信息技术应用 借助信息技术方程的近似解名师教学设计1

3.1函数与方程

3.1.1 方程的根与函数的零点

教学目标

以二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，发现并掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法．让学生在探究过程中体验发现的乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生的辩证思维以及分析问题解决问题的能力．

教学重点与难点

重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法．

难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的判定方法．

教学过程

导入新课

问题1：解方程(比赛)：①6x－1＝0；②3x2＋6x－1＝0. 再比赛解3x5＋6x－1＝0. 设计意图

问题1(产生疑问，引起兴趣，引出课题) 比赛模式引入，调动积极性，可根据学分评定中进行过程性评定加分奖励，充分调动学生的积极性和主动性．

第三题学生无法解答，产生疑惑引入课题：教师介绍说一次方程、二次方程甚至三次方程、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程一般不能用公式求解，如3x5＋6x－1＝0.紧接着介绍阿贝尔(挪威)定理(五次及高于五次的代数方程没有一般的代数解法)，伽罗瓦(法国)的近世代数理论，提出早在十三世纪的中国，秦九韶等数学家就提出了高次方程数值解的解法，振奋学生的民族自豪感，最后引出人们一直在研究方程的近似解方法二分法．

问题2：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：如图1. ①方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；

②方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；

③方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3. 错误！未找到引用源。

图1 [师生互动] 师：教师引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，推广到一般的方程和函数，引出零点概念．

零点概念：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

师：填表格：

函数

函数的零点

方程的根

y＝x2－2x－3

y＝x2－2x＋1

y＝x2－2x＋3

生：经过独立思考，填完表格．

师提示：根据零点概念，提出问题，零点是点吗？零点与方程的根有何关系？

生：经过观察表格，得出第一个结论．

师再问：根据概念，函数y＝f(x)的零点与函数y＝f(x)的图象与x轴的交点有什么关系？

生：经过观察图象与x轴的交点完成解答，得出第二个结论．

师：概括总结前两个结论(请学生总结)．

(1)概念：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现，而是实数．例如函数y＝x2－2x－3的零点为x＝－1,3.

(2)函数零点的意义：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，亦即函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．

(3)方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

师：引导学生仔细体会上述结论．

再提出问题：如何根据函数零点的意义求零点？

生：可以解方程f(x)＝0而得到(代数法)；

可以利用函数y＝f(x)的图象找出零点．(几何法) 问题2：一方面让学生理解函数零点的含义，另一方面通过对比让学生再次加深对二者关系的认识，使函数图象与x轴交点的横坐标到函数零点的概念转变得更自然、更易懂．通过对比教学揭示知识点之间的密切关系．

问题3：是不是所有的二次函数都有零点？

师：仅提出问题，不须做任何提示．

生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点：看Δ. (1)Δ>0，方程ax2＋bx＋c＝0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

(2)Δ＝0，方程ax2＋bx＋c＝0有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个零点．

(3)Δ<0，方程ax2＋bx＋c＝0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

第一阶段设计意图：

本节的前半节一直以二次函数作为模本研究，此题是从特殊到一般的升华，也全面总结了二次函数的零点情况，给学生一个清晰的解题思路，进而培养学生归纳总结的能力．

1．2

零点存在性的探索

[师生互动] 师：要求学生用连续不断的几条曲线连接如图2所示的A、B两点，观察所画曲线与直线l的相交情况，由两个学生上台板书：

错误！未找到引用源。

图2 生：两个学生画出连接A、B两点的几条曲线后发现这些曲线必与直线l相交．

师：再用连续不断的几条函数曲线连接如图A、B两点，引导学生观察所画曲线与直线l的相交情况，说明连接A、B两点的函数曲线交点必在区间(a，b)内．

生：观察下面函数f(x)＝0的图象(如图3)并回答：

错误！未找到引用源。

图3 (1)区间[a，b]上________(有/无)零点；f(a)·f(b)________0(<或>)．

(2)区间[b，c]上________(有/无)零点；f(b)·f(c)________0(<或>)．

(3)区间[c，d]上________(有或无)零点；f(c)·f(d)________0(<或>)．

答案：略

师：教师引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在着一定的关系．

生：根据函数零点的意义结合函数图象，归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析，总结概括形成结论：

