综合利用三种方法证两三角形全等教学设计与反思

1.3探索三角形全等的条件⑷

学习目标

⒈让学生进一步了解全等三角形在生活和生产中的应用，增强应用数学的意识；

⒉会用直尺和圆规作角平分线，并能有条理地说理和表达；

⒊引导学生通过添加辅助线，将问题转化为全等三角形来解决．

此外，通过例题教学，让学生知道数学解题中“分析”的作用与“分析”的方法．

班级 姓名 学号 学习难点

会用直尺和圆规作角平分线，并能有条理地说理和表达

教学过程

教材提供了工人师傅用角尺平分一个任意角的情境，其目的就是让学生知道数学是有用的，数学就在我们身边，我们身边的许多事物都可以用数学知识来解释；另一方面，通过对情境中道理的剖析，为用尺规作角的平分线打下了基础．在说理时，关键要注意引导学生，如何通过对边角关系的分析，把问题与全等三角形联系起来．

根据教学实际，我们还可以设计身边的其它情境．

情境1：本工师傅在做门框时，总是先做四根木条，其中两根长度相等，另两根长度也相等，这样做成的门框必然是平行四边形，再将各个角做成直角，就做成了一个长方形门框．你能说明它的道理吗？

这个情境主要让学生了解两点：⑴四边形不具有稳定性；⑵如何说明它是平行四边形（内错角相等，于是想到全等三角形）

情境2：小时候，我们都折过纸飞机，它的翼面如右图形状，你能说出它的特征吗？这样做有什么好处？

这是每个同学都很熟悉的情境，在使用时要注意：

⑴它的特征一定要让学生通过对纸飞机制作过程的回忆得到

（A B=AC、BD=CD）；

⑵学生不难得到△ABD≌△ACD；

⑶均匀材料制成的纸飞机的平衡性取决于它的形状．

情境3：对于情境教学，可以让学生利用课前准备好的、自制的角尺进行操作．

在操作时有几点须提醒学生注意：

⑴必须要保证OA=OB；⑵点A、点B在角尺上的示数必须一致，即必须保1 BADC图11.3-4-1 A O M B 图11.3-4-2 徐州第十三中学

证MA=MB；⑶射线必须要过点M（这是后继说理的前提）．

问题1：你是怎么想到用全等三角形来说明这个问题的？

（不同的学生可能有不同表达方式，但应尽可能地培养学生说理的正确性和条理性）

问题2：可否按图2的方法操作？

问题3：你认为，可否用其它工具代替角尺？

（此问题引发学生思考，①使用量角器；②刻度尺；③直尺和圆规，从而使学生抓住射线OM为角平分线的本质条件）

情境4：用尺规平分一个任意角

这里，只要学生能用自己的语言说出作图的主要过程即可，不需要学生表述严密的作图语言，也不需要写作法（能看懂教材中的作法）．

问题1：直尺、圆规分别能画什么图形？（在平面内，直尺能经过两点作一条直线，圆规能截取长度等于定长的线段）

问题2：在作法2中，为什么要以“大于1DE的长为半径画弧”？

2这里，可以让学生经历一次，再谈谈自己的体会．

问题3：你能说明射线OC是∠AOB的平分线的道理吗？（SSS）

有了情境的铺垫，这里学生理解是不困难的，可以让学生互相交流说理过程，也可以让学生口述．特别要提醒学生，用规范地格式书写全等三角形的三个条件，这是教学的重点．

情境5：电线杆总是垂直于地面架设的(如图11.3-4-3)．现有5m的卷尺一只，无弹性的绳索若干，你能用所给的器具想出一种架设电线杆的方法吗？试画图说明你的方法和理由．

这也是一个源于生活、能够激发学生学习兴趣的问题．

我们可以先让学生自主探索，并结合右图引发学生思考这样下面的问题：

问题1：电线杆AB垂直于地面的条件是什么？

问题2：就仅有的工具，如何使∠ABD=90°？

问题3：怎样作平角∠CBD的平分线？

例题设计

⒈教材P.117例3．

关于例题教学的建议：

⑴对于例题中隐含条件“AC=FD”的得到，在前面的学习中学生已较好地掌握，但要提醒学生注意，2 A O C B D 图11.3-4-3 徐州第十三中学

这里的“AD=FC”不是两个三角形全等的直接条件；

⑵有条件的学校可以利用多媒体演示，让学生分析当线段DF在直线AC上滑动时（△FED的形状不变），∠B和∠E相等的关系有变化吗？

⑶当点C与点D重合时，△FED相当于由△ABC通过怎样的变化得来的？由此进一步思考，在教材的图中，△FED相当于由△ABC通过怎样的全等变换得来的？

⑷在说理的教学中，本例第一次以文字的形式出现了“分析”，目的是促使教师重视学生会思考的教学，要让学生初步感受逆推的方法在说理中的作用，并根据自己的“分析”，能有条理地、清晰地阐述自己的理由．

