“若f(x)的定义域为a,b，则fg(x)的定义域为ag(x)b的解集”来解相应的不等式（或不等式组）。

变式题2 已知f(x1)的定义域为0,3，求f(x)的定义域。

三、求函数的值域

典例3 求下列函数的值域

（图像的作用，图像的复合、叠加、移动）

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x2（1）y3x1,x,1；

（2）yx1；

（3）yxx1；

（4）y2；

x12

总结与启迪：利用熟知的基本函数的值域，通过对表达于简单的变形和观察求出函数的值域。

变式题3 求函数y54xx2的值域

四、函数图象的应用

典例4 若xR,f(x)是y2x2,yx这两个函数的较小者，则f(x)的最大值为（

）

A.

2

B.

1

C.

-1

D.无最大值

总结与启迪：函数图象可以形象地反映函数的性质，通过观察图象可以确定图象的变化趋势、对称性、分布情况等，应用函数图象解题体现了数形结合的思想方法。

变式题4 下图所表示的解析式为（

）

3x1,(0x2)

233B.yx1,(0x2)

223C.yx1,(0x2)

2A.yy32OD.y1x1,(0x2)

五、求函数的解析式

典例5 求函数的解析式

已知f(x1)x2x，求f(x)。

12x

总结与启迪：换元法（或配凑法）是求函数解析式的重要方法，若不清楚函数类型，比如已知fg(x)的解析式，求f(x)的解析式，可采用配凑法或换元法，配凑法是将fg(x)的右端的代数式配凑成关于g(x)的形式，进而求出f(x)的解析

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式；换元法可今g(x)t，解出x，即用t表示x，然后代入fg(x)中即可求得f(t)，从而求得f(x)。

变式题5 已知f(x2)x23x1，求f(x)。

六、分段函数求值域

n13(n2000,nN)典例8 设定义在正整数集上的函数f(x)满足f(n)，ff(n18)(n2000,nN)试求f(2009)的值。

总结与启迪：求分段函数的函数值要注意自变量所在的范围及其对应的解析式，有时需要反复利用对应关系才能求出函数值。

变式题8 已知f(n)n3(n10)ff(n5)(n10)且nN，则f(5)的值是（

）

A.

7

B.

8

C.

9

D.10

七、分段函数的图象

x2(1x1)典例9 已知f(x)

1(x1或x1)（1）画出f(x)的图象；

（2）求f(x)的定义域和值域；

总结与启迪：研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原则，尤其是在作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，再将它们连在一起得到整个函数的图象。

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变式题9 求下列函数的图象及值域：

1(0x1)（1）f(x)

（2）yx1x2

xx(x1)

课后自测

1、（1）若f(x)的定义域为0，3，求f(x1)的定义域。



（2）若f(x1)的定义域为3，3，求f(x)的定义域。

2、求下列函数的解析式

（1）已知f(x)x21x11，求f(x)。

x2（2）已知f(x)是二次函数，且满足f(0)1，f(x1)f(x)2x，求f(x)的解析式。

第2讲

函数的基本性质

第一部分

知识点梳理

1、函数的单调性：

函数单调性的定义：设函数f(x)的定义域I，如果x1,x2I

（1）若当x1x2时，都有_________，则称f(x)在这个区间上是_____函数；

（2）若当x1x2时，都有_________，则称f(x)在这个区间上是_____函数；

函数单调区间：

若函数yf(x)在某个区间是_______，则就说函数yf(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫作函数yf(x)的_________。此时也说函数f(x)是这一区间上的单调函数。

