3.4.1 函数与方程ppt课件教学实录

函数图像、函数与方程

适用学科

数学

适用年级

高三（文）

适用区域

通用

课时时长（分钟）

45 函数图象变换

知识点

方程的根与函数的零点

函数与方程的综合问题

1.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解教学目标源:Z.xx.k.Com][来的问题．

2.会用数形结合思想、转化与化归思想解决函数问题.

1.对图象的判断主要有以下两种：

(1)根据所给函数解析式，利用其与基本初等函数的关系以及它们之间的变化规律，根据图象变换得出所求函数的图象

教学重点

(2)根据函数的性质(如：奇偶性、单调性、周期性等)或函数图象的特殊点得出所求函数的图象

2.图象的应用主要有以下几个方面：求函数的值域、单调区间，求参数的取值范围，判断非常规解的个数等

(1)结合函数与方程的关系，求函数的零点；

(2)结合根的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点及零点个数(方教学难点

程是否存在实数根及方程根的个数)进行判断

(3)利用零点(方程实根)的存在性求相关参数的值或范围.

教学过程

一、知识讲解

考点/易错点1函数图像及其变换

（1）平移变换

h0,左移h个单位yf(x)yf(xh)h0,右移|h|个单位k0,上移k个单位yf(x)yf(x)kk0,下移|k|个单位

（2）伸缩变换

01,伸yf(x)yf(x)

1,缩0A1,缩yf(x)yAf(x)

A1,伸

（3）对称变换

y轴x轴yf(x)yf(x)

yf(x)yf(x)

直线yx原点yf(x)yf(x)

yf(x)yf1(x)

去掉y轴左边图象yf(x)yf(|x|)（右翻左）

保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留x轴上方图象yf(x)y|f(x)|（下翻上）

将x轴下方图象翻折上去考点/易错点2方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。

2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。即：

方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

3、零点存在定理：如果函数yfx在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fafb0，那么函数yfx在区间a,b内有零点，即存在ca,b，使得fc0，这个c也就是方程fx0的根. 4、函数零点的求法：

判断函数yf(x)零点个数的方法：

(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；

(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才

能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质；

(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

二、例题精析

例1：函数

f(x)＝x2－x

－2的零点为________.

1f

(

x

)



ln(例2、已知函数

x



1

)



，判断函数零点的个数

x

练习：

1.f(x)2xx24的零点个数为___________变式：函数f(x)ax24x2,在x(0,1)内有零点，求实数a的范围

x

例3、函数f

2.f(x)2|log0.5x|1的零点个数为_________(x)ax24x2只有一个零点，求实数a的值练习1、f(x)x2xa在（1，1）上有零点，求a的范围3x3a22、关于x的方程（）有负根,求a的范围45a例4、若函数f(x)|2x2|b有两个零点，求实数b的取值范围求实数b的取值范围变式：若函数f(x)2|x2|b有两个零点，

例5、若直线y2a与函数y|xa|1的图象只有一个交点，求a的值

变式：y2与y|xa|x（a0）的图象有2个交点，求a的范围2例6、已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在(0,)上有一个零点，则f(x)的零点个数为________1例7、已知f(x)满足f(x1),且f(x)f(x)是偶函数，当x[1,0]时，f(x)x,若2在区间[1,3]内，函数g(x)f(x)loga(x2)有4个零点，求实数a的取值范围。三、课程小结

1．函数图像及其变换

(1)平移变换；(2)伸缩变换；(3)对称变换

2．判断函数零点所在区间的方法

判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．

3．判断函数零点个数的方法

(1)解方程法；(2)零点存在性定理法；(3)数形结合法

4．已知函数有零点方程有根求参数值常用的方法和思路

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.

课后作业

【基础】

1．若函数f(x)＝x－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx－ax－1的零点是_______ 2211

【答案】（－，－）

23

【解析】∵函数f(x)＝x－ax－b的两个零点为2和3，

2＋3＝a，∴即a＝5，b＝－6. 2×3＝－b，2

11∴g(x)＝bx2－ax－1＝－6x2－5x－1，令g(x)＝0，得x＝－或－. 232

2．（2013·朝阳模拟）函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范x围是（

）

A．(1,3)

【答案】C

【解析】由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得0

B．(1,2)

C．(0,3)

D．(0,2)

3．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是（

）

A．(－2，－1)

【答案】C

【解析】因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(－2)＝e－4<0，f(－1)＝e－2－1

B．(－1，0)

C．(0，1)

D．(1，2) －3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，f(2)＝e2>0，所以f(0)·f(1)<0，故函数的零点所在的一个区间是(0,1)．

1|x|

4．函数y＝2－m有两个零点，则m的取值范围是________．

【答案】(0,1)

