探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系优质教案设计

对数函数（第三课时）反函数

谢玉平

教学目标：

1.知识与技能

理解指数函数与对数函数的依赖关系，了解反函数的概念，加深对函数的模型化思想的理解．

2.过程与方法

通过作图，体会两种函数的单调性的异同．

3.情感、态度、价值观

对体会指数函数与对数函数内在的对称统一．

教学重点：掌握对数函数的图象和性质．

教学难点：对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用．

教学过程

教学程序与环节设计：

创设情境

组织探究

尝试练习

巩固反思

作业回馈

课外活动

教学过程与操作设计：

环节

创

设

情

材料一：

呈现教学材料

师生互动设计

生：独立思考完成，讨论展示并分析自己的当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定结果．

的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，

师：引导学生分析归这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了纳，总结概括得出结生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系．回论：

备注

由函数的观点分析例题，引出反函数的概念．

两种函数的内在联系，图象关系．

简单的反函数问题，单调性问题．

从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数函数的定义、图象、性质作一小结．

简单的反函数问题，单调性问题．

互为反函数的函数图象的关系．

境

答下列问题：

（1）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？

（2）已知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？

（3）这两个函数有什么特殊的关系？

（4）用映射的观点来解释P和t之间的对应关系是何种对应关系？

（5）由此你能获得怎样的启示？

（1）P和t之间的对应关系是一一对应；

（2）P关于t是指数函数P(57301x)；

2t关于P是对数函数tlog573012x，它们的

材料二：

由对数函数的定义可知，对数函数ylog2x是把指数函数y2x中的自变量与因变量对调位置而得出的，在列表画ylog2x的图象时，也是把指数函数y2x的对应值表里的x和y的数值对换，而得到对数函数ylog2x的对应值表，如下：

表一

y2x．

环节

呈现教学材料

底数相同，所描述的都是碳14的衰变过程中，碳14含量P与死亡年数t之间的对应关系；

（3）本问题中的同底数的指数函数和对数函数，是描述同一种关系（碳14含量P与死亡年数t之间的对应关系）的不同数学模型．

师生互动设计

生：仿照材料一分析：x

…

-3 -2 -1 0 111y…

8421

表二

ylog2x．

1 2 2 4 3 …

8 …

y2x与ylog2x的关系．

师：引导学生分析，讲评得出结论，进而引出反函数的概念．

x

…

-3 -2 -1 0 1 2 3 …

111y

…

421 2 4 8 …

8

在同一坐标系中，用描点法画出图象．

组织探究

材料一：反函数的概念：

当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．

由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对数函数互为反函数．

材料二：以y2与ylog2x为例研究互为反函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的联系？

x师：说明：

（1）互为反函数的两个函数是定义域、值域相互交换，对应法则互逆的两个函数；

（2）由反函数的概念可知“单调函数一定有反函数”；

（3）互为反函数的两个函数是描述同一变化过程中两个变量关系的不同数学模型．

师：引导学生探索研究材料二．

生：分组讨论材料二，选出代表阐述各自的结论，师生共同评析归纳．

生：独立完成．

尝试练习

巩固反思

作业反馈

求下列函数的反函数：

（1）y3；

（2）ylog6x

从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数函数的定义、图象、性质作一小结．

1．

求下列函数的反函数：

x

1 2 3 y

3 5 7 x4 9

环节

呈现教学材料

师生互动设计

4

y

答案：

3 5 7 9

2．（1）试着举几个满足“对定义域内任意实数1．互换x、y的数值．a、b，都有f (a·b) = f ( a ) + f ( b ) ．”的函数实例，2．略．

你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？

（2）试着举几个满足“对定义域内任意实数a、b，都有f (a + b) = f ( a )·f ( b ) ．”的函数实例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？

1 2 3 我们知道，指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，那么，它们的图象有什么关系呢？运用所学的数学知识，探索下面几个问题，亲自发现其中的奥秘吧！

问题1

在同一平面直角坐标系中，画出指数函数y2x及其反函数ylog2x的图象，你能发现这两个函数的图象有什么特殊的对称性吗？

问题2

取y2x图象上的几个点，说出它们x

课外活动

关于直线yx的对称点的坐标，并判断它们是否在ylog2x的图象上，为什么？

问题3

如果P0（x0，y0）在函数y2x的图象上，那么P0关于直线yx的对称点在函数结论：

互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称．

ylog2x的图象上吗，为什么？

问题4

由上述探究过程可以得到什么结论？

问题5

上述结论对于指数函数yax

(a0，且a1)及其反函数ylogax(a0，且a1)也成立吗？为什么？

反思