2、函数单调性的判断

（1）图象法

即先作出函数的_________，根据_________来判断。这种方法适用于图象容易作出的函数。

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（2）定义法

定义法是证明函数单调性最基本、最重要的方法，其步骤是：

第一步：取值。即设x1,x2是该区间内的任意两个值，且x1x2。

第二步：作差。准确作出差值：f(x1)f(x2)（或f(x2)f(x1)）

第三步：变形。通过因式分解、配方、分子（分母）有理化等方法，有利于判断差的符号的方向。

第四步：定号。确定f(x1)f(x2)（或f(x2)f(x1)）的符号，当符号直接确定时，可以进行分类讨论、等价转化，然后作差、作商等思路进行。

第五步：判断。根据定义作出判断。

（3）直接法

运用已知的结论，直接得到函数的单调性。如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出。

了解以下一些结论，对于直接判断函数的单调性有好处：

①函数yf(x)与函数yf(x)的单调性相反。

②函数f(x)与f(x)c（c为常数）具有相同的单调性。

③当c0时，函数f(x)与cf(x)具有相同的单调性；当c0时，它们具有相反的单调性；

④若f(x)0，则函数f(x)与1具有相反的单调性

f(x)⑤若f(x)0，则函数f(x)与f(x)具有相同的单调性

⑥对于函数f(x)g(x)可以总结为：增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减。

⑦当函数f(x)与g(x)的单调性相同时，复合函数yfg(x)是增函数；

当函数f(x)与g(x)的单调性相异时，复合函数yfg(x)是减函数；

简称为口诀“同增异减”

3、函数的最值

设函数yf(x)的定义域I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意xI___y<=M_____；

（2）存在_x属于I__，使y=M_________ （1）对于任意xI，都有_________；

（2）存在_________，使_________

4、函数的奇偶性

（1）函数奇偶性的定义：对于函数f(x),其定义域D关于原点对称：

如果xD，恒有________________，那么函数f(x)为奇函数。

- 6 - ，都有M是函数yf(x)的最大值

M是函数yf(x)的最小值

特别地，如果f(x)的定义域包含0，则f(0)0。

如果xD，恒有________________，那么函数f(x)为偶函数。

（2）奇偶函数的图象特征：

函数f(x)是奇函数yf(x)的象关于__________对称；

函数f(x)是偶函数yf(x)的象关于__________对称；

5、函数的周期性：

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有________________，那么函数f(x)就叫周期函数，T是周期。

第二部分

金题精讲

一、判断或证明函数的单调性

典例1 证明函数yx在0,3上递减。

总结与启迪：函数的单调性的判断或证明是最基本的题型，最基本的方法是定义法，整个过程可分为五个步骤，简记为“取值－作差－变形－定号－判断”。

变式题1 证明函数f(x)x31在,上是减函数。

二、求函数的单调区间

典例2 求函数f(x)294x2的单调区间。

变式题2 求下列函数的单调区间：

yx22x

9x

三、利用单调性求参数的取值范围

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典例3 已知f(x)是定义在1,1上的增函数，且f(x2)f(1x)，求x的取值范围。

总结与启迪：（1）解决这类与抽象函数有关变量的取值范围问题，关键在于将不等式两边化成函数值的形式，然后利用函数的单调性“脱去”函数记号，从而转化为熟悉的不等式。（2）注意考虑函数f(x)的定义域，即x2,1x必须在定义域内。

变式题3 已知函数f(x)x22(a1)x2在区间,4上是减函数，求实数a的取值范围。

四、由函数图象求最值。

x2x(0x2)典例4 已知函数f(x)，求f(x)的最大值、最小值。

2x1

总结与启迪：分段函数的最大值为各段上最大值中的最大者，最小值为各段上最小者，故求分段函数的最大值或最小值，就先求各段上的最值，再比较即得函数的最大、最小值。当易作出分段函数的图象时，可观察的最高点与最低点，并求其纵坐标即得函数的最大值与最小值。

变式题4 试求函数yx1(x2)2的最值。

五、由函数的单调性求最值

典例5 求下列函数的最大值和最小值

（1）y432xx2；

（2）yx12x；

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总结与启迪：（1）若函数在闭区间a,b上是减函数，则f(x)在a,b上的最大值为f(a)，最小值为f(b)。（2）若函数在闭区间a,b上是增函数，则f(x)在a,b上的最大值为f(b)，最小值为f(a)。

变式题5 求函数f(x)x在x1,2上的最值。

六、求二次函数的最值

典例6 求二次函数f(x)x22x3在下列区间上的最小值。

（1）3,0 （2）1,2

总结与启迪：求二次函数f(x)在某区间m,n上的最值的关键是判断函数图象的对称轴与区间m,n的位置关系。

变式题6 求函数f(x)x24x3在3,4上的最值。

七、判断函数的奇偶性

1x2典例7 试确定函数f(x)的奇偶性。

x224x

总结与启迪：（1）定义是判断或讨论函数奇偶性的依据。（2）定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称，换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数是非奇非偶函数。例如，函数yx2在区间,上是偶函数，但在区间1,2上却是非奇非偶函数。

