小结课件配套优秀获奖教案

函数的奇偶性

课题

函数的奇偶性小结

1、

通过课前热身提的自我检测，让学生进一步理解函数奇偶性的定义，并能利用定义证明或判断某些函数的奇偶性；

2、

通过例题分析，使学生能够解决和奇偶性相关的综合性问题，并体会数形结合、分类讨论的思想。

重点：奇偶性定义的理解及函数奇偶性的判断

难点：解决有关奇偶性的函数综合性问题

启发、讲授

电脑幻灯片

教学过程

教师活动

【问题1】函数f(x)具有奇偶性满足什么条件？怎么判断？

【热身题】判断下列函数的奇偶性：

1、f(x)(1x)学生活动

预计答案：

看f(-x)和f(x)间的相互关系。

【1题预计错解一】：

设计意图

复习课，提取学生原有知识。

由练习的问题总结定义规范步骤有利于学生对概念的理解和巩固。

教学目标

教学重点和难点

教学方法

教具和教学手段

1x

1x1x0解得f(x)定义域为[-1,1）不关于【解】由1x原点对称

∴

f(x)是非奇非偶函数。

f(x)(1x)f(x)(1x)1x1x1x1x

∴

f(x)是非奇非偶函数

【1题预计错解二】：

f(x)(1x)(1x)f(x)(1x)(1x)∴f(x)是偶函数。

【2题预计错解】：

1x

1x1x0解得

f(x)的定义域为（-1,1）

【解】由1x2、f(x)lg关于原点对称

f(x)lg1x1x1x1x1xlglg1x1x1x11x1x

1xf(x)lg1xf(x)lg∴f(x)是非奇非偶函数

f(x)lg∴f(-x)= -f(x) ∴f(x)是奇函数

【本题小结】

通过上述2个练习，要注意判断一个函数的奇偶性，不仅仅是看

f(-x)= -f(x)或

f(-x)= f(x)这么简单，要关注下列内容：

一、定义：

1

奇函数：一般对于函数f(x)，如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)= -f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数；

偶函数：一般对于函数

f(x)，如果对于函数定义域内任意一个x，都有

f(-x)= f(x)，那么函数

f(x)就叫做偶函数。

【分析提问】

1、对定义域内任意一个x怎么理解？

2、定义域的区间成什么形式的时候才能满足上述条件？

二、判断函数奇偶性

1、已知解析式的判断步骤：

（1）确定f(x)的定义域，看其是否关于原点对称；

（2）将解析式化简到最简；

（3）计算

f(-x)表达式，并判断与f(x)的关系；

（4）得出结论。

【例1】判断函数f(x)【解】由2x-1≠0解得

f(x)的定义域为{x|x≠0}关于原点对称

xx的奇偶性。

x212xxx12xf(x)x

21222x1x12xx2x1f(x)xf(x)

x221212∴f(x)是偶函数

【例2】已知f(x)x2

【例1预计错误】：

xxf(x)x212

xxf(x)x221∴f(x)是非奇非偶函数

【例2】后自己填写基本初等a(x0,aR)，判断函数表，教师订正。

x

f(x)的奇偶性。

【解】∵f(x)的定义域为{x|x≠0}关于原点对称

∴f(x)x2a

x∵a∈R

∴当a=0时, f(-x)= f(x)=x2，此时

f(x)是偶函数

当a≠0时, f(-x)≠

f(x)且

f(-x)≠

-f(x)，此时

f(x)是非奇非偶函数。

【例3】（看时间选讲）判断函数x2x(x0)f(x)2的奇偶性

xx(x0)解】当x>0时-x<0，∴f(-x)=(-x)2-x= -(-x2+x)= - f(x)

当x<0时-x>0，∴f(-x)= -(-x)2-x= -(x2+x)= - f(x) 当x=0时，f(0)=0 ∴

f(x)是奇函数

2、已知函数图象判断奇偶性：

奇函数图像关于原点对称，

偶函数图像关于y轴对称。

三、具有奇偶性函数的性质及应用

2

对含参的函数奇偶性判断要根据参数的取值进行分类讨论。

分段函数判断奇偶性时注重不同范围要考虑不同的解析式。

（一）性质：

1、“f(x)定义域关于原点对称”是“f(x)函数是奇（偶）函数”的必要不充分条件；

2、若f(x)是奇函数且在原点有定义，则

f(0)=0，

若f(x)是偶函数，则

f(-x)= f(x)= f(|x|)；

3、奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。

（二）应用：

1、求参数的值

【例3】（教辅P56/巩固练习1）设函数f(x)(x1)(xa)为奇函数，则a

．

x

【解法一】

∵

f(x)是奇函数

∴

f(-x)= -f(x)

即：(x1)(xa)(x1)(xa)

xx【解法二】∵

f(x)是奇函数

∴f(-1)= -f(1) (11)(1a)(11)(1a)

∴

11

∴a=-1

2、求解析式

【例4】（教辅P55/例3）已知奇函数

f(x)(x∈R)，当x>0时，

f(x)=x(5-x)+1，求

f(x)在R上的表达式。

【解】∵f(x)是R上的奇函数

∴

f(0)=0

当x<0时-x>0，则

f(x)=

-f(-x)=

-[-x(5+x)+1]= x(5+x)-1

(x1)(xa)(x1)(xa)x2(a1)xax2(a1)xa

2(a1)x0x(5x)1(x0) 综上，f(x)0(x0)

x(x5)1(x0)3、解不等式

【例5】（教辅P55/例5）设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1-m)

【解法二】∵f(x)是[-2,2]上的偶函数函数

∴

f(-x)= f(x)= f(|x|)

∵

f(1-m)

f(|1-m|)

∵f(x)在区间[0,2]上单调递减

即：a+1=0

∴a=-1 【例4预计错解】

∵f(x)是R上的奇函数

∴

f(0)=0

∵x>0时f(x)=x(5-x)+1 ∴-x<0，则

f(-x) =

- f(x)=

-x(5-x)-1

综上，

x(5x)1(x0)f(x)0(x0)x(5x)1(x0)

【例5解法一预计错解】

4.53.5f(1-m)2.5f(m)1.50.5|1-m||m|1 ∴01-m2

解得：0m

20m2

∵f(x)是[-2,2]上的偶函数函数

且在区间[0,2]上单调递减

又f(1-m)

0.5-2m-(1-m)O1-m2

利用奇偶性求参数值，严谨的办法是直接从定义出发，但有时填空和选择题可以利用特殊点来求解。

此类问题注意，求那个区间内解析式x就要在那个区间内取，则-x就在已知区间，再利用

f(-x)与

f(x)的关系求出解析式。

此类问题注意，在已知给出的定义域内利用单调性配合奇偶性求解。

解得：m1（没考虑定义域）

21、

研究函数问题注意定义域优先的原则，在奇偶性研究过程中，定义域首先要关于原点对课堂小结

称；

2、利用奇偶性解决问题时，要灵运用性质，同时注意每种题型要注意的问题。

作业

3 教辅P56练习题1-8