一般地，我们有：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

第二阶段设计意图：

教师引导学生探索归纳总结函数零点存在定理，培养学生的归纳总结能力和逻辑思维能力．

范例研究

例1已知函数f(x)＝－3x5－6x＋1有如下对应值表：

x －2

－1.5

0

F(x)

109

44.17

1

函数y＝f(x)在哪几个区间内必有零点？为什么？

设计意图

通过本例引导探索，师生互动．

探求1：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)>0时，函数在区间(a，b)内没有零点吗？

探求2：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0时，函数在区间(a，b)内有零点，但是否只一个零点？

探求3：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且函数在区间(a，b)内有零点时一定有f(a)·f(b)<0吗？

探求4：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不是一条连续不断的曲线，函数在区间(a，b)内有零点时一定有f(a)·f(b)<0吗？

师：总结两个条件：

(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；

(2)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)<0. 一个结论：函数y＝f(x)在区间[a，b]内单调则函数在这个区间内有且只有一个零点．

补充：什么时候只有一个零点？

(观察得出)函数y＝f(x)在区间[a，b]内单调时只有一个零点．

例2 求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数．问题：

(1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

(2)判断函数的单调性，由单调性你能得到该函数具有什么特性？

第三阶段设计意图：

教师引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用，应用例1，例2加深对定理的理解．

练习尝试

(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整) 1．求函数y＝x3－2x2－x＋2的零点，并画出它的大致图象．

2．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：

(1)x2－x－2＝0；(2)f(x)＝ex－4x. 3．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：

(1)f(x)＝－x3－3x＋3；(2)f(x)＝2xln(x－2)－3. [师生互动] 师：多媒体演示；结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质(特别是单调性)在确定函数零点中的重要作用．

生：建议学生使用计算器求出函数的大致区间，培养学生的估算能力，也为下一节的用二分法求方程的近似解作准备．

第四阶段设计意图：

利用练习巩固新知识，加深理解，为用二分法求方程的近似解作准备．

探索研究

(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整) 讨论：请大家给出方程x2·ex－3＝0的一个解的大约范围，看谁找的范围更小？

[师生互动] 师：把学生分成小组共同探究，给学生足够的自主学习时间，让学生充分研究，发挥其主观能动性．也1

－8

2 －107

可以让各组把这几个题做为小课题来研究，激发学生的学习潜能和热情．老师用多媒体演示，直观地演示根的存在性及根存在的区间的大小情况．

生：分组讨论，各抒己见．在探究学习中得到数学能力的提高．

第五阶段设计意图：

一是为用二分法求方程的近似解作准备，

二是小组探究合作学习，培养学生的创新能力和探究意识，本组探究题目就是为了培养学生的探究能力，此组题目具有较强的开放性，探究性，基本上可以达到上述目的．

课堂小结

零点的概念；

零点存在性的判断；

零点存在性定理的应用注意点：零点个数判断以及方程根所在区间．

作业回馈

教材习题3.1(A组)第1、2题．

思考

总结函数零点求法要注意的问题；思考可以用求函数零点的方法求方程的近似解吗？

教学程序设计框图：

分析教材设计意图，探讨教学规律；教学建议——

探索合理教学思想，提出教学建议.

↓

创设情境——结合实际问题诱发兴趣，结合二次函数引入课题．

↓

组织探究——二次函数的零点及零点存在性的探究．

↓

尝试练习——零点存在性为练习重点．

↓

探索研究——进一步探索函数零点存在性的判定．

↓

作业回馈——重点放在零点的存在性判断及零点的确定上．

↓

课外活动——研究二次函数在零点、零点范围之内及零点范围之外的函数值符号，并尝试进行系统的总结．

教学反思

本设计遵循了由浅入深、循序渐进的原则，分三步来展开这部分的内容．第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形．第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质研究方程的解，体现函数与方程的关系．第三步，在函数模型的应用过程中，通过建立函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．本节只是函数与方程的关系建立的第一步，教学中忌面面俱到，延展太深．

恰当使用信息技术：本节的教学中应恰当使用信息技术．实际上，一些内容因为涉及大数字运算、大量的数据处理、超越方程求解以及复杂的函数作图，因此如果没有信息技术的支持，教学是不容易展开的．因此，教学中会加强信息技术的使用力度，合理使用多媒体和计算器．