变式题7 判断下列函数的奇偶性

2x22x（1）f(x)xx； （2）f(x)；

x135

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（3）f(x)1x2x21 （4）f(x)5

八、判断分段函数的奇偶性

典例8 判断下列函数的奇偶性

2x2x3,x0f(x)2

x2x3,x0

总结与启迪：对于分段函数的奇偶性的判断，要特别注意与x所满足对应关系。

2x10x21,x5,2变式题8 判断函数f(x)2的奇偶性。

x10x21,x2,5

九、抽象函数奇偶性的证明

典例9 已知函数f(x)在11，上有定义，当且仅当0x1时，f(x)0，且对任意xy).试证明：

x,y1,1都有f(x)f(y)f(1xy（1）f(x)为奇函数；

（2）f(x)在11，上单调递减。

总结与启迪：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力。对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得。

变式题9 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a,bR都满足f(ab)af(b)bf(a).

（1）求f(0)，f(1)的值；

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（2）证明f(x)为奇函数。

十、利用函数的奇偶性求函数解析式

典例10 f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，求函数f(x)的解析式。

总结与启迪：解答该类问题的思路是：

（1）“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内。

（2）要利用已知区间的解析式进行代入。

（3）利用函数f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x)。

注意，若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数时，则必有f(x)0，但若为偶函数，未必f(0)0。

f(x)x(1x)，变式题10 已知f(x)是R上的奇函数，当x,时，求函数f(x)的解析式。

十一、函数的奇偶性与单调性的综合应用

典例11 定义在2,2上的偶函数f(x)，当x0时单调递减，设f(1x)f(m)，求m的取值范围。

总结与启迪：本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式（组）。解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的不等式”。

变式题11 设f(x)在R上是偶函数，在区间,0上递增，且有f(2a2a1)f(2a22a3)，求a的取值范围。

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第3讲

基本初等函数（上）

第一部分

知识点梳理

1、整数指数幂的运算法则

同底数幂相乘：底同底数幂相乘：底幂的乘方：底数积的乘方，各因数不变，指数相加

数不变，指数相加

不变，指数相乘

子乘方的积

amanamn

amanamn

mn,a0

1a0

anamnamn abmambn

规定：a01a0；an2、n次方根的概念及性质

（1）①如果一个数的的平方等于a，那么这个数叫做a平方根. ②如果一个数的的立方等于a，那么这个数叫做a立方根. ③一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根（n1且nN*）. （2）①正数的奇次方根是一个负数；负数的奇次方根是一个负数. ②正数的偶次方根有两，这两个数互为相反数；

（3）0的任何次方根都是0. 3、根式的定义及性质

（1）根式的概念: 式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。

（2）根式的性质

①n00nN*,且n1；

②naanN*,且n1；

n ③nana（a为大于1的奇数）；

aa0 ④aa（n为大于1的偶数）

aa0nn4、分数指数幂的意义

分正分数指数幂

规定：mannama0,m,nN*,且n1

数m11naa0,m,nN*,且n1

规定：==m指负分数指数幂

nm数幂

性质

ana0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

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5、有理数指数幂的运算性质

r（1）arasars；

（2）arars；

（3）abarbr

s6、指数函数的定义

函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中x为自变量，函数的定义域为R. 7、指数函数的图象和性质

图

象

-4-2a>1 650

R -4-20-1246

定义域

值域

性

质

过定点

函数值的变化

单调性

奇偶性

（0，+∞）

过定点（0，1），即x0时，y1

当x0时，y1；

当x0时，0y1

在 R上是增函数

当x0时，0y1；

当x0时，y1

在R上是减函数

非奇非偶函数

8、指数型函数的单调性

当a1时，函数yafx与函数fx在相应区间上的单调性相同；当0a1时，函数yafx与函数fx在相应区间上的单调性相反。具体可用下表表示：

ufx

yau

yafx

增

增

减

减

增a1

减0a1

增a1

减0a1

一般规律：“同增异减”，即ufx与yau单调性相同时，复合函数yafx为增函数；单调性不同时，复合函数yafx为减函数。

第二部分

金题精讲

一、根式的化简与运算

典例1 计算：①63330.125；②ab5ba

- 13 - 143825

总结与启迪：（1）求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个。

（2）根据运算中，经常会遇到开方与乘方并存情况，应注意两者运算顺序是否可换，如对nan仅当a0时，恒有nan(na)n，若a0，则不一定。

（3）根式的性质，当n为奇数时，nana，当n为偶数时，nana变式题1 化简3a341a的结果是（ ）

A.1 B.2a1 C.1或2a1 D.0

二、条件根式的化简

典例2 设3x3，化简x22x1x26x9.

