探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系名师教学设计1

课题《反函数》

——数学说课稿及教案

广东汕头一中数学组

杨小丽

《反函数》(说课稿)

一、说教材

1.教材的地位及作用

反函数是中学数学教学的一个难点，从现行教材的整体结构看，反函数概念及其有关的结论在中学函数知识体系中占有比较重要的地位.此外，由于反函数的思维具有明显的动态性和互逆性特征，因此，反函数又是训练学生思维灵活性和创造性的良好教材.长期以来，有关反函数的题目在历届高考中屡见不鲜，一个很重要的原因就是它的综合性——涉及面比较广. 反函数是《高中代数（上册）》第一章第四单元“幂函数”的最后一个内容．在此以前，学生已学习掌握了映射、函数及其三要素（包括求函数值域的几种常用方法）、幂函数、函数的单调性和奇偶性等知识，在此基础上，进入了本节课的学习，它成了本章继集合、映射及函数之后的又一个教学重难点.它不仅要求学生能掌握反函数的概念及其表示方法，求反函数的一般步骤，而且要求要掌握好函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的定义域与值域之间的关系.学好本节课的内容，可为下一节课以及今后研究指数函数与对数函数间的联系，反三角函数的概念与性质等内容打下坚实的知识基础，因此，它是学好高中代数的一个重要环节. 2.教学内容

①

反函数的概念及其表示方法;②求反函数的一般步骤;③函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的关系. 3.教学目标

第

1

页

知识目标：理解反函数的概念（强调注意反函数的存在性）和求反函数的一般步骤（强调注意反函数的定义域），做好前后知识的联系与归纳. 能力目标：培养学生观察、类比、推理的分析能力,抽象、概括的思维能力及数形结合能力. 情感目标：引入现代教学媒体，创设问题情境，激发学生观察、分析、探求的学习热情，强化学生参与意识，增强学生学习数学的自信心和兴趣. 4.教学重点与难点

难点——反函数的存在性，反函数的定义域的求法

重点——求函数的反函数的一般步骤

二、说教法

波利亚曾经指出：“学生的数学思想只能从学生自己的头脑中产生，而教师只能起到一个‘助产婆’的作用”.教学中，应析透当前学生的思维品质,采用适当手段,引导、提升学生的思维能力. 函数思想的主体是动态变量思维,学生的常量思维要发展成变量思维,必须发生质的转变.在学习函数之前,学生的代数思维是以数字思维和静态的形式化思维为主.学生通过初中函数的学习,已初步形成函数的数值对应动态思维,但思维方向是单一的,因而,在反函数的教学中,应引导学生分散难点,层层推进,以减小学生学习反函数的困难,可把反函数知识分解为若干个基本的知识点,在教学中提前渗透一些具体的、直观的知识.在本节课之前,先安排通过由象求原象的思维训练，渗透对应互逆性；例析函数值域的求法，奠定求反函数的定义域第

2

页

的基础.在本节课的教学中再做到:进一步深化对应的互逆性，关键是对原函数与其反函数的对应互逆性的理解；突出反函数对应的单值性，掌握求解析函数的反函数的一般步骤.而在下一节课再进一步分析y=f(x)，x=f-1(y)与y=f-1(x)的关系；发掘反函数的“保质性”，提高知识的综合运用能力.如此做法，可达到“化零为整，重点突破”的效果，既降低学生学习反函数的难度，增强前后知识的联系，又提高学生思维的灵活性. 本节课主要采用谈话式兼启发式教学法，除了必要的启发指导外，尽量把知识点分解成几个既有独立性,又具相关性的问题，鼓励学生去思考、去理解、去解决问题,，引导学生一步步地消化认识，直至对知识的真正掌握及能力的提升.教师则在学习活动中扮演好“促进者”的角色.