3.1.2用二分法求方程的近似解

教学目标

通过具体实例理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法，从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用；能借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生能够初步了解逼近思想；体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一；通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程．

教学重点与难点

教学重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．

教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．

教学过程

(一)创设情境，提出问题

问题1：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？

如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆.10 km长，大约有200多根电线杆呢．

想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？

以实际问题为背景，以学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维，形成学生再创造的欲望．注意学生解题过程中出现的问题，及时引导学生思考，从二分法查找的角度解决问题．

学情预设

学生独立思考，可能出现以下解决方法：

思路1：直接一个个电线杆去寻找．

思路2：通过先找中点，缩小范围，再找剩下的一半的中点．

老师从思路2入手，引导学生解决问题：

错误！未找到引用源。

如图，维修工人首先从中点C检查．用随身带的话机向两个端点测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD段中点E来查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，如此查下去，不用几次，就能把故障点锁定在一两根电线杆附近．

师：我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件)．

在一条线段上找某个特定点，可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的范围(即二分法思想)．

设计意图

从实际问题入手，利用计算机演示用二分法思想查找故障发生点，通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法，说明二分法原理源于现实生活，并在现实生活中广泛应用．

(二)师生探究，构建新知

问题2：假设电话线故障点大概在函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点位置，请同学们先猜想它的零点大概是什么？我们如何找出这个零点？

1．利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，通过具体的函数图象帮助学生理解闭区间上的连续函数，如果两个端点的函数值是异号的，那么函数图象就一定与x轴相交，即方程f(x)＝0在区间内至少有一个解(即上节课的函数零点存在性定理，为下面的学习提供理论基础)．引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．

2．我们已经知道，函数f(x)＝lnx＋2x－6在区间(2,3)内有零点，且f(2)<0，f(3)>0.进一步的问题是，如何找出这个零点？

合作探究：学生先按四人小组探究．(倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性) 生：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．

师：如何有效缩小根所在的区间？

生1：通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．

生2：是否也可以通过“取三等分点或四等分点”的方法逐步缩小零点所在的范围？

师：很好，一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，可以得到零点的近似值．其实“取中点”和“取三等分点或四等分点”都能实现缩小零点所在的范围．但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下，“取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便．因此，为了方便，下面通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．

a＋b引导学生分析理解求区间(a，b)的中点的方法x＝. 2合作探究：(学生2人一组互相配合，一人按计算器，一人记录过程．四人小组中的两组比较缩小零点所在范围的结果．) 步骤一：取区间(2,3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084<0. 由f(3)>0，得知f(2.5)·f(3)<0，所以零点在区间(2.5,3)内．

步骤二：取区间(2.5,3)的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512>0.因为f(2.5)·f(2.75)<0，所以零点在区间(2.5,2.75)内．

结论：由于，所以零点所在的范围确实越来越小了．如果重复上述步骤，在一定精确度下，我们可以在有限次重复上述步骤后，将所得的零点所在区间内的任一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值．

引导学生利用计算器边操作边认识，通过小组合作探究，得出教科书上的表3—2，让学生有更多的时间来思考与体会二分法实质，培养学生合作学习的良好品质．

学情预设

学生通过上节课的学习知道这个函数的零点就是函数图象与x轴的交点的横坐标，故它的零点在区间(2,3)内．进一步利用函数图象通过“取中点”逐步缩小零点的范围，利用计算器通过将自变量改变步长很快得出表3—2，找出零点的大概位置．

设计意图

从问题1到问题2，体现了数学转化的思想方法，问题2有着承上启下的作用，使学生更深刻地理解二分法的思想，同时也突出了二分法的特点．通过问题2让学生掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．

问题3：对于其他函数，如果存在零点是不是也可以用这种方法去求它的近似解呢？

引导学生把上述方法推广到一般的函数，经历归纳方法的一般性过程之后得出二分法及用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤．

对于在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

注意引导学生分化二分法的定义：一是二分法的适用范围，即函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断；二是用二分法求函数的零点近似值的步骤．

