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第二章

基本初等函数

一、知识梳理

1.n次方根：如果xna，那么x叫做a的n次方根（n1,且nN*）

na,n2k1(kN*)

2.正数a的n次方根的性质：xna,n2k3.式子na叫根式，n叫根指数，a叫被开方数.

4．根式运算性质： nn（a）a；

① 在有意义的前提下② anna,n为奇数；|a|,n为偶数

5.正数的正分数指数幂： anam(a0,m,nN*,且n1) 6.正数的负分数指数幂： mnmna1amn(a0,m,nN*,且n1)7. 0的分数指数幂：

0的正分数指数幂为0，

0的负分数指数幂无意义

8.有理数指数幂的运算性质：

对任意的有理数r,s,有下面的运算性质

1)arasars(a0,r,sQ)2)(ar)sars(a0,r,sQ)3)(ab)rarbr(a0,b0,rQ)9．指数函数：

函数yax（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R. 10.指数函数的图像及性质

- 1 -

11．对数的定义: 如果aN（a0且a1）,那么数b就叫做以a为底的N的对数，记作logabNb,其中

N0,bR

12．指数式与对数式的互化

13．常用的两种对数：

（1）常用对数：

log10N=lgN （2）自然对数：无理数e=2.71828……logeN=lnN 14．几个常用结论：

（1）负数与零没有对数

（2）loga10 （3）logaa1 （4）alogaNN

15.对数的运算性质：

如果 a > 0，a  1，M > 0， N > 0有：

loga(MN)logaMlogaN(1)MlogalogaMlogaN(2)

NlogaMnnlogaM(nR)(3)16.对数换底公式：

- 2 -

logaNlogmN logma( 其中a > 0 ,a  1 ，m > 0 ,m  1,N>0) 推论：

①logablogba1

logablogbclogca1 ②

logambnnlogab（ a, b > 0且均不为1）

m17.对数函数：

函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数。其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）值域为R. 18.对数函数的图像及性质

19.幂函数定义：

函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数。

20．幂函数的图象与性质

图象:

绿色,蓝色,棕色,黄色,紫色分别表示:yx1,yx3,yx2,yx,yx

性质:

- 3 -

（1）幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（2）0时，幂函数的图象都通过原点，抛物线型图象，并且在[0,)上是增函数；

0时，幂函数的图象都不过原点，双曲线型图象，在区间（0，+∞）上是减函数.

二、典型例题

例1：

111－272－0(1)计算(0.027)3

－7＋29

－(2－1)；

(2)计算lg2＋lg3－lg10；

lg1.81125－2

－1＝10－49＋5－1＝－45. 【解析】(1)原式＝(0.33)3

－72＋9331118lg2＋lg9－lg10lg22101(2)原式＝＝＝. lg1.8lg1.821＋变式训练1：(1)已知10α＝2,10β＝3，求1002α3

β；

112(2）已知9a＝2b＝，求＋的值. 36ab2223－【解析】(1)原式＝104α＋103

β＝(10a)4×(10β)3

＝24×33

＝169. 112(2)对条件式等式两边各取以为底的对数得，a·log1

9＝blog1

2＝2.∴＋＝log1

3＋log1

2＝6ab6666log1

6＝－1. 6例2：函数f(x)＝1－2log6x的定义域为________．

变式训练2：若f(x)＝1，则f(x)的定义域为(

) log1

2x＋12111

A．(－，0)

B．(－，0]

C．(－，＋∞)

D．(0，＋∞) 22211【解析】依题有0＜2x＋1＜1⇒－＜x＜0⇒－＜x＜0，故应选A. 221－例3：已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e2

，则(

)

A．x＜y＜z

B．z＜x＜y

C．z＜y＜x

D．y＜z＜x

- 4 -

【解析】依题，x＝lnπ＞lne＝1，y＝log52＜log5x，选D. 1111－－5＝，1＝e0＞z＝e2

＞42

＝，于是有y＜z＜221－变式训练3：设a＝log32，b＝ln2，c＝52

，则(

)

A．a＜b＜c

B．b＜c＜a

C．c＜a＜b

D．c＜b＜a 111－【解析】∵a＝log32＝，b＝ln2＝，而3＞e且y＝log2x为增函数，所以a＜b，又c＝52

log23log2e＝1，而5＞2＝log24＞log23，∴c＜a，综上所述c＜a＜b. 51例4：当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(

) 2

A．(0，22)

B．(，1)

C．(1，2)

D．(2，2) 221【解析】)易知0＜a＜1，则函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图，则只需满足loga＞2，解得a2＞22，∴＜a＜1，故选B. 22

|lgx|，0＜x≤10，变式训练4：已知函数f(x)＝1若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc－x＋6，x＞10.2的取值范围是(

)

A.(1,10)

B．(5,6)

C．(10,12)

D．(20,24) 【解析】a，b，

c互不相等，不妨设a＜b＜c.∵f(a)＝f(b)＝f(c)，则由图可知0＜a＜1,1＜b＜10,10＜c＜12.