三、说学法

1.一个函数是否存在反函数是由确定这个函数的对应是否是“一一对应”来判定的. 2.求函数的反函数的一般步骤是：①由y=f(x)解出x=f

-1(y)；②确定原函数的值域；③对调字母x、y，得出矫形反函数y=f-1(x)并写出它的定义域，即给出反函数. 3.函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的关系:①原函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域;②如果函数y=f(x)存在反函数,那么函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)必互为反函数. 4．几个相关结论（【幻灯片15】）

四、说课程设计

第

3

页

教学环节

(一)

导

入

新课（约3分钟）教

学

过

程

前面我们已学过了映射、函数等概念。映射是一个集合的元素与另一个集合的元素的一种对应关系，它只能有“一对一”和“多对一”两种形式。

【提问】函数是定义域到值域的映射,它的三要素是什么? 【学生回答】定义域、值域和对应法则

【提问】那么，判断两函数是否是同一函数的标准又是什么？

【学生回答】两函数的对应法则与定义域是否相同。

因此，决定一个函数应有二个因素——对应法则和定义域。考察一个函数，不但要考察它的对应法则，而且还要考察它的定义域。

【幻灯片3】

当这个确定函数的映射是“一对一”时，集合B到集合A就存在着一种对应，这种对应仍然是“一对一”。

这个对应是原映射的逆映射，它也确定了一个函数，这个函数就是原函数yf(x)的反函数。今天，让我们来学习反函数。

设计意图

“反函数的存在性”是本节课的难点之一，先由学生已经掌握的映射、函数等概念入手来学习反函数的概念，既可使这一教学难点的教学不会显得过于抽象，又可加强前后知识的联系。

可为下面教学过程中强调注意反函数的定义域埋下伏笔。

有利于学生对原函数与其反函数的对应互逆性的理解.

展示

课题

(二)

讲授新课（约22分钟）

【板书1】1.11反函数

【板书1】1、反函数的定义

引起学生注意，明确学习目标。

反函数的存在性是反函数概念的深层次的理解。只有发掘概念的本质，学生才有可能完成由初步认知到真正理解，掌握形成能力的飞跃。

yfx的反函数：yf1x

【强调】根据反函数的定义：一个函数如果满足对于值域B中的任何一个y，定义域A中都有唯一确定的值x和它对应，则它存在反函数，也就是说，它存在反函数的前提是：一一对应。通俗地讲，就是对于不同的y值有不同的x值与它对应。

【设问】是不是每一个函数都有反函数呢？（稍作停顿）下面让我们以几个函数为例来进行分析，现在请大家看例题。

【板书4】例题

首先让我们先来分析第（1）小题。

【幻灯片4】说明：把第（1）小题的判断过程边讲边由电脑显示出来，然后把判断结果以“√”（存在）或“×”（不存在）的形式写在相应题目的后面，以下几个小题也如此。

下面让我们来分析第（2）小题。

第

4

页

教学环节

教

学

过

程

【分析】它是一个二次函数，同时又是一个偶函数，当x1或x1时，它所对应的y值都是1。因此，这个函数确定的对应不是

“一一对应”，我们可以得出结论：函数yx2

这种判别反函数存在性的方法是从定(xR)不存在反函数。义上来加以判定的，它不是唯一的判定途径，有时我们还可以从函数的图象上来对反函数的存在性进行判定。

【幻灯片5】

由于函数yx2(xR)与函数ya（a为常数）的图象有可能出现两个交点的情况，这就相当于x为a或a（a>0）时所对应的y值都是a。因此,函数yx(xR)不存在反函数。

【设问】这个函数不存在反函数，是不是因为“它是偶函数”2设计意图

从图象上来判定函数的反函数的存在与否，可深化学生对反函数概念的理解，同时，它也是一种培养学生数形结合能力的训练。

这个设问可使本节课在小结部分第4点的第①个结论的提出不显得突然,起到一点铺垫的作用.

可使由第（2）小题到第（3）小题的过渡显得自然。

函数的定义域是函数的三要素之一，定义域不同的二个函数必为不同的函数。对于这个问题的教学，本节课分二步进行：①通过对例题的第（2）与第（3）小题函数反函数的存在性的分析，引导学生明确函数的定义域对函数的反函数存在性有影响。②通过例题（3）的反函数的求解过程，引导学生明确原函数的定义域对原函数的值域（即反函数的定义域）和求反函数过程中的符号的取舍也都有影响.

