小结多媒体教案及点评

必修1第二章基本初等函数1 核心知识归纳

一、指数函数

1．根式

n一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.式子a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．

a（a≥0），(1)当n为奇数时，a＝a；当n为偶数时，a＝|a|＝

－a（a＜0）.nnnnn(2)0的任何次方根都是0，记作0＝0. (3)负数没有偶次方根．

2．分数指数幂

mn(1)正数的正分数指数幂：an＝am(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

(2)正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿，就是：amn11＝m＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

nmaan(3)0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．

(4)有理数指数幂的运算性质：ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；rrr(ab)＝ab(a>0，b>0，r∈Q)．

3．指数函数的图象和性质

函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：

a>1

0

图象

定义域

性质

值域

定点

单调性

R

(0，＋∞)

图象过定点(0，1)

在(－∞，＋∞) 上是增函数

在(－∞，＋∞) 上是减函数

xx当x>0时，a>1；

函数值的变化情况

xx当x>0时，0

时，a＝1；

x当x<0时，a>1

[说明]

(1)指数函数的底数决定其单调性，当底数不确定时，要注意分类讨论．

(2)指数函数f(x)＝ax具有性质：f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝a≠0，因此满足性质f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝a≠0的函数的一个原型就是指数函数.在解决有关抽象函数的问题时，可以借助其原型解决有关问题．

二、对数函数

1．对数的概念

一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

(1)对数式与指数式的互化：ax＝N⇔logaN＝x；

(2)负数和零没有对数，loga1＝0，logaa＝1.

2．两个重要对数

(1)常用对数：以10为底的对数lg N；

(2)自然对数：以无理数e＝2.718 28…为底数的对数ln N.

3．对数的运算性质

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：

(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；

M(2)logaN＝logaM－logaN；

(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．

4．有关对数的一些等式

logcb(1)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)；

logca(2)对数恒等式：alogaN＝N；

(3)logaan＝n. 5．对数函数的图象和性质

a>1

0

图象

定义域(0，＋∞)

值域R

性质

在(0，＋∞)上单调递增

当x>1时，y>0；当0

三、幂函数的图象与性质

函y＝x y＝x2

数

定义R

R

域

值R

{y|y≥0}

域

函y＝x y＝x2 数

奇偶奇函数

偶函数

性

单在(－∞，0) 上调在R上递增

递减，在(0，性

＋∞) 上递增

恒过定点(1，0)

非奇非偶函数

在(0，＋∞)上单调递减

当x>1时，y<0；当00

y＝x3

R

R

y＝x3 奇函数

1y＝x2

{x|x≥0}

{y|y≥0}

1y＝x2 1y＝x

{x|x≠0}

{y|y≠0}

1y＝

x非奇非偶函奇函数

数

在(－∞，0) 在R上递在(0，＋∞) 和(0，＋∞) 上增

上递增

递减

图象

过定(0，0)，(1，1) (1，1) 点

[说明]

比较两个幂的大小的方法

(1)当幂的底数相同，指数不同时，可以利用指数函数的单调性比较.

(2)当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较.

(3)当幂的底数和指数都不相同时，一种方法是作商，通过商与1的大小关系确定两个幂的大小；另一种方法是找到一个中间值，通过比较两个幂与中间值的大小，从而确定两个幂的大小．