总结与启迪：为使开偶次方后不出现符号错误，第一步先用绝对值表示开方的结果，第二步再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论。

变式题2 若代数式2x12x有意义，化简4x24x124x2

三、有根式的代数式求值

典例3 已知x，y，求

总结与启迪：本题主要考查根式的化简求值。若直接代入式子求解较繁，故应先化简变形，创造条件简化运算。

变式题3 已知a,b是方程x26x40的两根，且ab0，求

- 14 - 4a(a0)

a(a0)1223xyxyxyxy的值. ab的值. ab

四、根式与分数指数幂的互化

典例4 将下列根式化成分数指数幂的形式：

⑴aaa0；

⑵31xx5224bx0；

⑶2323b0.

总结与启迪：此类问题应熟练应用anama0,m,nN*,且n1。当所求根式含有很多重根号时，要搞清楚被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简。

变式题4 将下列根式化成分数指数幂的形式a0：

11369639⑴；

⑵aa. aa44mn

五、分数指数幂的运算与化简

典例5

化简:831022392105

总结与启迪：根式与指数运算混合时，将根式化为分数指数幂表示运算较为方便。原式有根式时，最后结果一般应化为根式。

变式题5 计算下列各式：

⑴.32512545;

⑵.

六、条件因式的化简与求值

典例6 已知aa2a0.求：⑴aa1；⑵a2a2.

- 15 - 1212aa3a2a0.

总结与启迪：方法一注重了已知条件与所求问题之间的内在联系，运用整体思想解决问题，简化了运算过程。方法二较直接，要求代数式的值需求a的值，故由已知等式可求得，使问题迎刃而解。

b3变式题6 当a0.001时，求2212a的值. a323ab4b3a8ab4313

七、指数幂运算的综合应用

典例7 计算下列各式

33⑴8230.002121052123. 250113343⑵630.06250.064482.50

b3⑶2212a3334b2abaa8ab43133aa0,b0.

总结与启迪：在引入分数指数幂概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩展，在进行有理数指数幂的运算时，一般思路是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，灵活运用指数幂的运算性质。同时要注意运用整体的观点、方程的观点处理问题，或利用已知的公式、换元等

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简化运算过程。

变式题7 ⑴化简：3xy2xy1

⑵计算：2

八、指数函数概念的应用

典例8 形如①y3；②y2x1；③yax；④y1x函数吗？

y2a1a,且a1；⑤y25的式子是指数2xx2xyxy1xyx0,y0；

0112412210158

23

总结与启迪：在指数函数的定义表达式yax(a0,且a1)中，ax前的系数必须是1，自变量x在指数的位置上，否则不是指数函数。

变式题8 若函数ya23a3ax是指数函数，则a的值为________.

九、指数函数的图象问题

典例9 如图所示是指数函数①yax;②ybx;③ybx;④ybx的图像,则a,b,c,d的大小关系是（ ） ② ③

A.ab1cd B.ba1dc C.1abcd D.ab1dc

总结与启迪：当指数函数底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象向上越靠近于y轴，当底数大于0且小于1时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近

- 17 - ①

④

于x轴。简称当x0时，底大图高。

变式题9 已知1nm0，则指数函数①ymx，②ynx的图像为（ ）

y①

②

y②

①

①

y②

②

y①

xxABxCxD十、利用指数函数的性质比较大小

典例十

比较下列每组中两个数的大小：

①1.82.5，1.83；②0.70.1，0.70.2；③1.60.3，0.93.1

总结与启迪：一般地，对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数的函数图象的变化规律来判断；对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可通过中间值来判断；幂的大小即为对应函数的函数值，故可考虑利用数形结合去判断。

1x0.2变式题10 若0x1，则2，，之间的大小关系是（ ）

2xx11xxA.2x0.2x B. 20.2

2211xxxxC. D. 0.220.22 22xxxx

十一、解指数不等式

典例11 设0a1，解关于x的不等式a2x3x2a2x2x3.