（二）讲授新课（约22分钟）

的缘故呢？

从图象上来看，如果函数的反函数存在并且它的图象与平行于x轴的直线ya（a为常数）相交，那么交点只能有且只有一个。

【幻灯片6】结论

【设问】那么，是不是所有函数解析式为yx的函数都不存在反函数呢？

让我们来从第（3）小题的图象特征来分析它的反函数是否存在。

【幻灯片7】

由于函数yx(x<0)的图象与函数ya（a为常数）的图象最多只能有一个交点，即不同的y值必有不同的x值与它对应，故函数yx(x<0)存在反函数。看来，函数的定义域不同将影响其反函数的存在与否。

下面，让我们来分析第（4）个小题。

【幻灯片8】

【分析】从变形后的式子我们可以看出，不同的x值必有不同的y值与它对应，故反函数存在。

从上面的分析我们可以得出结论：并不是每一个函数都存在反函数。那么，当一个函数存在反函数时，如何来得到

第

5

页

222

教学环节

教

学

过

程

它的反函数呢？这个问题就是我们这节课要学习的第二个问题。

【幻灯片9】求第（1）个函数的反函数的解题过程。

【强调】求反函数的三个步骤。

我们再来看第（3）小题，原函数存在反函数，我们可以

仿照以上例子来求出它的反函数。

【板书5】

看来函数的定义域不但影响了反函数的存在性，而且如果这个函数存在反函数，那么它的定义域还将影响原函数的值域（即反函数的定义域）和求反函数过程中的符号的取舍。这正印证了我们前面的一个结论：考察一个函数，不能只考察它的对应法则，还必须考察它的定义域。因此在判断一个函数是否存在反函数和求反函数的过程中的每一步骤，都不能忽视“原函数的定义域是什么？”这个问题。存在反函数的函数的定义域、值域与它的反函数的定义域、值域有着密切的联系。

【板书3】

【幻灯片10】关系①

接下来让我们一起来解第(4)小题

【幻灯片11】第(4)小题解题过程

引导学生注意课本P61第15~16行内容:如果函数yf(x)的反函数是yf1设计意图

与本节课的引入呼应，以具体的例子来强调要注意原函数的定义域对求反函数的过程的影响，以及原函数的反函数应包括它的定义域。

例题中有三个函数存在反函数，三个小题的求反函数教法按顺序分别处理成：初步认识（以第（1）小题为例，幻灯片分步显示解题过程）

实际操作介绍（教师边板书边强调注意事项）

检验效果

（由学生集体回答，幻灯片跟踪显示，来检验校正解题过程）。

巩固本节课的几个知识点，发现问题可以得到及时解决。

本节课第3个问题的第①个关系的应用。

（二）讲授新课（约22分钟）

x,那么函数yf1x的反函数就是yf(x). （三）x5巩(xR,且x)的反函数是

.

1. 函数y固3x53练习5x1(xR,且x). 答案:y及3x13其评x5讲(xR,且x)的值域是

.

函数y3x53（约118答案:(,)(,)

分33钟）2. 函数yx249(x7)的值域是

,

第

6

页

【幻灯片12】巩固练习:

教学环节

（三）巩固练习及其评讲（约8分钟）

教

学

过

程

它的反函数是

. 答案:①0, ②yx249(x0)

【演示仪】显示学生第1、2题解题过程并评讲。

【幻灯片13】

设计意图

进一步深化对应的互逆性。

13．问题“已知函数f(x)x(x1)有反函数，求x10f1()的值。”的解题过程是否一定要求出f1(x)？

310【分析】“求反函数中自变量取时所对应的函数值。”相310当于问“原函数中自变量取何值时，所对应的函数值为

3？”，故可不必求出f。

【幻灯片14】

1. 函数存在反函数的前提是：一一对应。

2. 求函数的反函数的一般步骤是：

①

解出xf11(x)。

以简单的函数为例来解释这几个相关结论，让学生有个初步了解，不作深入研究或证明。

【幻灯片17】解答第三题

(y)；

②

确定原函数的值域；

③

写出反函数(包括它的定义域)。

(四)小结约4分钟() 3. 函数yf(x)与其反函数yf义域；

②

如果函数存在反函数，那么函数与其反函数必互为反函数。

【幻灯片15】

4. 几个相关结论: ①

定义域不是单元素集0的偶函数没有反函数。

②

奇函数不一定有反函数。若奇函数有反函数,则其反函数必为奇函数。

③

单调函数必有反函数。

1(x)的关系：

①

反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定第

7

页

教学环节

(五)课后思考题约2分钟()

(六)作业布置约1分钟()

教

学

过

程

1.“偶函数一定没有反函数”，对吗? 2. 举出二个奇函数的例子,其中一个存在反函数,一个不存在反函数。

3. 单调函数为什么必有反函数? 4. 预习课本P.62第1.12节内容,并思考下列问题：

【幻灯片

1６】

①

函数yf(x)与yf么？

②

若函数yf(x)与yf点都在直线yx上吗？

课本P.65.

