实习作业教学实录与评析

函数奇偶性

知识梳理

1. 奇函数、偶函数的定义

（1）奇函数：设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有f(x)f(x)，

则这个函数叫奇函数.

（2）偶函数：设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有f(x)f(x)，

则这个函数叫做偶函数. （3）奇偶性：如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性. （4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数. 注意：（1）奇函数若在x0时有定义，则f(0)0．

（2）若f(x)0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数．

2．奇(偶)函数的基本性质

(1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．

(2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反．

3. 判断函数奇偶性的方法

（1）图像法

（2）定义法

1

首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

○2

确定f(－x)与f(x)的关系；

○3

作出相应结论：

○若f(－x) = f(x)

或

f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x)

或

f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

例题精讲

【例1】若函数f(x)ax2bx是偶函数，求b的值. 解：∵函数

f(x)＝ax2＋bx 是偶函数，

∴f(－x)＝f(x)．∴ax2＋bx= ax2-bx.

∴2bx=0.

∴b＝0. 【例3】已知函数f(x)1在y轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象. 2x

题型一

判断函数的奇偶性

【例4】判断下列函数的奇偶性. （1）f(x)|x|(x21)；

1

（2）f(x)x1；

x（3）f(x)|x1||x1|；

（4）f(x)x22x；

（5）f(x)1x2x21

2xx（6）f(x)2xx,x0,x0

解：（1）f(x)|x|(x21)的定义域为

R，关于原点对称．

∵f(x)|x|[(x)21]|x|(x21)f(x)

∴f(x)f(x)，即

f(x)是偶函数．

1（2）f(x)x的定义域为{x|x0}

x由于定义域关于原点不对称

故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

（3）f(x)|x1||x1|的定义域为

R，关于原点对称．

∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，

∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．

（4）f(x)x22x的定义域为{2}，

由于定义域关于原点不对称，

故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

（5）f(x)1x2x21的定义域为{1，－1}，

由f(1)0且f(1)0，所以f(x)0

所以f(x)图象既关于原点对称，又关于

y 轴对称

故f(x)既是奇函数又是偶函数．

（6）显然定义域关于原点对称．

当

x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)；

当

x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)．

2(xx)即f(x)2(xx),x0,x0

即f(x)f(x)

∴f(x)为奇函数．

题型二

利用函数的奇偶性求函数值

【例2】若

f(x)是定义在

R 上的奇函数，f(3)＝2，求

f(－3)和f(0)的值.

解：∵f(x)是定义在

R 上的奇函数，

∴f(－3)＝－f(3)＝－2，

f(0)＝0.

2

【例5】已知

f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且

f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，求g(1). 解：由

f(x)是奇函数，g(x)是偶函数

得f(x)f(x)，g(x)g(x)

所以

－f(1)＋g(1)＝2

①

f(1)＋g(1)＝4

②

由①②消掉

f(1)，得

g(1)＝3.

题型三

利用函数的奇偶性求函数解析式

【例6】已知函数f(x)是定义在

R 上的偶函数，当

x≤0

时，f(x)＝x3－x2，

当

x>0 时，求f(x)的解析式. 解：当x0时，有x0

所以f(x)(x)3(x)2x3x2

又因为f(x)在

R 上为偶函数

所以f(x)f(x)x3x2

所以当x0时，f(x)x3x2. 【例7】若定义在

R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x)ex，求g(x). 解：因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数

所以f(x)f(x)，g(x)g(x)

因为f(x)g(x)ex

①

所以f(x)g(x)ex

所以f(x)g(x)ex

②

exex由①②式消去f(x)，得g(x). 2

课堂练习



仔细读题，一定要选择最佳答案哟！

1.

函数f(x)x11x是（ ）

A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数

22.已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x1，则f(1)（ ）

x

A.2 B.1 C.0 D.-2 3. f(x)为偶函数，且当

x≥0 时，f(x)≥2，则当

x≤0时，有（ ）

A．f(x)≤2

B．f(x)≥2

C．f(x)≤－2

D.f(x)∈R

4.

已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x－2）在［0，2］上是单调减函数，则（

）

A.f（0）＜f（－1）＜f（2） C.f（－1）＜f（2）＜f（0）

B.f（－1）＜f（0）＜f（2）

D.f（2）＜f（－1）＜f（0）

D.非奇非偶函数

5.已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是（

）

A.奇函数

B.偶函数

C.既奇且偶函数

6.

定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，又f（－3）=0，则不等式xf（x）＜0的

3

解集为（

）

A.（－3，0）∪（0，3）

B.（－∞，－3）∪（3，+∞）

D.（－∞，－3）∪（0，3）

C.（－3，0）∪（3，+∞）

7.

若f(x)在[－5,5]上是奇函数，且f(3)

) A．f(－1)

B．f(0)>f(1)

C．f(2)>f(3)

D．f(－3)

) A．为减函数，最大值为3 B．为减函数，最小值为－3 C．为增函数，最大值为－3 D．为增函数，最小值为3 9.下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是(

) A．y＝x^3

B．y＝－x^2＋1 C．y＝|x|＋1

A．1

C．0

D．y＝2－|x| 10.若函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝(

) B．－1 D．不存在

11.偶函数y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，则方程f(x)＝0的所有根之和为________．

12.如图，给出了偶函数y = f (x)的局部图象，试比较f (1)与

f (3) 的大小.

13.

已知函数f(x)xpm(p0)是奇函数，求m的值. x– 3 – 1 O x y 2

14.

已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．

4

15.定义在(－1,1)上的奇函数f(x)是减函数，且f(1－a)＋f(1－a2)<0，求实数a的取值范围．

16.函数f(x)＝

17.判断函数f(x)(1x)

ax＋b122＝，求函数f(x)的解析式

是定义在(－1,1)上的奇函数，且f51＋x21x的奇偶性. 1x

5