小结优秀公开课教案

函数模型及其应用(高三复习课）教学设计

惠东中学 喻飞

最新考纲

1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．

2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．

知识梳理

1.常见的几种函数模型

(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．

(2)反比例函数模型：y＝＋b(k，b为常数且k≠0)．2kx[来源:Z,xx,k.Com]

(3)二次函数模型：y＝ax＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．

(4)指数函数模型：y＝a·b＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．

(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．

(6)幂函数模型：y＝a·x＋b(a≠0)．

2.指数、对数、幂函数模型性质比较

函数

性质

在(0，＋∞)

上的增减性

增长速度

图象的变化

值的比较

3.“对勾”函数

形如f(x)＝x＋(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：

(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上是增加的，在[－a，0)和(0，a]上是减少的．

(2)当x>0时，x＝a时取最小值2a，

当x<0时，x＝－a时取最大值－2a. 典型例题

考点一

一次函数、二次函数模型的应用 nxy＝ax

(a>1)

单调递增

越来越快

随x的增大逐渐表现为与y轴平行

y＝logax

(a>1)

单调递增

越来越慢

随x的增大逐渐表现为与x轴平行

ny＝xn

(n>0) 单调递增

相对平稳

随n值变化

而各有不同

x存在一个x0，当x>x0时，有logax

ax

【例1】

某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种投资生产，打入国际市场，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：

甲产品

乙产品

年固定成本

(万美元)

20

40

每件产品成

本(万美元)

每件产品销售

价(万美元)

10

18

每年最多可

生产件数

200 120 2a 8

其中年固定成本与年生产的件数无关，a为常数，且3≤a≤8.另外，年销售x件乙产品时需上交0.05x万美元的特别关税．

(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1、y2与生产相应产品的件数x(x∈N)之间的函数关系式；

(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润．

【变式训练1】为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，12月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝x－200x＋80 000，且每处理一2吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元．则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

考点二 分段函数模型的应用 【例2】国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．

(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；

(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

【变式训练2】某商场从2016年1月份起的前x个月，顾客对某商品的需求总量p(x)(单位：件)与x的关1*系近似地满足p(x)＝x(x＋1)(39－2x)(其中x∈N，且x≤12)，该商品第x月的进货单价q(x)(单位：元)2与x的近似关系是

*150＋2xx∈N，且1≤xq(x)＝160185－x∈N*，且7≤xx，

(1)写出2016年第x月的需求量f(x)(单位：件)与x的函数关系式；

(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问该商场2016年第几个月销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？

考点三

指数函数、对数函数模型的应用 【例3】

已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是θ＝m·2＋2并且m>0) (1)如果m＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度；

(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．

【变式训练3】某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋bt1－t(t≥0，(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．

解函数应用题的一般程序[来源:Zxxk.Com]

第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；

第三步：解模——求解数学模型，得到数学结论；[来源:学,科,网Z,X,X,K]

第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；

第五步：反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．

课后作业

1.已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到(

) A.100只 C.300只

B.200只

D.400只

2．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，则汽车离A地的距离S(千米)表示为时间t(小时)的函数解析式是________．

3.有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为________．(围墙厚度不计)

4．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是________．

5．函数模型y＝0.25x，y＝log2x＋1，y＝1.002，随着x的增大，增长速度的大小关系是________．

6．[2016·四川卷]某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(

) (参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)

A．2018年

C．2020年

7．[2015·北京卷]汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(

) B．2019年

D．2021年

x

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条

件下，在该市用丙车比用乙车更省油

8．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是(

) A．560万元 C．350万元

9．某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(

) A．2017年 C．2019年

10．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m的，按每立方米m元收费；用水超过10 m的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为(

) A．13 m C．18 m

11．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是(

) A．10.5万元 C．43万元

12．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝e(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．

13．[2015·四川卷]某食品的保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekxb(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h，在22 ℃的保鲜时间是48 h，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________h ＋23333B．420万元

D．320万元[来源:学科网]

B．2018年

D．2020年

B．14 m

D．26 m

33B．11万元

D．43.025万元

kt