3．求下列函数的反函数：

11设计意图

问题1~3可作为本节的机动问题，如果时间比较宽松，就当堂解答全部或部分问题；如果时间不允许，就作为课后思考题，下一节课的复习提问再给予解决。

问题4是下一节课的预习思考题，让学生带着问题去预习课本的内容，对他(x)的图象有何关系？为什(x)的图象有交点，其交（她）们的预习可起到一定的指导作用，激发学生的求知欲望，培养学生学习数学的兴趣。

知识巩固和教学反馈。

2x1(x). 5x15524．已知函数y254x(x[0,])，求它的反函数，并2（5）yx2(xR)；（6）y指出反函数的定义域。

35附带资料说明: 附1—

板书设计

（第

15 页）

附2—《反函数》教学流程图

（第

16 页）

附3—《反函数》教学课件

（第

17—19 页）第

8

页

《反函数》（教案）

课题

反函数

知识目标

理解反函数的概念（强调注意反函数的存在性）和求反函数的一般步骤（强调注意反函数的定义域），做好前后知识的联系与归纳。

培养学生观察、类比、推理的分析能力,抽象、概括的思维能力及数形结合能力。

引入现代教学媒体，创设问题情境，激发学生观察、分析、探求的学习热情，强化学生参与意识，增强学生学习数学的自信心和兴趣。 教学目标能力目标

情感目标

教学重点

教学难点

课型

授课时数

教学方法

采用教学媒体

求函数的反函数的一般步骤

反函数的存在性，反函数的定义域的求法

新授课

1课时（45分钟）

采用谈话式兼启发式教学法

数学教学课件及电脑，实物投影仪

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页

教学环节

(一)

导

入

新课（约3分钟）教

学

过

程

前面我们已学过了映射、函数等概念。映射是一个集合的元素与另一个集合的元素的一种对应关系，它只能有“一对一”和“多对一”两种形式。

【提问】函数是定义域到值域的映射,它的三要素是什么? 【学生回答】定义域、值域和对应法则

【提问】那么，判断两函数是否是同一函数的标准又是什么？

【学生回答】两函数的对应法则与定义域是否相同。

因此，决定一个函数应有二个因素——对应法则和定义域。考察一个函数，不但要考察它的对应法则，而且还要考察它的定义域。

【幻灯片3】

当这个确定函数的映射是“一对一”时，集合B到集合A就存在着一种对应，这种对应仍然是“一对一”。

这个对应是原映射的逆映射，它也确定了一个函数，这个函数就是原函数yf(x)的反函数。今天，让我们来学习反函数。

设计意图

“反函数的存在性”是本节课的难点之一，先由学生已经掌握的映射、函数等概念入手来学习反函数的概念，既可使这一教学难点的教学不会显得过于抽象，又可加强前后知识的联系。

可为下面教学过程中强调注意反函数的定义域埋下伏笔。

有利于学生对原函数与其反函数的对应互逆性的理解.

展示

课题

(二)

讲授新课（约24分钟）

【板书1】1.11反函数

【板书1】1、反函数的定义

引起学生注意，明确学习目标。

反函数的存在性是反函数概念的深层次的理解。只有发掘概念的本质，学生才有可能完成由初步认知到真正理解，掌握形成能力的飞跃。

yfx的反函数：yf1x

【强调】根据反函数的定义：一个函数如果满足对于值域B中的任何一个y，定义域A中都有唯一确定的值x和它对应，则它存在反函数，也就是说，它存在反函数的前提是：一一对应。通俗地讲，就是对于不同的y值有不同的x值与它对应。

