6.1 函数教学设计案例

6．1

函

数（1）－学案

一、引入

十年前大家还是个蹦蹦跳跳的孩子，随着年龄的增长，大家的个子越来越高．我们生活在一个四季明显的地理位置上，随着四季的变化，气温也随之变化……

“变化”让我们的生活多姿多彩，“变化”也时常给我们带来困惑，所以“变”引领我们去探索新知，这节课开始让我们在变化过程中去感悟新知识——函数．

二、新知

1．（课本P136）从甲地到乙地，在16：17到16：22有一辆匀速行驶的列车，速度为200 km/h．

在从甲地到乙地的行驶过程中，有哪些量？在这些量中有哪些量是没有变化的？哪些量是不断变化的？

在上面的过程中，列车行驶的速度数值不变，甲地到乙地的路程数值不变，这样的量叫做常量．

而列车行驶的时间，列车距起点、终点的路程不断变化，这样的量叫做变量．

小结：

（1）常量：在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量．

（2）变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量．

你还能举出生活中的某些变化过程，并说明其中的常量和变量吗？

注意：常量和变量是相对于某一特定变化过程而言的，同一个量在某一变化过程中是常量，而在另一变化过程中也可能是变量（如当列车进站刹车后，速度就是变量）．

在刚才的问题中我们看到：随着年龄的增长，大家的个子越来越高；随乘车时间的增加距离目的地越来越近；随音乐播放时间的推进国旗的高度越来越高……在各种变化过程中往往存在着两个互相联系的变量．

三、例题

问题1

一石激起千层浪，水滴泛起层层波．变化中的波纹可以看作是一个不断向外扩展的圆．

你能用语言描述变化中圆的面积与其半径大小之间的关系吗？

问题2

已知水库的水位变化与蓄水量变化情况如下表所示：

水位m

蓄水m3 106 2.30×107

120 7.09×107

133 1.18×108

135 1.23×108 ……

……

你能从表格里获得哪些信息？

水位高低与蓄水量有什么关系？

注意：利用表格，工作人员能根据观察的水位，及时报告水库蓄水量．

八年级

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问题3

如图，搭一条小鱼需要8根火柴，

每多搭一条小鱼就要增加6根火柴，请说出搭小鱼过程中的常量和变量．你能写出搭n条小鱼所需的火柴根数s与小鱼条数n之间的关系式吗？说说你从关系式中获得的信息．

1．变量：波纹圆面积和半径．

下面我们重点讨论这两个变量间的关系：

圆的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．

2．从表中可以看出，

水位为106 m时，蓄水量为2.30×107 m3；

水位为120 m时，蓄水量为7.09×107 m3 ．

……

变量：水位和蓄水量．

在水库蓄水过程中，蓄水量随着水位的升高而增大，随着水位的下降而减少，当水位稳定不变时，蓄水量也稳定不变．

3．变量：总共需要的火柴数和所搭小鱼的条数．

S＝8＋6（n－1），

由上面的关系式可知，在搭小鱼的过程中，火柴数s随小鱼条数n的增加而增加，随小鱼条数n的减少而减少，当小鱼条数n一定时，火柴数s也保持一定．

小结：

上面的每个变化过程都有两个变量，且当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当其中一个变量确定时，另一个变量也随着确定．

函数：一般地，如果在一个变化的过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称

y是

x的函数，x是自变量．

在水库蓄水过程中，蓄水量随着水位的升高而增大，蓄水量是水位的函数；

在搭小鱼的过程中，总共需要的火柴数随所搭小鱼的条数的变化而变化，所用火柴根数s是小鱼条数n的函数；

在波纹逐渐变化的过程中，圆的面积随着半径的变化而变化，圆的面积是半径的函数．

我们可以用多种方式表示变化过程中的函数关系

．

你还能举出一些类似的实例吗？

八年级

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五、练习

1．把一根2 m长的铁丝围成一个长方形．

（1）当长方形的宽为0.1 m时，长为多少？

（2）当长方形的宽为0.2 m时，长为多少？

（3）这个长方形的长是宽的函数吗？为什么？

2．“沙漏”是我国古代一种计量时间的仪器，它根据一个容器里的细沙漏到另一个容器中的数量来计算时间．请说出该变化过程中有哪几个变量，自变量是什么？

3．按图示的运算程序：输入x→＋2→×5→－4→输出y

输入一个实数x，便可输出一个相应的实数y，

y 是

x 的函数吗？为什么？

4．下列各变量之间的关系，不能构成函数关系的是（

）

A．圆的周长与半径；

B．长方形的宽一定，它的面积与长；

C．正方形的面积与周长；

D．等腰三角形的面积与底边长．

六、总结

1．常量：在某一变化过程中，数值保持

的量叫做常量．

2．变量：在某一变化过程中，可以取

数值的量叫做变量．

3．函数：一般地，如果在一个变化的过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都

有

与它对应，那么我们称

y是

x的函数，x是自变量．

八年级

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6．1

函

数（1）－作业

1．对于圆的面积公式S＝R2，下列说法中正确的是（

）

A．是自变量

B．R2是自变量

C．R是自变量

D．R2是自变量

2．如图，△ABC底边BC上的高是6 cm，点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化．

（1）在这个变化过程中，自变量是________．

（2）如果三角形的底边长为x（cm），三角形的面积y（cm2）可以表示为________．

（3）当底边长从12cm变到3cm 时，三角形的面积从________ cm2变到________ cm2；

当点C运动到什么位置时，三角形的面积缩小为原来的一半？

3．对于圆柱形的物体，常按如图所示方式放置，分析物体的总数随着层数的增加的变化情况，并填写下表．

层数n

物体总数y

1 1 2

3

4

…

…

n

4．如图，自行车每节链条的长度为2.5 cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8 cm．

（1）4节链条长 cm；

（2）n节链条长 cm；

（3）如果一辆22型自行车的链条由50节这样的链条组成，那么这辆自行车上的链条总长度是多少？

5．填空：

（1）已知x＋2y＝5，

x＝1时，y＝____；

x＝2时，y＝____；

x＝－1时，y＝___ ；

x＝－2时，y＝____；

（2）已知y＝2x－3，

x＝1时，y＝____ ；

x＝2时，y＝____；

x＝－1时，y＝____；

x＝－2时，y＝____；

x＝3时，y＝____；

x＝4时，y＝___；

x＝3时，y＝____；

x＝4时，y＝____；

x＝－3时，y＝____；

x＝－4时，y＝____．

x＝－3时，y＝____；

x＝－4时，y＝____．

八年级

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