实习作业主要内容及教案内容

函数的性质的运用

1．若函数yf(x)(xR)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数

yf(x)图象上的是（ ）

A.(a，f(a)) B.(a，f(a)) C.(a，f(a)) D.(a，f(a))

a2xa22. 已知函数f(x)2x1(xR)是奇函数，则a的值为（ ）

A．1 B．2 C．1 D．2

3．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若f(x)g(x)的解析式为_______．

4．已知函数f（x）为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有

实根之和为________．

5.定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x，y∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)．

(1)求证f(x)为奇函数；

(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，

求实数k的取值范围．

6.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f(（1）求f(1)的值；

（2）判断f(x）的单调性；

（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.

x1)=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0. x21x1，则f（x）

7.函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R上的增函数；

2（2）若f(4)=5,解不等式f(3m-m-2)＜3.

8.设f（x）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，f()f(x)f(y)

（1）求证：f（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）；

（2）设f（2）=1，解不等式f(x)f(xy1)2。

x3

9.设函数f(x)对xR都满足f(3x)f(3x),且方程f(x)0恰有6个不同

的实数根，则这6个实根的和为（ ）

A.0 B．9 C．12 D．18 310.关于x的方程

x2(2m8)xm2160的两个实根

x1、x2

满足

x1x2，

2 则实数m的取值范围 11.已知函数yf(x)(xR)满足f(x3)f(x1)，且x∈[－1,1]时，f(x)|x|，

则yf(x)与ylog5x的图象交点的个数是( ) A．3 B．4 C．5 D．6

12.已知函数f(x)满足：x4，则f(x)＝()；当x4时f(x)＝f(x1)，则

12xf(2log23)＝

A

1113 B

C

D

2488121)=－1,当且仅当0

213.已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f((1)f(x)为奇函数；

(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.

xy),试证明：

1xy

14.函数f(x)=1x2x11xx12的图象(

)

B.关于y轴对称

D.关于直线x=1对称

A.关于x轴对称

C.关于原点对称

15.函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________. 16.若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0

(a>1). (1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.

求证函数f(x)=x318.(x21)2在区间(1，+∞)上是减函数.

19设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：

(i)f(xx1－xx2)=f(1)f(2)1f(x)f(x；

21)(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证：

(1)f(x)是奇函数. (2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.

x2,+∞)上单调递增，

20.已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且

f(－11)=0,当x>－时，f(x)>0. 22(1)求证：f(x)是单调递增函数；

(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.

21.已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0, 设不等式解集为A，B=A∪{x|1≤x≤5}, 求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.

22.设f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x,则f(7.5)等于(

) A.0.5

B.－0.5

C.1.5

D.－1.5 a的取值

23.已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)<0,范围是(

) A.(22，3) C.(22，4)

B.(3，10) D.(－2，3) 24.若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)<0的解集为_________. 25.如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(x+2)=－f(x), 试比较f(12),f(),f(1)的大小关系_________. 33

参考答案

6.（1）f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。

（2）当0 < x < y时，y/x > 1，所以f(y) - f(x) = f(y/x) < 0 。故f单调减。

（3）f(3) = -1，f(3) = f(9/3) = f(9) - f(3)，f(9) = -2而

f（｜x｜)＜-2 = f(9)，且f单调减，所以| x | > 9

x＞9或x＜-9

7.（1）设x1,x2∈R，且x1＜x2, 则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1. f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-1＞0. ∴f（x2）＞f(x1).即f(x)是R上的增函数. （2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，∴f（2）=3，∴原不等式可化为f(3m2-m-2)＜f(2), ∵f(x)是R上的增函数，∴3m2-m-2＜2,

441,解得-1＜m＜ ,故解集为

3 . 313.证明：(1)由f(x)+f(y)=f(xxxy),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0 1xy1x2∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数. (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减. 令00,1－x1x2>0，∴又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0 ∴x2－x1<1－x2x1, ∴00, 1x2x1x2x1xx1<1,由题意知f(2)<01x2x11x1x2

即f(x2)

16.解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，

∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞)单调递增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0, ∴b=－a(x1+x2)＜0. 答案：(－∞,0）

17.证明：(1）设－1＜x1＜x2＜+∞,则x2－x1>0,

ax2x1>1且ax1>0, ∴ax2ax1ax1(ax2x11)>0,又x1+1>0,x2+1>0 ∴x22x12(x22)(x11)(x12)(x21)3(x2x1)>0, x21x11(x11)(x21)(x11)(x21)x22x12

>0 x21x11

于是f(x2)－f(x1)=ax2ax1+∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数. (2）证法一：设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,则ax0与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根. 证法二：设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,则x2x021且由0＜ax0＜1得0＜－0＜1,即＜x0＜2x01x012x02＜－2,ax0＜1,∴f(x0)＜－1与f(x0)=0矛盾，若x0x01＜－1,则x02>0,

ax0>0，∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根. x0118.证明：∵x≠0,∴f(x)=111, (x21)2x(x21)2x(11)2x2x3x41x12设1＜x1＜x2＜+∞,则1x221,11x2211x120. x2(11x2)2x1(121x1)20.21x2(11x22)21x1(11x12

)2∴f(x1)>f(x2),f(x)在(1，+∞）上是减函数. 19.证明：(1）不妨令x=x1－x2,则f(－x)=f(x2－x1)==－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函数. f(x2)f(x1)1f(x1)f(x2)1

f(x1)f(x2)f(x2)f(x1)

(2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a). ∵f(x+a)=f［x－(－a)］=f(a)f(x)1f(a)f(x)1f(x)1(f(a)1). f(a)f(x)f(a)f(x)f(x)1f(x)11f(xa)1f(x)11

f(x2a)f[(xa)a]f(x)1f(xa)1f(x).1f(x)11∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］==f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数. f(x2a)20.证明：设x1＜x2,则x2－x1－111>－,由题意f(x2－x1－)>0, 22211)－1=f［(x2－x1)－］>0, 22∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－∴f(x)是单调递增函数. (2)解：f(x)=2x+1.验证过程略. 21.解：由0x6且x≠0,故0

∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2

1213)－知：g(x)在B上为减函数，∴2423.解析：∵f(x)是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)＜0. ∴f(a－3)＜f(a2－9). 1a31∴1a291

∴a∈(22,3). 2a3a9答案：A x0x024.解析：由题意可知：xf(x)＜0

或f(x)0f(x)0

x0x0x0x0

 或 或f(x)f(3)f(x)f(3)x3x3∴x∈(－3,0)∪(0,3) 答案：(－3，0）∪(0，3）

25.解析：∵f(x)为R上的奇函数

∴f(11221)=－f(－),f()=－f(－),f(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函数且－> 3333－23>－1.

∴f(－13)>f(－23)>f(－1),∴f(123)＜f(3)＜f(1). 答案：f(13)＜f(23)＜f(1) 3