【解析】在同一直角坐标系内，画出y1＝2和y2＝m的图象，如1|x|图所示，由于函数有两个零点，故0

5．（2013·湖南卷6）函数f(x)＝ln x的图像与函数g(x)＝x2－4x＋4的图像的交点个数为（

）

A．0

【答案】A

【解析】方法一：作出函数f(x)＝ln x，g(x)＝x－4x＋4的图像如图所示2[来源:Zxxk.Com]

B．1

C．2

D．3

可知，其交点个数为2，选C. 方法二：（数值法）

x f(x)＝ln x g(x)＝x2－4x＋4 1 0 1 2 ln 2(>0) 0 4 ln 4(<4) 4 可知它们有2个交点，选C. 【巩固】

1．下列区间中，函数f(x)|ln(2x)|在其上为增函数的是（

）

43A．(,1]

B．1,

C．0,32

【答案】D



D．1,2

【解析】函数f(x)的解析式表明其图象是由基本函数ylnx通过平移、对称和翻折等变换所得，因此应选用图象法. 对称平移翻折按ylnxyln(x)yln(2x)f(x)|ln(2x)|的程序，画出函数f(x)的图象（如图），可知函数f(x)|ln(2x)|在1,2上为增函数，故选D.

2．（2013·武汉模拟）在下列区间中，函数f(x)＝ex－4x－3的零点所在的区间为（

）

－31－，－

A．2411－，－

B．42

1－，0

C．4

10，

D．4

【答案】B

3－3－3

【解析】易知函数f(x)在R上是单调减函数．对于A，注意到f－4＝e4－4×41－1－3＝e2－1>0，因此函数f(x)＝e－x－4x－3的零－＝e2－4×＝e>0，f223111－1－3－，－上；对于B，注意到f－>0，f－＝e4－4×点不在区间2424411－，－上函数f(x)＝e－x－4x－3一定存在零＝e－2<4－2<0，因此在区间421－<0，f(0)＝－2<0，因此函数f(x)＝e－x－4x－3的零点点；对于C，注意到f4111－，0上；对于D，注意到f(0)＝－2<0，f＝e4－4×－3＝e4－不在区间4441114141341131－0，上．

4<0，因此函数f(x)＝ex－4x－3的零点不在区间4lnxx22x(x0)

3．函数f(x)＝的零点个数为（

）

4x1(x0)A．0

【答案】D

【解析】当x≤0时，函数有零点x＝－；当x>0时，作出函数y＝ln x，y＝x－2x的图象，

B．1

C．2

D．3 142观察图象可知两个函数的图象(如图)有2个交点，即当x>0时函数f(x)有2个零点．故函数f(x)的零点的个数为3.

4．（2013·杭州模拟）已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是（

）

A．f(x)＝x2－2ln |x| C．f(x)＝|x|－2ln |x|

【答案】B

【解析】由函数图象可得，函数f(x)为偶函数，且x>0时，函数f(x)的单调性为先 B．f(x)＝x2－ln |x| D．f(x)＝|x|－ln |x| 减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函

数等于0的正根，可分别得1，件．

2，2，1，由此可得仅函数f(x)＝x2－ln |x|符合条2

【拔高】

1．（2012·福建高考）对于实数a和b，定义运算“*”：

a2－ab，a≤b，a*b＝2设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有b－ab，a>b.

三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．

【答案】1－3

16，02(2x1)(2x1)(x1),x0

【解析】由定义可知，f(x)＝(2x－1)*(x－1)＝

2(x1)(2x1)(x1),x02x2－x，x≤0，即f(x)＝作出函数f(x)的图象，如图所示，

2－x＋x，x>0.

关于x的方程f(x)＝m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，即函数f(x)的图象1与直线y＝m有三个不同的交点，则00时，－x2＋x＝m，即x2－x＋m＝0，∴x2＋x3＝1，

∴0

4212x2－x＝4，1－31－3当x<0时，由得x＝，∴

∴0<－x1x2x3<3－1. 16

1－3∴

2．若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，函数g(x)lg x，x>0，0，x＝0，＝1－x，x<0，A．5

【答案】C

【解析】依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y＝f(x)与函

则方程f(x)－g(x)＝0在区间[－5,5]上的解的个数为（

）

B．7

C．8

D．10 数y＝g(x)的图象，结合图象得，当x∈[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即方程f(x)－g(x)＝0在区间[－5,5]内的解的个数是8.

π1

3．（2013·济宁模拟）函数f(x)＝3sin x－logx的零点的个数是（

）

22A．2

【答案】D

【解析】函数y＝3sin x的周期T＝

B．3

C．4

D．5 π22π1＝4，由log1x＝3，可得x＝，

π822由log1x＝－3，可得x＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函

2π数y＝3sin x和y＝log1x的图象(如图所示)，易知f(x)有5 22个零点．

4．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是（

）

A．多于4

【答案】B

【解析】由题意可知，函数y＝f(x)是周期为2的偶函数，在同一直

B．4

C．3

D．2 角坐标中作出函数y＝f(x)和y＝log3|x|的图象，如图所示，

结合图象可以知函数的零点有4个．