小结课堂实录【2】

函数的应用小结教案

一、本章内容

1．函数与方程思想 函数与方程思想是密切相关的：函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，亦即函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，也可以说是函数f(x)的函数值等于0时自变量x的值．因此，解题中可以应用函数与方程思想，将函数问题转化为方程(或方程组)问题，通过解方程(或方程组)或者运用方程的性质来分析、转化问题，使问题得以解决；也可以通过构造函数将方程问题转化为函数问题，从而把给定问题转化为研究辅助函数的性质(单调性、奇偶性、图象的交点个数、最值等)问题，研究后得出所需要的结论．

2．函数零点的存在性定理的应用和使用条件 函数零点的存在性定理是本章的重点，其应用十分广泛．例如：判断函数零点所在的大致区间，二分法求方程的近似解等．

(1)该定理的条件是：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的；②f(a)·f(b)<0，即f(a)和f(b)的符号相反．这两个条件缺一不可．

(2)该定理的结论是“至少存在一个零点”，仅仅能确定函数零点是存在的，但是不能确定函数零点的个数．

3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点情况 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数取决于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ的符号，具体情况如下：

(1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，这时二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个零点；

(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，这时二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有一个零点；

(3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，这时二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)没有零点．

4．不同函数增长模型的对比 “直线上升”“指数爆炸”“对数增长”分别反映了一次函数、指数函数、对数函数的增长趋势，幂函数的增长介于指数函数与对数函数之间．即总会存在一个x0，使得当x>x0时，有logax1，n>0)．

5．函数的应用举例要点分析 (1)要解决函数应用问题，首先要增强应用函数的意识．一般来说，解决函数应用问题可分三步：第一步，理解题意，弄清关系；第二步，抓住关键，建立模型；第三步，数学解决，检验模型．其中第二步尤为关键．

(2)在解题中要充分运用数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想及策略，寻求解题途径．

(3)根据已知条件建立函数解析式是函数应用的一个重要方面．一般分为两类：一类是借助于生活经验、函数知识等建立函数模型，以二次函数模型为主，一般是求二次函数的最值；另一类是根据几何、物理概念建立函数模型．

二、题型讲解

题型一、函数的零点与方程的根的关系及应用

例1.(1)设函数y＝x的区间是(

) A．(0,1)

B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 31x－2与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在2(2)已知0

) A．2 B．3 C．4 D．与a的值有关

题型二、用二分法求函数的零点或方程的近似解

例2.借助计算器，用二分法求出ln(2x＋6)＋2＝3x在区间(1,2)内的近似解(精确度0.2)．

题型三、函数模型及应用

例3. 某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系如图(1)所示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如下：

t(天) 5 Q(件) 35 15 25 20 20 30 10

（图1） （图2）

(1)根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；

(2)在所给的平面直角坐标系中(如图(2)所示)，根据表中提供的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定一个日销售量Q与时间t的函数关系式；

(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)