2.2.2 函数的奇偶性教学内容

课题：函数的奇偶性

承德双实验中学

黄玉生

教学目的：（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；

（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

（3）学会判断函数的奇偶性并进行简单的应用．

教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．

教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．

教学过程：

一、

引入课题

引例：1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及f(-x) ,并画出它的图象。

f(-2)=(-2)2=4

f(2)=4………………f(-2)=f(2)

f(-1)=(-1)2=1

f(1)=1………………f(-1)=f(1) y (-x,y) f(-x) (x,y) f(x) x x f(-x)=(-x)2=x2 ………………………f(-x)=f(x) o -x

2.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1),及f(-x)

y f(-2)=(-2)3=-8

f(2)=8…………f(-2)= - f(2)

(x,y) f(x) f(-1)=(-1)3=-1

f(1)=1……………f(-1)= - f(1)

y –x 33f(-x)=(-x)=-x……………………f(-x)= - f(x) f(-x)

(-x,-y) 思考：通过练习,同学们发现了什么规律?讨论口答。

即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标相等

o x x 答案：（1）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，f(x)）也在函数图象上，（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数．

二、

新课教学

（一）、函数的奇偶性定义

（师）：象上面引例中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数，图象关——————————————第

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于原点对称的函数即是奇函数．

１．偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（学生活动）：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义

2．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

注意：（师强调）

1

函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○

2

由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内○的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

[-b,-a] o [a ,b] x ③．奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：若f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。

若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x)成立。

练习1.说出下列函数的奇偶性:（生口答并观察规律）

①

f(x)=x4 ________

②

f(x)=x

________

③

f(x)=x5

__________

④

f(x)= x -1

__________⑤f(x)=x -2

__________

⑥f(x)=x -3

_______________

说明：对于形如

f(x)=x n 的函数：若n为偶数，则它为偶函数；若n为奇数，则它为奇函数。（二）、判断函数的奇偶性

例1．判断下列函数的奇偶性（本例由学生讨论，师生共同总结具体方法步骤）

(1) f(x)=x3+2x 解法（略）

(2) f(x)=2x4+3x2

解法（略）

1x2例2.判断函数f(x)= 的奇偶性。

x22解：

21-x≥0 -1≦x≦1

|x+2|≠2

x≠0且x≠-4

∴定义域为[-1,0]∪(0,1)

-1≦x ≦1且x ≠0 ——————————————第

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1(x)21x21x21x2∴f(x)==；∵f(－x)==－

xxx(x2)2即f(-x)= - f(x)；

∴

f(x) 为奇函数

说明：用定义判断函数奇偶性的格式步骤:（生小结）

⑴

首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

⑶．作出结论：若f(－x) = f(x)，则f(x)是偶函数；若f(－x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数。

练习2.判断下列函数的奇偶性

⑵．再判断f(－x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否成立。

⑴ f(x)＝x-（奇）；

(2) f(x)= - x2 +1（偶）；

⑶

f(x)＝

3x

（奇）

⑷f(x)=0(变式为f(x)=5)

⑸f(x)=

x +1

⑹f(x)=x2,x∈[-1,3]

解: 定义域为R

解:∵

f(-x)= -x+1

解:∵定义域不关于原点对称

又

f(-x)=-f(x)=0

- f(x)= -x-1

∴f(x)为非奇非偶函数

∴f(x)为既奇又偶函数

∴f(-x)≠f(x)

且f(-x)≠–f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数

y y y

（师进一步强调）：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数．

1xo x o x-1 o -3 x 奇函数

偶函数

根据奇偶性,函数可划分为四类:（师提问）

既奇又偶函数

非奇非偶函数

（三）、奇偶函数图象的性质（观察图象提问）: ⑴、奇函数的图象关于原点对称.

反之,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数. ⑵、偶函数的图象关于y轴对称.

反之, 如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.

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注：（师）奇偶函数图象的性质可用于：

①.简化函数图象的画法。

②.判断函数的奇偶性。

例3

已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在y轴左边的图象。

解：画法略

y

三、

归纳小结，强化思想

o x 本节主要学习了函数的奇偶性定义及性质，重点为判断函数的奇偶性，通常有两种方法：即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．

补充作业：

1.已知y=f(x)是偶函数，且在(-∞，0)上是增函数，则

y=f(x)在(0,∞)上是

（

）

A.增函数

B.减函数

C.非单调函数

D.单调性不确定

2.判断下列函数的奇偶性：

x0,x(1x)①f(x)a

（xR）

②.f(x)

。

x(1x)x0.思考题：

1.已知f(x)是定义在R上的函数，设g(x)f(x)f(x)f(x)f(x)，h(x)

221

试判断g(x)与h(x)的奇偶性；

○2

试判断g(x),h(x)与f(x)的关系；

○3

由此你能猜想得出什么样的结论，并说明理由．

○2．已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数

３．小结函数的奇偶性与单调性的关系（学生活动）：

举几个简单的奇函数和偶函数的例子，并画出其图象，根据图象判断奇函数和偶函数的单调性具有什么特殊的特征？

规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；

奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．

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