探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系课程导入

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函

数

教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）

教学目标：

1．了解反函数的概念，弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系．

2．会求一些简单函数的反函数．

3．在尝试、探索求反函数的过程中，深化对概念的认识，总结出求反函数的一般步骤，加深对函数与方程、数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识．

4．进一步完善学生思维的深刻性，培养学生的逆向思维能力，用辩证的观点分析问题，培养抽象、概括的能力．

教学重点：求反函数的方法．

教学难点：反函数的概念．

教学过程：

教学活动

一、创设情境，引入新课

1．复习提问

①函数的概念

②y=f(x)中各变量的意义

由实际问题引入新课，激发了学生学习兴趣，展示了教学目标．这样既设计意图

2．同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的函可以拨去“反函数”这一S数关系，即S=vt和t=（其中速度v是常量），在S=vt

中位概念的神秘面纱，也可使v学生知道学习这一概念的S移S是时间t的函数；在t=中，时间t是位移S的函数．在v必要性．

S这种情况下，我们说t=是函数S=vt的反函数．什么是反函v数，如何求反函数，就是本节课学习的内容．

3．板书课题

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http://www.zgjhjy.com 二、实例分析，组织探究

1．问题组一：

（用投影给出函数yx与yx；yx与yx2（x0）的图象）

（1）这两组函数的图像有什么关系？这两组函数有什么关系？（生答：yx与yx的图像关于直线y=x对称；yx133

13312

从学生熟知的函数出发，抽象出反函数的概念，12与yx2（x0）的图象也关于直线y=x对称．yx3是求一符合学生的认知特点，有利1于培养学生抽象、概括的能个数立方的运算，而yx3是求一个数立方根的运算，它们互1力．

为逆运算．同样，yx2与yx2（x0）也互为逆运算．）

3（2）由yx，已知y能否求x？

11（3）xy3是否是一个函数？它与yx3有何关系？

（4）xy与yx3有何联系？

2．问题组二：

13通过这两组问题，为反函数概念的引出做了铺垫，利用旧知，引出新识，在“最（1）函数y=2x+1(x是自变量)与函数x=2y+1(y是自变量)近发展区”设计问题，使学是否是同一函数？

（2）函数y生对反函数有一个直观的x1(x是自变量)与函数x=2y+1(y是自变量)粗略印象，为进一步抽象反2函数的概念奠定基础．

是否是同一函数？

（3）函数yx1

（x0）的定义域与函数y(x1)2（x1）的值域有什么关系？

3．渗透反函数的概念．

（教师点明这样的函数即互为反函数，然后师生共同探究其特点）

三、师生互动，归纳定义

1．（根据上述实例，教师与学生共同归纳出反函数的定义）

函数y=f(x)(x∈A) 中，设它的值域为 C．我们根据这个函

数中x,y的关系，用 y 把 x 表示出来，得到 x =  (y) ．如

果对于y在C中的任何一个值，通过x =  (y)，x在A中都有

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http://www.zgjhjy.com 唯一的值和它对应，那么, x =  (y)就表示y是自变量，x是

自变量 y 的函数．这样的函数 x =  (y)(y ∈C)叫做函数

y=f(x)(x∈A)的反函数.记作: xf1(y)．考虑到“用

x表示

自变量, y表示函数”的习惯，将xf(y)中的x与y对调写成yf1(x)．

2．引导分析：

1）反函数也是函数；

2）对应法则为互逆运算；

1 在上述探究的基础上，揭示反函数的定义，学生有针对性地体会定义的特点，进而对定义有更深刻的认识，与自己的预设产生矛盾冲突，体会反函数．在剖析3）定义中的“如果”意味着对于一个任意的函数y=f(x)定义的过程中，让学生体会来说不一定有反函数；

函数与方程、一般到特殊的4）函数y=f(x)的定义域、值域分别是函数x=f1(y)的值数学思想，并对数学的符号域、定义域；

5）函数y=f(x)与x=f(y)互为反函数；

6）要理解好符号f1；

7）交换变量x、y的原因．

3．两次转换x、y的对应关系

1语言有更好的把握．

通过动画演示，表格对照，使学生对反函数定义从感性认识上升到理性认识，yfxxf1yyf1x

从而消化理解．

（原函数中的自变量x与反函数中的函数值y 是等价的，原函

数中的函数值y与反函数中的自变量x是等价的．） 4．函数与其反函数的关系

定义域

值 域

函数y=f(x) 函数yf1

(x)

A C C A

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四、应用解题，总结步骤

1．（投影例题）

【例1】求下列函数的反函数

（1）y=3x-1 (2)y=x3+1 【例2】求函数yx1(x0)的反函数．

（教师板书例题过程后，由学生总结求反函数步骤．）

2．总结求函数反函数的步骤: 1

由y=f(x)反解出x=f1(y)．

2

把x=f1(y)中

x与y互换得yf1(x). 3

写出反函数yf(x)的定义域. （简记为：反解、互换、写出反函数的定义域）

【例3】（1）yx2(xR)有没有反函数? （2）yx2(x0)的反函数是________．

（3）yx(x<0)的反函数是__________．

五、巩固强化，评价反馈

21

通过对具体例题的讲解分析，在解题的步骤上和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培养学生分析、思考的习惯，以及归纳总结的能力．

题目的设计遵循了从了解到理解，从掌握到应用的不同层次要求，由浅入深，循序渐进．并体现了对定义的反思理解．学生思考练习，师生共同分析纠正．

进一步强化反函数的1．已知函数 y=f(x)存在反函数，求它的反函数 y =f1( x) 概念，并能正确求出反函2（1）y=-2x+3(xR) （2）y=-(xR,且x0)

xx5( 3 ) y=(xR,且x) 3x536x52．已知函数f(x)=(xR,且x1)存在反函数x1数．反馈学生对知识的掌握情况，评价学生对学习目标的落实程度．具体实践中可采取同学板演、分组竞赛等多种形式调动学生的积极性．

yf(x)，求f(7)的值．

11

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http://www.zgjhjy.com 五、反思小结，再度设疑

本节课主要研究了反函数的定义，以及反函数的求解步

“问题是数学的心脏”骤．互为反函数的两个函数的图象到底有什么特点呢？为什么学生带着问题走进课堂又具有这样的特点呢？我们将在下节研究．

（让学生谈一下本节课的学习体会，教师适时点拨）

带着新的问题走出课堂．

六、作业

习题2.4 第1题，第2题

进一步巩固所学的知识．

教学设计说明

“问题是数学的心脏”．一个概念的形成是螺旋式上升的，一般要经过具体到抽象，感性到理性的过程．本节教案通过一个物理学中的具体实例引入反函数，进而又通过若干函数的图象进一步加以诱导剖析，最终形成概念．

反函数的概念是教学中的难点，原因是其本身较为抽象，经过两次代换，又采用了抽象的符号．由于没有一一映射，逆映射等概念的支撑，使学生难以从本质上去把握反函数的概念．为此，我们大胆地使用教材，把互为反函数的两个函数的图象关系预先揭示，进而探究原因，寻找规律，程序是从问题出发，研究性质，进而得出概念，这正是数学研究的顺序，符合学生认知规律，有助于概念的建立与形成．另外，对概念的剖析以及习题的配备也很精当，通过不同层次的问题，满足学生多层次需要，起到评价反馈的作用．通过对函数与方程的分析，互逆探索，动画演示，表格对照、学生讨论等多种形式的教学环节，充分调动了学生的探求欲，在探究与剖析的过程中，完善学生思维的深刻性，培养学生的逆向思维．使学生自然成为学习的主人．