⒉如图11.3-4-4，AD=BE，OD=OE，∠1=130º，∠2=25º.根据上面的条件，你能得到哪些结论呢? 说出你的理由. 说明：⑴解决这类问题，读懂题意，收集和整合信息非常重要！要抓住直接条件和派生条件，逐步得到各类结论．

本题可以得到两对全等三角形，从而有更多的等边和等角．

⑵在教学中，也可以对问题进行变化．例如，在题中，如果删去“∠1=130º，∠2=25º”的条件，要使△DOA≌EOB，你认为还可以添加一个什么条件？

不同的学生有不同深度的思考．部分学生只会添加OA=OB，而有的学生可以添加∠D=∠E，∠EAB=∠DBA，还有学生添加∠EBA=∠DAB等等．（不论对于哪种情况，必须要求能有条理地说出理由）

⒊小明在学习上非常爱动脑筋，一次，他想出了另一种用尺规平分一个任意角的方法．如图11.3-4-5，以∠AOB的顶点O为圆心，分别以1cm和3cm长为半径画弧，两弧分别与角的两边OA、OB交于点D1、E1和D2、E2，连结D1E2和D2E1，交点为C，作射线OC，则射线OC就是∠AOB的平分线．你能说出他这样作的理由吗？

可以引导学生“分析”：

⑴要说明∠AOC=∠BOC，只要能断定_______________或能断定_______________；

⑵要使△D2OC≌△E2OC，除了有条件OD2=OE2，OC=OC以外，还应该有条件_______________；

⑶要说明CD2=CE2，只要能断定_______________；

⑷要使△D2CD1≌E2CE1，除了有条件∠E2=∠D2，∠D2CD1=∠E2CE1，以外，还应该有条件_______________；

⑸而由_____________________________就能得到D1D2=E1E2．

3 ADO12EB图11.3-4-4 D2

D1

O C E1

A E2

B 图11.3-4-5 徐州第十三中学

【课后作业】

班级 姓名 学号 1. 如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分A E D EOC，EOC100，则BOD的度数是（

）

A．20

2. 在Rt△ABC中，C＝90，BAC的角平分线AD交BC于

点D，CD＝2，则点D到AB的距离是（

）

A．1

B．2

C．3

D．4 3. 如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（

）

A．3

B．4

C．5

D．6 4. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（

）

Ａ．三条中线的交点

Ｂ．三条高的交点

B．40

C．50

D．80

C 图1 O B ABDCＣ．三条边的垂直平分线的交点

Ｄ．三条角平分线的交点

A P O

B 5. 如图，OP平分AOB，PAOA，PBOB，

垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（

）

A．PAPB

B．PO平分APB

C．OAOB

D．AB垂直平分OP

二、填空题

6. 如图，

点

P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB=30°，则

∠AOB=_____度．

7. 如图，P是∠AOB的角平分线上的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，写出图中一对相等的线段（只需写出一对即可）

. 8. 已知△ABC中，A60，ABC，ACB的平分线交于点O，则BOC的度数为

．

9.架设电线杆时，小明想，如果我们先剪4根无弹性的绳索，将4 徐州第十三中学

长度不等的两根绳索的一端分别重合打结，然后将长度相等的两根绳索的另一端也分别重合打结(如图11.3-4-6)，将结点C、D放在架设点两侧的地面上，并使它们距架设点的距离相等（三点在同一直线上），最后将结点A、B分别系在电线杆上，调节电线杆的倾斜度和结点A、B的位置，使绳索充分拉紧．这样，从现在这个方向看电线杆便垂直于地面．你认为他说的有道理吗？

10.小亮只用一把直尺就作出了一个任意角的平分线，你信吗？如图11.3-4-7，他先后将直尺的一边与这个角的两边重叠，过对边先后作两条直线，它们的交点M必在角平分线上，于是作射线OM，OM就是∠AOB的角平分线．你能说出其中的奥妙吗？

说明：这两道例题是对教材中所提供的角平分线作法的引申，可以拓展学生视野，培养思维的发散性.

C 图9 D 图10 O M B A A 5 徐州第十三中学