2.3 映射的概念教学设计一等奖

2．3

映射的概念

学习目标

1.了解映射的概念，掌握映射的三要素(难点)；2.会判断给出的两集合，能否构成映射(重点)．

预习教材P46－47，完成下面问题：

知识点一

映射的概念

一般地，设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从集合A到集合B的映射，记为f：A→B. 【预习评价】

下面各图表示的对应构成映射的有________．

解析

①②③这三个图所表示的对应都符合映射的定义，即A中的每一个元素在对应法则下，B中都有唯一的元素与之对应．对于④⑤，A中的每一个元素在B中有2个元素与之对应，所以不是A到B的映射；对于⑥，A中的元素a3，a4，在B中没有元素与之对应，所以不是A到B的映射．

答案

①②③

知识点二

映射与函数的关系

名称

区别与联系

函数

映射

映射中的两个集合A和B可以是数集，也可以是其他集合，只要非空即可

区别

函数中的两个集合A和B必须是非空数集

联系

函数是一种特殊的映射；映射是函数概念的推广，但不一

定是函数

【预习评价】

函数与映射有何区别与联系？

提示

函数是一种特殊的映射，即一个对应关系是函数，则一定是映射，但反之，一个对应关系是映射，则不一定是函数．

题型一

映射的判断

【例1】

以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？

(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；

(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；

(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；

(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应法则f：每一个班级都对应班里的学生．

解

(1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．

(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．

(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．

(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到集合B的一个映射．

规律方法

映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．

【训练1】

设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤4}，则下述对应法则f中，不

能构成从A到B的映射的是________．

①f：x→y＝x2

③f：x→y＝－x＋4

②f：x→y＝3x－2 ④f：x→y＝4－x2

解析

对于①，任一实数x都有唯一的x2与之对应，是映射，这个映射是一对一；对于②，任一x都有唯一3x－2与之对应，是映射，一对一．③类似于②.对于④，当x＝2时，由对应法则y＝4－x2得y＝0，在集合B中没有元素与之对应，所以④不能构成从A到B的映射．

答案

④

题型二

利用对应法则求对应元素

【例2】

设集合A和B为坐标平面上的点集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f：A→B使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，xy)，那么(1,2)在映射f作用下的对应元素为________；若在f作用下的对应元素为(－2，－3)，则它原来的元素为________．

解析

根据映射的定义，当x＝1，y＝2时，x＋y＝3，xy＝2，则(1,2)在映射f作用下的对应元素为(3,2)；

x＋y＝－2，x＝－3，x＝1，由得或

xy＝－3，y＝1y＝－3，即(－2，－3)所对应的原来的元素为(－3,1)或(1，－3)．

答案

(3,2)

(－3,1)或(1，－3) 规律方法

求一个映射(f：A→B)中，A中元素在B中的对应元素或B中元素在A中的对应元素的方法，主要是根据对应法则列方程或方程组求解．

【训练2】

已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映35射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求A中元素2在B中的对应元素和B中元素2，4在A中的对应元素．

解

将x＝2代入对应法则，可求出其在B中的对应元素为(2＋1,3)．

3x＋1＝2，由52x＋1＝4，

1可得x＝2.

135所以2在B中的对应元素为(2＋1,3)，2，4在A中的对应元素为2. 互动

探究

题型三

映射的个数问题

【探究1】

已知A＝{a，b，c}，B＝{－1,2}．

(1)从A到B可以建立多少个不同的映射？从B到A呢？

(2)若f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，则从A到B的映射中满足条件的映射有几个？

解

(1)从A到B可以建立8个映射，如下图所示．

从B到A可以建立9个映射，如图所示．

(2)欲使f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，需a，b，c中有两个元素对应－1，一个元素对应2，共可建立3个映射．