【设问】是不是每一个函数都有反函数呢？（稍作停顿）下面让我们以几个函数为例来进行分析，现在请大家看例题。

【板书4】例题

首先让我们先来分析第（1）小题。

【幻灯片4】说明：把第（1）小题的判断过程边讲边由电脑显示出来，然后把判断结果以“√”（存在）或“×”（不存在）的形式写在相应题目的后面，以下几个小题也如此。

下面让我们来分析第（2）小题。

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页

教学环节

教

学

过

程

【分析】它是一个二次函数，同时又是一个偶函数，当x1或x1时，它所对应的y值都是1。因此，这个函数确定的对应不是

“一一对应”，我们可以得出结论：函数yx2

这种判别反函数存在性的方法是从定(xR)不存在反函数。义上来加以判定的，它不是唯一的判定途径，有时我们还可以从函数的图象上来对反函数的存在性进行判定。

【幻灯片5】

由于函数yx2(xR)与函数ya（a为常数）的图象有可能出现两个交点的情况，这就相当于x为a或a（a>0）时所对应的y值都是a。因此,函数yx(xR)不存在反函数。

【设问】这个函数不存在反函数，是不是因为“它是偶函数”2设计意图

从图象上来判定函数的反函数的存在与否，可深化学生对反函数概念的理解，同时，它也是一种培养学生数形结合能力的训练。

这个设问可使本节课在小结部分第4点的第①个结论的提出不显得突然,起到一点铺垫的作用.

可使由第（2）小题到第（3）小题的过渡显得自然。

函数的定义域是函数的三要素之一。定义域不同的二个函数必为不同的函数。对于这个问题的教学，本节课分二步进行：①通过对例题的第（2）与第（3）小题函数反函数的存在性的分析，引导学生明确函数的定义域对函数的反函数存在性有影响。②通过例题（3）的反函数的求解过程，引导学生明确原函数的定义域对原函数的值域（即反函数的定义域）和求反函数过程中的符号的取舍也都有影响.

（二）讲授新课（约24的缘故呢？

从图象上来看，如果函数的反函数存在并且它的图象与平行于x轴的直线ya（a为常数）相交，那么交点只能有且只有一个。

【幻灯片6】结论

【设问】那么，是不是所有函数解析式为yx的函数都不存在反函数呢？

让我们来从第（3）小题的图象特征来分析它的反函数是否存在。

【幻灯片7】

由于函数yx(x<0)的图象与函数ya（a为常数）的图象最多只能有一个交点，即不同的y值必有不同的x值与它对应，故函数yx(x<0)存在反函数。看来，函数的定义域不同将影响其反函数的存在与否。

下面，让我们来分析第（4）个小题。

【幻灯片8】

【分析】从变形后的式子我们可以看出，不同的x值必有不同的y值与它对应，故反函数存在。

从上面的分析我们可以得出结论：并不是每一个函数都存在反函数。那么，当一个函数存在反函数时，如何来得到

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222分钟）

教学环节

教

学

过

程

它的反函数呢？这个问题就是我们这节课要学习的第二个问题。

【幻灯片9】求第（1）个函数的反函数的解题过程。

【强调】求反函数的三个步骤。

我们再来看第（3）小题，原函数存在反函数，我们可以

仿照以上例子来求出它的反函数。

【板书5】

看来函数的定义域不但影响了反函数的存在性，而且如果这个函数存在反函数，那么它的定义域还将影响原函数的值域（即反函数的定义域）和求反函数过程中的符号的取舍。这正印证了我们前面的一个结论：考察一个函数，不能只考察它的对应法则，还必须考察它的定义域。因此在判断一个函数是否存在反函数和求反函数的过程中的每一步骤，都不能忽视“原函数的定义域是什么？”这个问题。存在反函数的函数的定义域、值域与它的反函数的定义域、值域有着密切的联系。

【板书3】

【幻灯片10】关系①

接下来让我们一起来解第(4)小题

【幻灯片11】第(4)小题解题过程

引导学生注意课本P61第15~16行内容:如果函数yf(x)的反函数是yf1设计意图

与本节课的引入呼应，以具体的例子来强调要注意原函数的定义域对求反函数的过程的影响，以及原函数的反函数应包括它的定义域。

例题中有三个函数存在反函数，三个小题的求反函数教法按顺序分别处理成：初步认识（以第（1）小题为例，幻灯片分步显示解题过程）

实际操作介绍（教师边板书边强调注意事项）

检验效果

（由学生集体回答，幻灯片跟踪显示，来检验校正解题过程）。

巩固本节课的几个知识点，发现问题可以得到及时解决。

本节课第3个问题的第①个关系的应用。

（二）讲授新课（约24分钟）（三）x5巩(xR,且x)的反函数是

.

