探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系教学评价实录

教材名称：《普通高中课程标准实验教科书.数学》

版本：人教A版

册数：必修一

章节：第二章探究与发现

本课名称：互为反函数的两个函数图象之间的关系第一课时

课件：有

视频：有

学历案：有

参赛人：董志茹

单位：内蒙古包头市第一中学

通讯地址：包头市第一中学

联系电话：15848638551

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互为反函数的两个函数图象之间的关系

第一课时

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教学背景

探究与发现：互为反函数的两个图象之间的关系是人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学A版》必修1第二章第2节后的探究发现的第一课时。

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教学设想

教材分析：本节是指数函数和对数函数之后的探究与发现，是对反函数的进一步学习，虽然课标只要求知道指数函数和对数函数互为反函数，但互为互为反函数的两个图象的研究是有必要的，它从形的角度理解了互为反函数的两个函数之间的关系，通过学习进一步明确指、对数函数的关系，培养学生联系的观点，在揭示两种函数的关系中，加深对两种函数的认识.，通过具体函数，完成互为反函数的两个函数图象之间关系的探究，对学生来说，这往往也是学习的难点，而要解决这个难点，必须引导学生按照“直观感知—操作确认—归纳总结”的认知过程展开学习，对已知指数函数和对数函数的图象观察感知，发现两函数图象的对称性，学生将在问题的带动下，进行主动的思考、探究，证明,归纳总结出互为反函数的两个函数图象之间的关系，并能运用互为反函数的两个函数图象之间的关系解决问题。

学情分析：学生在本节课之前，已经学习了指数函数和对数函数图像和性质，知道了同底的指数函数和对数函数互为反函数，具备了学习本节课所需的知识。同时学生已经有了“通过观察、操作等数学活动抽象概括出数学结论”的体会参与意识、自主探究能力有所提高，对反函数概念建立有一定基础，但高一学生仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，学生的抽象概括能力，还有待提高，互为反函数的两个函数之间的关系比较形象，但证明会有些难度，尤其高一的学生没有学习点关于直线对称的求法，更别提两曲线关于直线的问题的证明，基于这点，课前的知识准备列出了点(x,y)关于直线y=x对称的问题，两曲线关于直线的问题的证明方法，在课前学生发挥主观能动性，通过自主学习，查阅资料等方式，解决了这两个问题，本节课的学习就会轻松些，再加上后续学习了必修2，对本节课的理解就更深刻些！

教学目标： 1．通过具体指数函数和对数函数图形分析，学生发现并证明结论；

2．通过概括总结，学生得出互为反函数的两个函数图象之间的关系并证明结论；

3.

通过反函数的研究，利用几何画板，加深学生对指数函数和对数函数的理解；

4.

通过具体实例，学生学会互为反函数的两个函数图象之间的关系的应用；

5.通过本节课的学习，体会数形结合，转化与划归的数学思想方法，培养学生分析问题，解决问题的能力。

教学重点：互为反函数的两个函数图象之间的关系；

教学难点：互为反函数的两个函数图象之间的关系的应用

3 教学设计

3.1. 知识回顾

2

1.反函数的概念：指数函数yax（a ＞0

，且a1）中，x是自变量，x ，y是x的函数，y ，由指数式与对数式的互化有： 对于y在（0，+）中任何一个值，通过式子xlogay，x在R中都有唯一的值和它对应． 也就是说，可以把 作为自变量， 作为y的函数，这时我们就说 是函数yax的 ，通常我们用x表示自变量，y表示函数，这样：同底的指数函数 和对数函数 互为反函数

设计意图：以填空题的形式，复习知识点，让学生体会得出反函数的定义的过程，为后面的学生能求出非指数函数和对数函数的反函数做准备。 2.点p（x，y）关于直线y=x对称的点 设计意图：作为高一的学生，点关于直线对称的点的坐标计算还没有学习，这节课又要用，基于这点，设计在课前，学生可以通过图象观察或取特殊点，或查阅资料，自主学习得出结论

