3.1.2 指数函数教案和学案内容

课题：2.2.2指数函数

教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书必修1 一、教学目标：

知识目标：①知道指数函数的定义；

②知道指数函数的图象和性质；感悟研究函数的规律和方法. 能力目标：①培养观察、联想、类比、猜测、归纳等思维能力；

②体会数形结合思想、分类讨论思想，增强识图用图的能力. 情感目标：①通过自主探究，体验从特殊→一般→特殊的认知过程，了解指数函数的实际背景；

②通过亲手实践，互动交流，激发学习兴趣，增强创新意识.

二、教学重点、难点：

重点：指数函数的定义，图象和性质；

难点：由指数函数图象探索并理解指数函数的性质.

三、教学工具：PPT、Excel、几何画板、实物投影仪

教学方法：探究式教学法

四、教学过程：

亲爱的同学们，我们在前面的几节课中，系统的学习了函数的概念，研究了函数的图象与性质，今天我们将在前面学习的基础上继续学习并研究一类重要的函数，请同学们先看两个实际问题：

一、

情境导入

情境一：

某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……一个这样的细胞分裂x次后，得到细胞分裂的个数为y，请写出y与x之间的关系式. y与x之间的关系式，可以表示为y2x （xN）

情境二：

某放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质1

量是原来的50%，现有该物质质量为1，经过x年的剩留量为y，请写出y与x之间的关系式. 1y与x之间的关系式，可以表示为y()x

（x0）

2二、

新知探究

（一）指数函数的定义

问题组一：

1（1）请问函数y2x和函数y()x具有哪些相同的特征？

2（2）你能否写出类似结构的函数表达式？尝试一下. （3）能否将上述几个具体的函数表达式统一写成一般的函数表达式呢？

引导学生归纳：

用字母a代替其中的底数，将上述式子表示成yax的形式. 师：这里的a是否有所限制呢？

由上一节课《分数指数幂》所学知识可知，规定底数a0，指数x的取值集合可以为全体实数.但是若底数a1，则函数为y1x，无论x取何值，y1恒成立，归为常数函数. 故引出指数函数的定义：

一般地，函数yax(a0且a1)叫做指数函数，它的定义域是R. 思考：函数yx0.6是否为指数函数呢？

同学们，我们了解了指数函数的定义以后，需要对指数函数的性质进行研究，以便帮助我们解决具体问题. （二）指数函数的图象与性质

问题组二：

（1）

我们在前面函数章节中研究了函数的哪些性质？

（2）

我们在前面函数章节中通过怎样的方法研究函数的性质？

师：我们下面分三步走来实现通过函数图象研究函数性质的目的. 11第一步：用列表描点的方法作出指数函数y2x,y()x,y3x,y()x的图象.利23用实物投影来展示学生所作图象，结合实际情况对学生所作图象作出评价.评价的主要方面有：曲线的延展性，平滑度，凹凸性，与x轴的渐进关系等.若学生作图存在问题，可以结合指数函数的定义式想象图象的特征，运用数形结合的思想方法，由数想形，有形想数，来完善指数函数图象. 2

师：刚才我们通过列表描出个别整数点的方式大致作出了指数函数11y2x,y()x,y3x,y()x的图象，那么对于指数函数更精确的图象究竟是什么23样子的呢？下面我们以指数函数y2x为例，利用计算机软件来作出它的精确图象. 第二步：用计算机软件Excel作出指数函数y2x的图象.引导学生结合图象指出指数函数的性质，完成指数函数的性质表格. 将探究得到的性质填入表格中：

函数

图

象

(0,1) a1

y 0a1

y

定义域

值域

性

质

定点

单调性

0 x 0 x o R

0,

0,1

在,上是增函数

在,上是减函数

11师：刚才我们一起研究了具体的指数函数y2x,y()x,y3x,y()x的图象与性23质，但是指数函数作为一类函数，其性质是否可以按底数a1和0a1分成两大类呢？下面我们利用计算机软件——几何画板，通过改变底数a的取值，来验证我们的猜想. 第三步：用计算机软件几何画板，演示底数a取不同值时指数函数的图象的变化

验证步骤二中总结出指数函数的性质，实现从特殊到一般地转化，总结出一类函数的性质，进一步完善表格. 师：经历了刚才的“三部曲”，我们终于探究得到了指数函数的性质，为了便于大家记忆图象与性质，老师送给大家一个“顺口溜”，请看：

3

性质概括：

大1增，小1减，图象恒过（0，1）点；

左右无限上冲天，永与横轴不沾边. 经过刚才的一番探索，我们得到了指数函数的性质，运用指数函数的性质可以帮助我们解决那些数学问题呢？

三、数学运用

例1、

比较下列各组数中两个值的大小

（1）1.52，1.53（2）1.52.5，1.53.2

（3）0.51.2，0.51.5

（4）1.50.3，0.81.2

解：（1）可直接计算；

（2）引起认知冲突，实现构造函数思想的自然引入；

（3）略

（4）构造两个指数函数y1.5x和y0.8x，由单调性易知：

1.50.31.5010.800.81.2，利用“1”架设“桥梁”. 解题反思：构造函数的思想，再运用指数函数的单调性解决问题.

练习：比较下列各组数中两个值的大小：

22（1）3.10.5,3.12.3；（2）()0.3,()0.24. 33

例2、（1）已知3x30.5，求实数x的取值范围；

（2）已知0.2x25，求实数x的取值范围. 解题反思：指数函数单调性的逆用.

练习：求满足下列条件的实数x的取值范围：

1（1）2x8；（2）()x2.

2

四、归纳总结

1、知识点上：掌握了研究具体函数的方法；掌握了指数函数的图象与性质. 2、思想方法上：（1）特殊→一般→特殊；（2）分类讨论；（3）构造函数；（4）数形结合.

五、课后巩固

P54，习题2.2(2)2、3、4

附：教学设计说明

4

*教材的地位和作用：

本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图象与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础.因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用. 此外，《指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义. *学生的学情分析：

本课时是学生在学习了分数指数幂的前提下，再进一步升华为指数函数的第一节课，它承上启下，对学生来说至关重要.学生在前面已经学过了一般函数的性质和数形结合的思想，本节课就要学以致用.高中数学应该体现以学生为主，让学生自主探索，领略数学的乐趣，教师应该在课堂上创建适当的情景让学生能在其中由浅入深的掌握知识点，教师是课堂的引领者而不是主宰者. *教师的教法分析：

本节课采用探究、比较的教学方法.通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受. *板书设计：

2.2.2指数函数

一、指数函数的定义

三、数学运用

例1、

例2、

二、指数函数的图象与性质

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