给定精确度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：

1．确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；

2．求区间(a，b)的中点c；

3．计算f(c)：

(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；

(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c〔此时零点x0∈(a，b)〕；

(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c〔此时零点x0∈(c，b)〕；

4．判断是否达到精确度ε：

即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4. 学情预设

学生思考问题3举出二次函数外，对照步骤观察函数f(x)＝ln x＋2x－6的图象去体会二分法的思想．结合二次函数图象和标有a、b、x0的数轴理解二分法的算法思想与计算原理．

设计意图

以问题研讨的形式替代教师的讲解，分化难点、解决重点，给学生“数学创造”的体验，有利于学生对知识的掌握，并强化对二分法原理的理解．学生在讨论、合作中解决问题，充分体会成功的愉悦．让学生归纳一般步骤有利于提高学生自主学习的能力，让学生尝试由特殊到一般的思维方法．利用二分法求方程近似解的过程，用图表示，既简约又直观，同时能让学生初步体会算法的思想．

(三)例题剖析，巩固新知

例

借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精确度0.1) 两人一组，一人用计算器求值，一人记录结果；学生讲解缩小区间的方法和过程，教师点评．

本例鼓励学生自行尝试，让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐．此例让学生体会用二分法来求方程近似解的完整过程，进一步巩固二分法的思想方法．

思考

问题1：用二分法只能求函数零点的“近似值”吗？

问题2：是否所有的零点都可以用二分法来求其近似值？

教师有针对性的提出问题，引导学生回答，学生讨论，交流.反思二分法的特点，进一步明确二分法的适用范围以及优缺点，指出它只是求函数零点近似值的“一种”方法. 设计意图

及时巩固二分法的解题步骤，让学生体会二分法是求方程近似解的有效方法．解题过程中也起到了温故转化思想的作用．

(四)尝试练习，检验成果

1．下列函数中能用二分法求零点的是(

) 错误！未找到引用源。

设计意图

让学生明确二分法的适用范围．

2．用二分法求图象是连续不断的函数y＝f(x)在x∈(1,2)内零点近似值的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则函数的零点落在区间(

) A．(1,1.25)

B．(1.25,1.5) C．(1.5,2)

D．不能确定

设计意图

让学生进一步明确缩小零点所在范围的方法．

3．借助计算器或计算机，用二分法求方程x＝3－lg x在区间(2,3)内的近似解．(精确度0.1) 设计意图

进一步加深和巩固对用二分法求方程近似解的理解．

答案：略

(五)课堂小结，回顾反思

学生归纳，互相补充，老师总结：

1．理解二分法的定义和思想，用二分法可以求函数的零点近似值，但要保证该函数在零点所在的区间内是连续不断的；

2．用二分法求方程的近似解的步骤．

设计意图

帮助学生梳理知识，形成完整的知识结构．同时让学生知道理解二分法定义是关键，掌握二分法解题的步骤是前提，实际应用是深化．

(六)课外作业

1．[书面作业]课本习题3.1A组3、4、5；

2．[知识链接]本节阅读与思考“中外历史上的方程求解”．

3．[课外思考]：如果现在地处学校附近的地下自来水管某处破裂了，那么怎么找出这个破裂处，要不要把水泥板全部掀起？

板书设计

3．1.2

用二分法求方程的近似解

1．二分法的定义

2．用二分法求函数的零点近似值的步骤

3．用二分法求方程的近似解

教学反思

这节课既是一堂新课又是一堂探究课．整个教学过程，以问题为教学出发点，以教师为主导，学生为主体，设计情境激发学生的学习热情，激励学生去取得成功，顺应合理的逻辑结构和认知结构，符合学生的认知规律和心理特点，重视思维训练，发挥学生的主体作用，注意数学思想方法的溶入渗透，满足学生渴望的奖励结构．整个教学设计中，特别注重以下几个方面：

(1)重视学生的学习体验，突出他们的主体地位．训练了他们用从特殊到一般，再由一般到特殊的思维方式解决问题的能力．不断加强他们的转化类比思想．

(2)注重将用二分法求方程的近似解的方法与现实生活中的案例联系起来，让学生体会数学方法来源于现实生活，又可以解决现实生活中的问题．

(3)注重学生参与知识的形成过程，动手、动口、动脑相结合，使他们“听”有所思，“学”有所获，增强学习数学的信心，体验学习数学的乐趣．

(4)注重师生之间、同学之间互动，注重他们之间的相互协作，共同提高．