- 18 - 22

总结与启迪：解指数不等式问题，需注意三点：

（1）形如axay的不等式，借助yax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1或0a1两种情况讨论；

（2）形如axb的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解；

（3）形如axbx的形式，利用图象求解。

变式题11 如果ax5xax10（其中a0，a1），求x的取值范围.

十二、指数型函数的定义域与值域：

典例12 求下列函数的定义域与值域：

1⑴y2； ⑵y21x22x22x8

总结与启迪：（1）定义域和对应关系确定值域，因此定义域和值域是密切联系的，要求值域，先看定义域。

（2）复合函数问题可以通过换元法，化繁为简，解决问题，当我们综合解决问题的能力提高了以后，也可以不用换元法，直接将问题解决。

变式题12 求下列函数的定义域和值域：

2⑴y3x1； ⑵y33x.

十三、指数型函数的图象变换问题

典例13 利用函数fx2x的图象，作出下列函数的图象. ⑴fx1； ⑵fx； ⑶fx1； ⑷fx； ⑸fx1； ⑹fx

- 19 -

总结与启迪：（1）yf(xa)的图象可由yf(x)的图象平移得到：当a0时，左移a个单位，当a0时，右移a个单位，yaxk（k0,a0且a1）的图象是由函数yax的图象经过向左（k0）、向右（k0）平移产生的。

（2）yf(x)a的图象可由yf(x)的图象平移得到：a0时，上移a个单位，a0时，下移a个单位，如yaxk（k0,a0且a1）的图象是yax的图象经过向上（k0）、向下（k0）平移产生的。

（3）yax与yax（a0且a1）的图象关于y轴对称。

1变式题13 已知函数y2x2. ⑴作出图象；

⑵有图象指出单调区间；

⑶有图像指出，当x取什么值时有函数最值.

十四、指数型函数的单调性

典例14 讨论fxax6x17的单调性.

总结与启迪：求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成yf(u),u(x)，通过考查f(u)和(x)的单调性，求出yf((x))的单调性。

变式题14 求出下列函数的单调区间. ⑴yax

- 20 - 223x2a1； ⑵y2x22x3.

十五、指数型函数的奇偶性的确定

典例15 已知函数fx⑴求fx的定义域；

⑵讨论fx的奇偶性；

⑶试说明fx0.

总结与启迪：对一些比较复杂的函数进行奇偶性的判断，通常需要先化简再判断，在第（3）问中，由定义域的形式，自然想到分两种情况说明。

ax1变式题15 当a1时，试讨论函数fxx的奇偶性. a1113x. x212

第3讲

基本初等函数（下）

第一部分

知识点梳理

1、对数的概念

对数的定义，如果axN，则x叫做___________，记作x_________，a叫做对数的底数，N叫做真数。

2、两种重要对数

（1）以10为底的对数叫做___________，并把log10N简记为___________。

（2）以无理数e2.71828…为底的对数，叫做_______并把logeN简记为______ 3、对数与指数之间的关系

当a0,a1时，axNxlogaN。

4、对数的基本性质

（1）___________和___________没有对数；

（2）loga1______(a0且a1)

（3）logaa______(a0且a1)。

- 21 -

5、对数的恒等式

将axN中的x用替换即得alogaN=________（a0且a1,N0）

6、对数的运算性质

如果a0,且a1,M0,N0，那么

（1）loga(MN)_______(b1)；

（2）logMaN______(b1)；

（3）logaMn________.