3.若曲线y=f（x）图象上 在曲线y=g（x）的图象上，

我们就说曲线y=f（x）图象与曲线y=g（x）图象关于y=x对称。

3.2师生互动，得出新知

我们知道指数函数ya（ a ＞0

，且a1）和对数函数y=logax（ a ＞0

，且a1）互为反函数，那么它们的图象有什么关系？运用你所学的数学知识，探索下面的几个问题，亲自发现其中的奥秘吧! 问题1：

在同一个直角坐标系（横，纵长度单位一致）中，画出指数函数y=2和及其反函数y=log2x的图象，你能发现这两个函数图象有什么对称关系吗？

设计意图：从学生熟悉的已知函数模型出发，遵循了从特殊到一般的研究方法，同时画出图象，便于学生更形象地进行观察，从而自然地生成一般结论。

x（,）问题2：取y=2图象上的点，p，p，p，P（，,1），P2，P（，）1-1，2013关于直线312xx12y=x对称的点的坐标是什么？它们在y=log2x的图象上吗？为什么？ 设计意图：要研究两函数图象关于一条直线对称问题，一般研究一个函数图象上任一点关于直线的对称点是否在另一个函数图象上，遵循这样的研究方法，我们先从特殊点出发，便于学生感知对称，从而为自然地生成一般结论做准备。

问题3：如果p（0x0,y0）在函数y=2的图象上，那么p0关于直线y=x对称的点在xy=log2x的图象上吗？为什么？

3

问题4：由上述探究过程可以得到什么结论？

设计意图：一个函数图象上任一点关于直线的对称点都在另一个函数图象上，那么两函数图象关于直线对称，这样自然地生成一般结论。

问题5：上述结论对于指数函数yax（ a ＞0

，且a1）及其反函数y=logax（ a ＞0

，且a1）也成立吗？为什么？

设计意图：从特殊函数的指数和对数函数出发，学生已经掌握了研究的方法，再进行推广，学生很容易掌握！

x新知：（1）互为反函数的指数函数y=a与对数函数y=logax （a＞0且a ≠1）的图象关于直线 对称，

x（2）若指数函数y=a的图象过（m，n）则其反函数y=logax的图象过 教师板书，学生填写学历案

设计意图：以填空题的形式出现，目的突出重点，学生再次明确这节课的所学内容

x思考：你能在在直角坐标系下画出指数函数y=a与对数函数y=logax （a＞0且a ≠1）的图象吗？

此处学生踊跃参与，在学历案上作图，教师巡视学生活动，教师用ppt展示了大多数学生画出的下面两种情况

教师追问：有没有不同答案，只有两位同学有不同答案，教师提醒学生应该从交点考虑得x出不同情况，教师一边用几何画板展示指数函数y=a与对数函数y=logax （a＞0且a ≠1）的图象交点问题，一边让学生观察并让学生进行总结得出六种情况，至于临界位置，学生自主学习！

x设计意图：更加明确指数函数y=a与对数函数y=logax （a＞0且a ≠1）的图象之间的关系，几何画板生动形象地解决了学生手画解决不了的问题，体现了数形结合的思想，和信息技术在数学学科的应用，把研究临界位置作为学生课后自主学习，进一步发挥学生主观能动性，激发学生学习数学的热情，同时让学生充分利用网络资源，进行有效的学习！

3.3．例题讲解，巩固升华

1.81.61.41.210.80.60.40.2-1-0.50.511.52-4-2-0.2-1-0.4-0.6-2例1．若函数yf(x)的图象与函数且yax(a0且a1)的图象关于直线y=x对称，f(2)=1，则f(x)= 【试题解析】解法1：因为函数yf(x)的图象与函数yax(a0且a1)的图象关于直线y=x对称，所以函数yax(a>0且a≠1)与yf(x)互为反函数，所以f(x)=logax，又f(2)=1，即loga2=1，所以a=2，故f(x)=log2x. 解法2：因为f(2)=1，函数yax过（1,2），，所以a=2 4

函数yf(x)的图象与函数yax(a0且a1)的图象关于直线y=x对称，所以函数yax(a>0且a≠1)与yf(x)互为反函数，所以f(x)=logax= log2x

练习1：偶函数f (x)

，当x0,2，f（x）=ex+1，当x 2,+，f (x)

的图象与函数 +f（e+1）在y=ex+1图象关于直线y=x对称，

求f（-1）的值 学生积极地思考并在学历案上给出答案，教师巡视，同时叫一名因为学生上黑板书写。

学生板书解法：偶函数f (x)

，当x0,2，f（x）=ex+1

f（-1）=f（1）=e+1 ，

当x 2,+，f (x)

的图象与函数

在y=ex+1图象关于直线y=x对称

）=1

=ln（x-1）x=ln（y-1），f（x），f（e+1f（-1）+f（e+1）=2 教师在教室巡视，发现另一个学生有不同解法，学生回答，教师板书

解：当x 2,+，f (x)