1. 函数y固3x53练习5x1(xR,且x). 答案:y及3x13其评x5讲(xR,且x)的值域是

.

函数y3x53（约11答案:(,)(,)

33分钟2. 函数yx249(x7)的值域是

, ）

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x,那么函数yf1x的反函数就是yf(x). 【幻灯片12】巩固练习:

教学环节

（三）巩固练习及其评讲（约10教

学

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它的反函数是

. 答案:①0, ②yx249(x0)

【演示仪】显示学生第1、2题解题过程并评讲。

【幻灯片13】

设计意图

进一步深化对应的互逆性。

分钟）13．问题“已知函数f(x)x(x1)有反函数，求x10f1()的值。”的解题过程是否一定要求出f1(x)？

310【分析】“求反函数中自变量取时所对应的函数值。”相310当于问“原函数中自变量取何值时，所对应的函数值为

3？”，故可不必求出f1(四)小结约分钟)

(5(x)。

以简单的函数为例来解释这几个相关结论，让学生有个初步了解，不作深入研究或证明。

【幻灯片17】解答第三题。

【幻灯片14】

1. 函数存在反函数的前提是：一一对应。

2. 求函数的反函数的一般步骤是：

①

解出xf1(y)；

②

确定原函数的值域；

③

写出反函数(包括它的定义域)。

3. 函数yf(x)与其反函数yf义域；

②

如果函数存在反函数，那么函数与其反函数必互为反函数。

【幻灯片15】

4. 几个相关结论: ①

定义域不是单元素集0的偶函数没有反函数。

②

奇函数不一定有反函数。若奇函数有反函数,则其反函数必为奇函数。

③

单调函数必有反函数。

1(x)的关系：

①

反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定第

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教学环节

(五)课后思考题约2分钟()

(六)作业布置约1分钟()

教

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1.“偶函数一定没有反函数”，对吗? 2. 举出二个奇函数的例子,其中一个存在反函数,一个不存在反函数。

3. 单调函数为什么必有反函数? 4. 预习课本P.62第1.12节内容,并思考下列问题：

【幻灯片

1６】

①

函数yf(x)与yf么？

②

若函数yf(x)与yf点都在直线yx上吗？

课本P.65.

3．求下列函数的反函数：

11设计意图

问题1~3可作为本节的机动问题，如果时间比较宽松，就当堂解答全部或部分问题；如果时间不允许，就作为课后思考题，下一节课的复习提问再给予解决。

问题4是下一节课的预习思考题，让学生带着问题去预习课本的内容，对他(x)的图象有何关系？为什(x)的图象有交点，其交（她）们的预习可起到一定的指导作用，激发学生的求知欲望，培养学生学习数学的兴趣。

知识巩固和教学反馈。

2x1(x). 5x15524．已知函数y254x(x[0,])，求它的反函数，并2（5）yx2(xR)；（6）y指出反函数的定义域。

35附带资料说明: 附1—

板书设计

（第

15 页）

附2—《反函数》教学流程图

（第

16 页）

附3—《反函数》教学课件

（第

17—19 页）

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附1 《反函数》板书设计

解:(3)由yx2x0, 得

5 反函数

1

1.反函数的定义

xy

yf(x)的反函数yf1(x)

①解出xf1y

2．求反函数的一般步骤

2

y0

①、

②、

③

②确定原函数的值域

原函数的反函数是

3

1yxx0

3.函数yf(x)与yf(x)的

关系：①、②

③写出yf1(x)及其定义域

说明：板书5中的三个虚线方框拟用红色表示

例：判断下列函数是否存在

4 反函数。如果存在，求它的反

函数。

1y3x1(xR)√

2yx2(xR)×

第

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3yx2(x0)√

(4)y2x3(xR且x1)√

x1第

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