【探究2】

已知集合A＝{a，b，c}，B＝{1,2,3}，映射f：A→B满足A中元素a在B中的对应元素是1，问这样的映射有几个．

解

由已知f(a)＝1，所以，①f(b)＝f(c)＝1时有1个；

②f(b)＝f(c)＝2或f(b)＝f(c)＝3时各有1个，共2个；

③f(b)＝1，f(c)＝2时有1个；

④f(b)＝1，f(c)＝3时有1个；

⑤f(c)＝1，f(b)＝2时有1个；

⑥f(c)＝1，f(b)＝3时有1个；

⑦f(b)＝2，f(c)＝3时有1个；

⑧f(b)＝3，f(c)＝2时有1个．

综上可知，共有不同映射9个．

【探究3】

已知从集合A到集合B＝{0,1,2,3}的映射f：x→的元素最多有几个？

解

∵f：x→1是从集合A到集合B的映射，

|x|－11，则集合A中|x|－1∴A中的每一个元素在集合B中都应该有对应元素．

11令＝0，该方程无解，分别令＝1,2,3，

|x|－1|x|－134解得x＝±2，x＝±，x＝±23，

∴集合A中的元素最多有6个．

【探究4】

设M＝{a，b，c}，N＝{－2,0,2}．

(1)求从M到N的映射个数；

(2)从M到N的映射满足f(a)＞f(b)≥f(c)，试确定这样的映射f的个数．

解

(1)M中元素a可以对应N中的－2,0,2中任意一个，有3种对应方法，同理，M中元素b，c也各有3种对应方法．因此从M到N的映射个数为3×3×3＝27. (2)满足f(a)＞f(b)≥f(c)的映射是从M到N的特殊映射，可具体化，通过列表求解(如下表). f(a)

0

2

2

2

故符合条件的映射有4个．

规律方法

(1)映射是一种特殊的对应，一对一，多对一均为映射，但一对多不构成映射．

(2)判断两个集合的一种对应能否构成函数，首先判断能否构成映射，且构成映射的两个集合都是数集，这样的映射才能构成函数．

①如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么从集合A到集合B的映射共有nm个，从B到A的映射共有mn个．

②映射带有方向性，从A到B的映射与从B到A的映射是不同的．

f(b)

－2

－2

0

0

f(c) －2 －2 －2 0

课堂达标

1．若f：A中元素(x，y)对应B中的元素(x＋y，x－y)，则B中元素________与A中元素(1,2)对应，A中元素________与B中元素(1,2)对应．

1＋2＝3，解析

由得B中元素(3，－1)与A中(1,2)对应．

1－2＝－1，x＋y＝1，由得x－y＝2，

3x＝2，1y＝－2，

13所以A中元素2，－2与B中元素(1,2)对应．

13答案

(3，－1)

2，－2

2．设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{－1，－2，－3}，试问，从集合A到集合B的不同映射有________个．

解析

每个元素都有3种对应，所以3×3×3＝27. 答案

27 3．设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表：

映射f的对应法则如下：

A中元素

对应元素

映射g的对应法则如下：

A中元素

对应元素

则f(g(1))＝________. 解析

因为g(1)＝4，

所以f(g(1))＝f(4)＝1. 答案

1 4．设f：x→x2是集合A到集合B的函数，若B＝{1}，则A∩B＝________. 解析

由f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果B＝{1}，则A＝{－1,1}或A1

4

2

3

3

1

4 2 1

3

2

4

3

2

4 1

＝{－1}或A＝{1}，所以A∩B＝∅或{1}．

答案

∅或{1} 5．已知B＝{－1,3,5}，若集合A使得f：x→3x－2是A到B的映射，求集合A. 解

由f：x→3x－2，分别令：3x－2＝－1，

1573x－2＝3,3x－2＝5，得x＝3，3，3. 157∴A是集合{3，3，3}的非空子集．

157151757157即A为：{3}，{3}，{3}，{3，3}，{3，3}，{3，3}，{3，3，3}，共7个．

课堂小结

对映射定义的理解

(1)A、B必须是非空集合(可以是数集，也可以是其他集合)；

(2)对应关系有“方向性”，即从集合A到集合B的对应与从B到A的对应关系一般是不同的；

(3)集合A中每一个元素，在集合B中必须有对应元素，并且对应元素是唯一的；

(4)集合A中不同元素，在集合B中对应的元素可以是相同的；

(5)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有对应元素.