的图象与函数

在y=ex+1图象关于直线y=x对称

）=1，

令ex+1=e+1，x=1，f（e+1教师点评：两种方法恰好用的就是今天学习的两个知识点解决

设计意图：检测学生用所学的新知识：互为反函数的指数函数y=a与对数函数y=logax （a＞0且a ≠1）的图象关于直线y=x对称，点（x，y）在y=f（x）图象上，则（y，x）在y=f（x）的反函数图象上来解决问题，同时引导学生两种方法解题，培养学生一题多解的能力。

x例2设方程2x40的根为，设方程log2xx40的根为，则x . 教师给出题目，学生无法用代数方法解得，引导学生结合图象解决，学生以小组为单

位，共同讨论。教师让一组学生来回答，如图5

3.函数yloga(x1)(a0且a1)的反函数的图象经过点（1，4），求a的值. 4．函数f(x)=ex+x-2的零点为a，函数g(x)=lnx+x-2的零点为b，

（1）则（ ）A．a+b>2 B．a+b=2 C．a+b<2 D. a+b与2的大小无法判断

（2）则

f（a），f（1），f（b）的大小关系 .

（3）则（ ）A．e+lnb>2 B．e+lnb <2 C．a+b<3 D.ab>1 5.在同一直角坐标系下作yax和ylogax(a0且a1)的图象有下面四种判断：

①两支图象可能无公共点；②若两支图象有公共点，则公共点一定在直线y=x上；

③若两支图象有公共点，则公共点个数可能有1个，不可能有2个；

④若两支图象有公共点，则公共点个数最多有3个. 以上这四种判断中，错误的判断共有______个

选做题：1. 查阅资料学习反函数的概念及反函数的求法，及互为反函数的两函数的性质

2.研究同底指对函数图象的交点问题 设计意图：检测学生对本节课的掌握程度，同时为下节课做准备。分层作业，发挥不同程度的学生的学习数学的热情！

3.6板书设计 互为反函数的两个图象之间的关系 1.

互为反函数的两个图象之间关于y=x对称 练习2：学生板演

x2.

若指数函数y=a的图象过（m，n）

则其反函数y=logax的图象过（n，m）

练习1：学生板演

设计意图：学生直观地知道本节课讲的主要内容

4 感悟与思考

4.1整节课教学在创设问题情境中完成

发现和探索是学生在精神世界中的一种特别强烈的需要。创设问题情境正是为了满足学生这一需要。因此，在教学过程中，创设情境、依托情境，对学生在情境发生发展过程中学习数学、发展数学，体验数学的价值至关重要，问题是思维的起点，有了问题，学生的思维才有方向，有了问题，学生的思维才有动力，学生才能更好地参与课堂，正是有了以上的认识，本节课通过5个问题，得出了本节课的学生要学习的内容并完成了证明。

4.2精心设计才能深入浅出

本节课涉及了同底指数函数和对数函数图象的交点问题，虽然我有十来年的教学经验，但从来也没有深入考虑过这个问题，我对这个问题的认识和学生基本相同，没有考虑到得从多个角度考虑问题，思维只停留在没有交点和一个交点上。为了上好这节课，我阅读了有关这方面文章和在几何画板上的操作方法，比较深入地了解了这部分知识，收获颇多。教师这个职业就是在不断学习中得到升华！尤其作为数学教师，因为学科的严谨性缘故，数学教师更应该严于律己，给学生做出表率作用!

后附：学生学历案

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互为反函数的两个函数图象之间的关系

高一（ ）班 姓名 【学习目标】

1．通过具体指数函数和对数函数图形分析，学生发现并证明结论；

2．通过概括总结，学生得出互为反函数的两个函数图象之间的关系并证明结论；

3.

通过反函数的研究，利用几何画板，加深学生对指数函数和对数函数的理解；

4.