7、换底公式

logcbabloglog（其中a0且a1,c0且c1,b0）的相关推论：

ca（1）logablogba___________（b1）；

（2）logablogbclogca___________（b1）；

（3）loganbm___________；

（4）log1b___________；

a（5）loganbn__________；

8、对数的概念

函数___________叫做对数函数，其中___________是自变量。

9、对数函数的图象与性质。

定义

ylogax(a0且a1)

底数

a1

0a1

-4-2图

0011-1象

定义域

值域

性

过定点

图象过定点_________，即loga10. 质

单调性

在 R上是增函数

在R上是减函数

奇偶性

非奇非偶函数

数函数与对数函数的关系。

- 22 - 、指

10

对数函数ylogax(a0且a1)与指数函数yax(a0且a1)互为_________。因此，对数函数的定义域就是指数函数的_________，即为_________；对数函数的值域就是指数函数的_________，即为_________。

11、反函数的性质

（1）互为反函数的两函数的图象关于_________对称。

（2）若点（m,n）在原函数的图象上，则点_________必在其反函数的图象上。

（3）原函数与其反函数的图象的交点必在直线_________上。

12、幂函数：

（1）幂函数的定义：形如_________（R,是常数，x是自变量）的函数叫做幂函数，其特征是以幂的底为自变量，指数为常数。其定义域随着常数取值的不同而不同。

（2）幂函数的图象都过定点_________；

1（3）在幂函数中我们主要讨论1、2、3、、1时的幂函数。

2在幂函数yx,yx,yx,yx,yx1中，为奇函数的是_________；为偶函数的是_________。定义域是R的是_________；定义域是(0,)的是_________。第一象限内是增函数的是_________；在第一象限内是减函数的是_________。

第二部分

金题精讲

一、由对数的概念求参数的取值范围

典例1 求下列各式中x的取值范围。

（1）log(2x1)(x2)；

（2）log(x1)(3x8)。

22312

总结与启迪：求解此类式子中参数的范围时，应根据对数中对底数和真数的要求列出不等式组求解。

变式题1 求使式子log(x1)(x21)有意义的x的取值范围。

二、对数的运算

- 23 -

典例2 计算：

（1）lg25lg8lg5lg20(lg2)2；

（2）2lg2lg3。

111lg0.36lg82323

总结与启迪：利用对数的运算性质解决问题的一般思路：把复杂的真数化简。

变式题2 计算：log2

三、换底公式的应用

典例3 计算：(log2125log425log85)(log52log254log1258)

总结与启迪：方法一是先在两个括号内分别换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数（当然也可以换成其他非1的正数为底），然后再化简。上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法。

变式题3 计算log2111log3log5

258971log212log242。

482

四、有条件的对数式的计算

典例4 （1）已知log52a，求2log510log50.5的值；

（2）已知lgxlgy2lg(x2y)，求log2x的值。

y

总结与启迪：求条件对数式的值，可从条件入手，从条件中分化出要求值的对

- 24 -

数式，进行求值；也可以从结论入手，转化成能使用条件的形式；还可同时化简条件和结论，直至它们之间的联系。

五、求与对数函数有关的定义域

典例5 求下列函数的定义域：

（1）ylog(x1)(x22x3)；

（2）y1(a0,a1)

1loga(xa)

总结与启迪：求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数的定义域的方法外，还要对这种函数的自身有如下要求：1、要特别注意真数大于零；2、要注意对数的底数。

3x2变式题5 函数f(x)lg(3x1)的定义域是（

）

1xA.(,)

B.(,)

C.(,1)

D.(,)

六、比较对数值的大小

典例6 比较下列各数的大小

（1）log0.52.7与log0.52.8；

（2）log25与log75；

（3）log35与log64。

总结与启迪：利用函数的单调性可进行对数的大小的比较，常用的方法有：

1、若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接判断；

2、若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论；

3、若底数不同，真数相同，则可用换底公式化为同底，再进行比较；

4、若底数、真数都不同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较。

变式题6 比较log20.3与log34的大小。

七、对数函数相关的值域

典例7 求下列函数的最大、小值。

- 25 - 1311331313

（1）ylog3(2x1)

x2,14；

（2）ylog1(1x)log1(x3)。

22

总结与启迪：首先求函数的定义域，然后用对数运算性质变形，并由对数函数的性质去求函数的最大、小值。

变式题7 函数ylog1(x22x4)的值域为____________。

5

八、利用对数函数图象作出函数图象

典例8 作出函数ylog2(x1)2的图象。

总结与启迪：（1）一般地，函数yf(xa)b（a,b为实数）的图象是由函数yf(x)的图象沿x轴向右（a0）或向左（a0）平移a个单位（此时为f(xa)的图象），再沿y轴向上（b0）或向下（b0）平移b个单位而得到。