11∵f(a)＝f(b)，∴|lga|＝|lgb|，∴lga＝－lgb，即lga＝lg⇒a＝，∴ab＝1,10＜abc＝c＜12，故选C. bb例5：当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2

- 5 -

a>1，若0

所以，a的取值范围为{a|1

1变式训练5：已知偶函数f(x)在x∈0，＋∞)上是增函数，f()＝0，求不等式f(logax)>0(a>0，且2a≠1)的解集.

三、课堂练习

1.若12x34有意义，则的取值范围是（

（B）x

）

（A）xR

【答案】D 1

2

（C）x1

2

（D）x1

2【解析】因为12x344112x3，所以12x0即x1，故应选D. 2

(

)．

92.已知log23＝a，log25＝b，则log2等于

5A．a2－b

a2C.

b

B．2a－b

D.2a

b【答案】B 9【解析】由题可知，log2＝log29－log25＝2log23－log25＝2a－b，故选B. 5

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3.在下列关于函数的单调性判断正确的个数是（ ）

1x21①y()在(,0)上为减函数；②y22(0,)上为增函数；④y23x在R上是增函数

A．1

B．2 C．3 D．4、

x21在(0,)上为增函数；③y()x在3【答案】B

x【解析】①y()1221x与yx21的单调性相反，所以y()1221在(,0)上为增函数，①错误；②y2x与yx的单调性相同，所以y2x在(0,)上为增函数，②正确；12121x③y()与y的单调性相反，所以在y()x在(0,)上为增函数，③正确；④x33y23x与y3x的单调性相同，所以y23x在R上是减函数，④错误。选B 4.已知对数函数的图象过点M(9，2)，则此对数函数的解析式为(

) A．y＝log2x

C．B．y＝log3x

D．ylog1x

3ylog1x

2【答案】B 【解析】由题可知，设函数的解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)，将M(9，2)代入，得2＝loga9，所以a2＝9，所以a＝3，即函数的解析式为y＝log3x，故选B.

5.如图是指数函数①系为(

) yax，②ybx，③ycx，④ydx的图象，则，，，d与的大小关

ab1cd

B．ba1dc

C．1abcd D．ab1dc

【答案】B

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6.函数y＝3的定义域是(

) log2（2＋x）B．(－2，＋∞) D．(－2，－1)∪(－1，＋∞) A．R

C．(－∞，－2) 【答案】D 2＋x>0，【解析】由题可知,要使函数有意义，x的取值需满足解得x>－2，且x≠－1.log2（2＋x）≠0，故选D. 87.已知函数y＝loga(x＋3)－(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象9上，则b＝________．

【答案】-1 88【解析】由题可知,当x＋3＝1，即x＝－2时，对任意的a>0，且a≠1都有y＝loga1－＝0－＝99888－，所以函数y＝loga(x＋3)－的图象恒过定点A(－2，－)，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象9998－上，则－＝32＋b，所以b＝－1. 9a8.函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，在x∈1,2]时的最大值比最小值大，则a的值为________．

231【答案】或

22【解析】注意进行分类讨论：

(1)当a>1时，f(x)＝a为增函数，此时f(x)max＝f(2)＝a，f(x)min＝f(1)＝a，

a32x∴a－a＝，解得a＝>1.(2)当0

a1312∴a－a＝，解得a＝∈(0,1)，综上所述：a＝或. 22229. 对于函数y()2x212x26x17，(1)求函数的定义域、值域；(2)确定函数的单调性．

【答案】详见解析.

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【解析】

(1)设ux6x17，∵函数y()及ux6x17的定义域是R，

∴函数ux6x17的定义域是R.∵ux∴()()22212u226x17(x3)288，

12u128111u]．

，又∵()0，∴函数的值域为(0,2562562(2)函数ux6x17在[3,)上是增函数，在(,3]上是减函数

0112121，所以y()x6x17的单调性与ux26x17相反,所以y()x6x17在3，222＋∞)上是减函数，在（－∞，3]上是增函数. 10.已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，(a＞0，a≠1). (1)设a＝2，函数f(x)的定义域为3,63]，求f(x)的最值；

(2)求使f(x)－g(x)＞0的x的取值范围．

【答案】（1）6；（2）a＞1时，解集为{x|0＜x＜1}；0＜a＜1时解集为{x|－1

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