通过具体实例，学生学会互为反函数的两个函数图象之间的关系的应用；

5.通过本节课的学习，体会数形结合，转化与划归的数学思想方法，培养学生分析问题，解决问题的能力

。

【评价任务】

1．

共同完成问题1.2.3.4；

2．

共同完成问题5，独立完成新知1；

3．

共同完成思考；

4.独立

完成例1,2；独立完成练习1.2；

5．学习完本节课内容，达成目标5；

【学习过程】

资源与建议

1、本主题的学习按以下流程进行：复习回顾反函数概念

互为反函数的这两个具体函数图象之间的关系

互为反函数的两个函数图象之间的关系 互为反函数的两个函数图象之间的关系的应用

2、本主题的重点：互为反函数的两个函数图象之间的关系；难点：互为反函数的两个函数图象之间的关系的应用

一、知识回顾

1.反函数的概念：指数函数ya（a ＞0

，且a1）中，x是自变量，x ，y是x的函数，y ，由指数式与对数式的互化有： 对于y在（0，+）中任何一个值，通过式子xlogay，x在R中都有唯一的值和它对应． 也就是说，可以把 作为自变量， 作为y的函数，这时我们就说 是函数ya的 ，通常我们用x表示自变量，y表示函数，这样：同底的指数函数 和对数函数 8

xx

互为反函数，它们的定义域和值域 。

2.点p（x，y）关于直线y=x对称的点 3.若曲线y=f（x）图象上 在曲线y=g（x）的图象上，

我们就说曲线y=f（x）图象与曲线y=g（x）图象关于y=x对称。

二、新知探究

我们知指数函数yax（ a ＞0

，且a1）和对数函数y=logax（ a ＞0

，且a1）互为反函数，那么它们的图象有什么关系？运用你所学的数学知识，探索下面的几个问题，亲自发现其中的奥秘吧！

问题1：

在同一个直角坐标系（横，纵长度单位一致）中，画出指数函数y=2x和及其反函数y=log2x的图象，你能发现这两个函数图象有什么对称关系吗？

x（,）问题2：取y=2图象上的点，p，p，p，P（，,1），P2，P（，）1-1，2013关于直线y=x31212对称的点的坐标是什么？它们在y=log2x的图象上吗？为什么？

问题3：如果p（）在函数y=2的图象上，那么p0关于直线y=x对称的点在0x0,y0xy=log2x的图象上吗？为什么？

问题4：由上述探究过程可以得到什么结论？

问题5：上述结论对于指数函数ya（ a ＞0

，且a1）及其反函数y=logax（ a ＞0

，且a1）也成立吗？为什么？

x新知：（1）互为 的指数函数y=a与对数函数y=logax （a＞0且a ≠1）的图象关于x直线 对称，（2）若指数函数y=a的图象过（m，n）则其反函数y=logax的图象过 x思考：你能在在直角坐标系下画出指数函数y=a与对数函数y=logax （a＞0且a ≠1）的图9

x

象吗？

三．例题讲解，巩固练习

例1．若函数yf(x)的图象与函数yax(a0且a1)的图象关于直线y=x对称，且f(2)=1，求f(x)的解析式

=e+1，当x 2,+，f (x)

的图象与函数 练习1：偶函数f (x)

，当x0,2，f（x）x+f（e+1）的值 y=ex+1图象关于直线y=x对称，

求f（-1）

x例2设方程2x40的根为，设方程log2xx40的根为，则 . 练习2：2012高考全国2卷12.设点P在曲线y则|PQ|的最小值为（

）

A、1ln2

四．课堂小结

五．课后作业 必做题

1.若指数函数y=f(x)的反函数的图象经过点（２，－１），则此指数函数为

B、2(1ln2)

C、1ln2

D、2(1ln2)

1xe上，点Q在曲线yln(2x)上，2 （A）

（B） （C） （Ｄ）

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2当x 2,3，函数的反函数的值域 .

3.函数yloga(x1)(a0且a1)的反函数的图象经过点（1，4），求a的值. 4．函数f(x)=ex+x-2的零点为a，函数g(x)=lnx+x-2的零点为b，

（1）则（ ）A．a+b>2 B．a+b=2 C．a+b<2 D. a+b与2的大小无法判断

（2）则

f（a），f（1），f（b）的大小关系 .

（3）则（ ）A．e+lnb>2 B．e+lnb <2 C．a+b<3 D.ab>1 5.在同一直角坐标系下作yax和ylogax(a0且a1)的图象有下面四种判断：

①两支图象可能无公共点；②若两支图象有公共点，则公共点一定在直线y=x上；

③若两支图象有公共点，则公共点个数可能有1个，不可能有2个；

④若两支图象有公共点，则公共点个数最多有3个. 以上这四种判断中，错误的判断共有______个

选做题：1. 查阅资料学习反函数的概念及反函数的求法，及互为反函数的两函数的性质

2.研究同底指对函数图象的交点问题

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