含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地，yf(xa)的图象是关于直线xa对称的轴对称图形；函数yf(x)的图象与yf(x)的图象，在f(x)0时相同，而在f(x)0时，关于x轴对称。

（2）画ylogax的图象应抓住三个点(a,1),(1,0),(,1)。

变式题8 画出函数ylog1x的图象，求使log1x1成立的x的取值范围。

221a

九、由函数的单调性解对数不等式

典例9 已知loga1，求a的取值范围。

总结与启迪：（1）解对数不等式问题通常转化为一般不等式（组）求解；

（2）解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则。

（3）若含有字母，应考虑分类讨论。

- 26 - 12

变式题9 已知log0.72xlog0.7(x1)，求x的取值范围。

十、利用幂函数性质比较大小

典例10 比较下列各组数的大小：

1722283（1）3和3.1；

（2）8和()；

（3）()和()3

936525278（4）4.1，3.8和(1.9)

总结与启迪：比较两个或多个数值的大小。若所给的数值不能转化为比较同一函数的不同函数值的大小问题，可以找出中间量来作为桥梁间接地进行比较，确定出它们的大小关系，一般情况下是根据具体情况选择常数“1”、“-1”或“0”这些数作为中间量来进行比较。

变式题10 比较下列各组数中两个数的大小；

20.510.5213123324（1）()与()；

（2）()与()；

（3）()与()3。

333534252335

第4讲

函数与基本方程

第一部分

知识点梳理

1、函数的零点：

- 27 -

对于函数yf(x)使方程_________的实数x叫做函数yf(x)的零点（其实反应的就是函数值为0时，x就是函数的零点）。

2、函数零点的性质：

方程f(x)0有实数根___________________________；

___________________________；

如果函数yf(x)在区间a,b上图象是连续不断的一条曲线，并且有

f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间a,b内有零点，即存在ca,b使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根。

第二部分

金题精讲

一、求函数的零点

典例1 指出下列函数的零点；

①f(x)4x3；②f(x)x23x2；③f(x)x41。

总结与启迪：求函数的零点的方法：

（1）代数法：函数零点就是相应方程的实数根，可用求根公式或分解因式分解。

（2）几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)0，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点。

变式题1 求下列函数的零点。

（1）f(x)2x1；（2）f(x)lg(x21)8；（3）f(x)ex14。

二、判断函数零点的个数

典例2 求函数f(x)2xlg(x1)2的零点个数。

总结与启迪：判断函数的零点的个数的方法主要有：

（1）对于一般函数的零点个数的判断问题，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数。

()hx()（2）由f(x)g(x)h(x)0，得gx，在同一坐标系中作出y1g(x)和y2h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数。

变式题2 求函数f(x)lnxx23的零点个数。

- 28 -

三、已知函数零点的个数求参数的取值范围。

典例3 若函数f(x)ax2x1仅有一个零点，求实数a的取值范围。

总结与启迪：根据零点的个数求形如yax2bxc的函数中参数的取值范围时，要分a0和a0两种情况讨论。

变式题3 已知函数f(x)x22(m1)(m27)有两个零点，求m的取值范围。

四、一元二次方程根的分布

典例4 已知关于x的一元二次方程x22mx2m10，若方程有两个根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m取值范围。

总结与启迪：本类题目重在考查方程根（或函数零点）的分布，解此类问题可设出方程对应的函数，画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制，要注意以下四点：（1）判别式；（2）对称轴；（3）所给区间端点的函数值；（4）图象开口方向。

变式题4 关于x的方程mx22(m3)x2m140有两个实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围。

章末自测

12x4xa1、设函数f(x)lg，且当x,1时，f(x)有意义，求实数a的取值范3围。

- 29 -

2、设函数f(x)为奇函数，且对任意x,yR都有f(x)f(y)f(xy)，当x0时，f(x)0，f(1)5，求f(x)在区间2,2上的最大值。

3、已知函数f(x)logxa(a1)(a0且a1)

（1）求f(x)的定义域；

（2）讨论函数f(x)的单调性。

4、已知函数f(x)x24xa3，g(x)mx52m。

（1）若yf(x)在区间11，上存在零点，求实数a的取值范围；

（2）当a0时，若对任意的x11,4，总存在x21,4，使f(x1)g(x2)成立，求实数m的取值范围。

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